8.10: Problemas de ejercicio

8.1. En la aproximación eléctrico-dipolo, calcule la distribución angular y la potencia total de la radiación electromagnética por el átomo de hidrógeno dentro del siguiente modelo clásico: un electrón que gira, a una distancia constante\(\ R\), alrededor de un protón mucho más pesado. Utilice este último resultado para evaluar la vida clásica del átomo, tomando prestado el valor inicial\(\ R\) de la mecánica cuántica:\(\ R(0)=r_{\mathrm{B}} \approx 0.53\times10^{-10}\mathrm{m}\).

8.2. Una partícula de masa no relativista\(\ m\), con carga eléctrica\(\ q\), se coloca en un campo magnético uniforme B. Derivar la ley de disminución de la energía cinética de la partícula debido a su radiación electromagnética a la frecuencia del ciclotrón\(\ \omega_{\mathrm{c}}=q B / m\). Evaluar la velocidad de dicho enfriamiento por radiación de electrones en un campo magnético de 1 T, y estimar el intervalo de energía en el que este resultado es cuantitativamente correcto.

Sugerencia: El movimiento del ciclotrón se discutirá en detalle (para velocidades arbitrarias de partículas\(\ \nu \sim c\)) en la Sec. 9.6 a continuación, pero espero que el lector sepa que en el caso no relativista (\(\ \nu<<c\)) la fórmula anterior para se\(\ \omega_{\mathrm{c}}\) puede obtener fácilmente combinando la ^2ª ley de Newton \(\ m \nu_{\perp}^{2} / R=q \nu_{\perp} B\)para el movimiento circular de la partícula bajo el efecto del componente magnético de la fuerza de Lorentz (5.10), y la relación geométrica\(\ \nu_{\perp}=R \omega_{\mathrm{c}}\). (Aquí\(\ \mathbf{v}_{\perp}\) está la velocidad de la partícula en el plano normal al vector B.)

8.3. Resolver el problema de radiación de antena dipolo discutido en la Sec. 2 (ver Fig. 3) para la longitud óptima\(\ l=\lambda / 2\), asumiendo que la distribución de corriente en cada uno de sus brazos es sinusoidal:\(\ I(z, t)=I_{0} \cos (\pi z / l)\cos\omega t\). ⁴⁹

8.4. Utilice el modelo de oscilador Lorentz de una carga ligada, dado por la Ec. (7.30), para explorar la transición entre los dos límites de dispersión discutidos en la Sec. 3, y en particular, la dispersión resonante que tiene lugar en\(\ \omega \approx \omega_{0}\). En este contexto, discutir la contribución de la dispersión en la amortiguación del oscilador.

8.5. ^* Una esfera de radio\(\ R\), hecha de un material con una polarización eléctrica permanente uniforme\(\ \mathbf{P}_{0}\) y una densidad de masa constante\(\ \rho\), es libre de girar alrededor de su centro. Calcular la sección transversal total promedio de dispersión, por la esfera, de una onda electromagnética linealmente polarizada de frecuencia\(\ \omega<<R / c\), propagándose en el espacio libre, en el límite de amplitud de onda pequeña, asumiendo que la orientación inicial del vector de polarización\(\ \mathbf{P}_{0}\) es aleatoria.

8.6. Use la ecuación (56) para analizar el patrón de interferencia/difracción producido por la dispersión de una onda plana en un conjunto de puntos\(\ N\) similares equidistantes en una línea recta normal a la dirección de propagación de la onda incidente; vea la figura a la derecha. Discutir la (s) tendencia (s) del patrón en el límite\(\ N \rightarrow \infty\).

8.7. Utilice la aproximación Born para calcular la sección transversal diferencial de la dispersión de onda plana por una esfera dieléctrica uniforme de un radio arbitrario\(\ R\). En los límites\(\ k R<<1\) y\(\ 1<<k R\) (donde\(\ k\) está el número de onda), analizar la dependencia angular de la sección transversal diferencial y calcular la sección transversal total de dispersión.

8.8. Una esfera de radio\(\ R\) está hecha de un material dieléctrico uniforme, con una constante dieléctrica arbitraria. Derivar una expresión exacta para su sección transversal total de dispersión de una onda monocromática de baja frecuencia\(\ k<<1 / R\), con, y comparar el resultado con la solución del problema anterior.

8.9. Utilice la aproximación Born para calcular la sección transversal diferencial de la dispersión de onda plana en un cilindro circular derecho de longitud\(\ l\) y radio\(\ R\), para un ángulo de incidencia arbitrario.

8.10. Formular la condición cuantitativa de la validez de la aproximación Born para un dispersor dieléctrico uniforme, con todas las dimensiones lineales del orden de la misma escala\(\ a\).

8.11. Si un dispersor absorbe alguna parte de la potencia de la onda incidente, puede caracterizarse por una sección transversal de absorción\(\ \sigma_{\mathrm{a}}\) definida de manera similar a la Ec. (39) para la sección transversal de dispersión:

\(\ \sigma_{\mathrm{a}} \equiv \frac{\overline{\mathscr{P}}_{a}}{\left|E_{\omega}\right|^{2} / 2 Z_{0}},\)

donde el numerador es la potencia promediada en el tiempo absorbida es el dispersador. Calcular\(\ \sigma_{\mathrm{a}}\) para una esfera de radio muy pequeña\(\ R<<k^{-1}\),\(\ \delta_{\mathrm{s}}\), hecha de un material no magnético con conductividad óhmica\(\ \sigma\), y con permitividad de alta frecuencia\(\ \varepsilon_{\mathrm{opt}}=\varepsilon_{0}\). ¿Puede\(\ \sigma_{\mathrm{a}}\) de tal esfera ser mayor que su sección transversal geométrica\(\ \pi R^{2}\)?

8.12. Utilice el principio Huygens para calcular la intensidad de la onda en el plano de simetría del experimento de difracción de hendidura (es decir, at\(\ x=0\) en la Fig. 12), para una relación arbitraria\(\ z / k a^{2}\).

8.13. Una onda plana con longitud de onda\(\ \lambda\) es normalmente incidente en una pantalla plana opaca, con un orificio redondo de radio\(\ R >> \lambda\). Usa el principio Huygens para calcular la distribución de intensidad de la onda que pasa a lo largo del eje de simetría del sistema, a distancias\(\ z >> R\) de la pantalla (ver la figura a la derecha), y analizar el resultado.

8.14. Una onda monocromática plana ahora incide normalmente en un disco circular opaco de radio\(\ R>> \lambda\). Usa el principio Huygens para calcular la intensidad de la onda a distancia\(\ z >> R\) detrás del centro del disco (ver la figura de la derecha). Discutir el resultado.

8.15. Utilice el principio Huygens para analizar la difracción Fraunhofer de una onda plana que normalmente incide en un agujero de forma cuadrada, de tamaño\(\ a \times a\), en una pantalla opaca. Esboce el patrón de difracción que observaría a una distancia suficientemente grande, y cuantifique la expresión “suficientemente grande” para este caso.

8.16. Utilizar el principio Huygens para analizar la propagación de un haz gaussiano monocromático, descrito por la Ec. (7.181), con el ancho característico inicial\(\ a_{0} >> \lambda\), en un medio isotrópico uniforme. Utilizar el resultado para una derivación semicuantitativa del llamado límite Abbe ⁵⁰ para la resolución espacial de un sistema óptico:\(\ w_{\min }=\lambda / 2 \sin \theta\), donde\(\ \theta\) está el medio ángulo del cono de onda que se propaga desde el objeto, y capturado por el sistema.

8.17. Dentro de la aproximación de Fraunhofer, analizar el patrón producido por una rejilla de difracción 1D con el perfil de transparencia periódico mostrado en la figura de la derecha, para la incidencia normal de una onda plana, monocromática.

8.18. \(\ N\)cargas de punto iguales están unidas, a intervalos iguales, a un círculo que gira con una velocidad angular constante alrededor de su centro — vea la figura de la derecha. Para qué valores de\(\ N\) emite el sistema:

(i) ¿la radiación dipolo eléctrico?

ii) ¿la radiación dipolo magnético?

iii) ¿la radiación eléctrica cuadrupolo?

8.19. Qué declaraciones generales puedes hacer sobre:

(i) la radiación eléctrica del dipolo, y

ii) la radiación dipolar magnética,

debido a una colisión de un número arbitrario de partículas clásicas, no relativistas similares?

8.20. Calcular la distribución angular y la potencia total irradiada por una pequeña antena de bucle redondo con radio\(\ R\), alimentada\(\ I(t)\) con corriente ac con frecuencia\(\ \omega\) y amplitud\(\ I_{0}\), al espacio libre.

8.21. La orientación de un dipolo magnético m, de magnitud fija, gira alrededor de cierto eje con velocidad angular\(\ \omega\), permaneciendo constante\(\ \alpha\) el ángulo entre ellos. Calcular la distribución angular y la potencia promedio de su radiación (en el espacio libre).

8.22. Resolver el Problema 8 (también en el límite de baja frecuencia\(\ k R<<1\)), para el caso en que el material de la esfera tenga una conductividad óhmica independiente de la frecuencia\(\ \sigma\), y\(\ \varepsilon_{\mathrm{opt}}=\varepsilon_{0}\), en dos límites:

(i) de una profundidad de piel muy grande\(\ \left(\delta_{\mathrm{s}} >>R\right)\), y

(ii) de una profundidad de piel muy pequeña\(\ \left(\delta_{\mathrm{s}}<<R\right)\).

8.23. Completar la solución del problema iniciado en la Sec. 9, calculando la potencia total de radiación del sistema de dos cargas que oscilan en antifase a lo largo de la misma línea recta — ver Fig. 16. También, calcular la potencia de radiación promedio para el caso de oscilaciones armónicas\(\ d(t)=a \cos \omega t\),, compararla con el caso de una sola carga realizando oscilaciones similares, e interpretar la diferencia.

---

Referencia

⁴⁹ Como se enfatizó en la Sec. 2, se trata de una suposición razonable más que de una aproximación controlable. El exacto (¡bastante involucrado!) muestra que esta suposición da errores ~ 5%, dependiendo del diámetro del alambre del brazo.

⁵⁰ Según se informa, debido no sólo a Ernst Abbe (1873), sino también a Hermann von Helmholtz (1874).