10.4: Pérdidas Bremsstrahlung y Coulomb

Sorprendentemente, un mecanismo muy similar de radiación por partículas cargadas funciona a una escala espacial mucho menor, es decir, en su dispersión por partículas cargadas del medio de propagación. Este efecto, tradicionalmente llamado por su nombre alemán bremsstrahlung (“radiación de freno”), es responsable, en particular, de la parte continua del espectro de frecuencias de la radiación producida en tubos de rayos X de vacío estándar, en las colisiones de electrones con un “anticatodo” metálico. ²⁸

El bremsstrahlung en la materia condensada es generalmente un fenómeno bastante complicado, debido a la implicación simultánea de muchas partículas, y (frecuentemente) algunos efectos electrodinámicos cuánticos. Es por ello que voy a dar sólo un breve vistazo a la descripción teórica de este efecto, para el caso más simple cuando la dispersión de partículas entrantes, relativamente cargadas de luz (como electrones, protones,\(\ \alpha\) -partículas, etc.) es producida por núcleos atómicos, que permanecen prácticamente inmóviles durante el evento de dispersión (Fig. 13a). Esta es una aproximación razonable si la energía de las partículas entrantes no es demasiado baja; de lo contrario, la mayor parte de la dispersión es producida por electrones atómicos cuya dinámica es sustancialmente cuántica — ver más abajo.

Fig. 10.13. La geometría básica del bremsstrahlung y los problemas de pérdida de Coulomb en (a) espacios directos y (b) recíprocos.

Para calcular el espectro de frecuencia de la radiación emitida durante un solo evento de dispersión, es conveniente utilizar un subproducto del análisis de la última sección, a saber, la Ec. (59) con el reemplazo (60): ²⁹

\[\ I(\omega)=\frac{1}{4 \pi^{2} c} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left|\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{d}{d t} \frac{\mathbf{n} \times(\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})}{1-\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{n}} \exp \left\{i \omega\left(t-\frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}^{\prime}}{c}\right)\right\}\right]_{\mathrm{ret}} d t_{\mathrm{ret}}\right|^{2}.\tag{10.75}\]

Una duración típica\(\ \tau\) de un solo evento de dispersión que estamos discutiendo es del orden\(\ \tau \equiv a_{0} / c \sim\left(10^{-10}\right.\mathrm{m}) /\left(3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \sim 10^{-18}s\) en sólidos, y solo un orden de magnitud más largo en gases en condiciones ambientales. Es por ello que para la mayoría de las frecuencias de interés, desde cero hasta al menos rayos X suaves, ³⁰ podemos usar la llamada aproximación de baja frecuencia, tomando el exponente en la Ec. (75) para 1 a través de todo el evento de colisión, es decir, el intervalo de integración. Esta aproximación produce inmediatamente

\[\ \text{Brems-strahlung: single collision}\quad\quad\quad\quad I(\omega)=\frac{1}{4 \pi^{2} c} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left|\frac{\mathbf{n} \times\left(\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta}_{\mathrm{fin}}\right)}{1-\boldsymbol{\beta}_{\mathrm{fin}} \cdot \mathbf{n}}-\frac{\mathbf{n} \times\left(\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta}_{\mathrm{ini}}\right)}{1-\boldsymbol{\beta}_{\mathrm{ini}} \cdot \mathbf{n}}\right|^{2}.\tag{10.76}\]

En el límite no relativista\(\ \left(\beta_{\text {ini }}, \beta_{\text {fin }}<<1\right)\), esta fórmula se reduce al siguiente resultado:

\[\ I(\omega)=\frac{1}{4 \pi^{2} c} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{g^{2}}{m^{2} c^{2}} \sin ^{2} \theta\]

(que también puede derivarse de la Ec. (8.27)), donde\(\ g\) es el momento transferido desde el centro de dispersión a la carga dispersa (Fig. 13b): ³¹

\[\ \boldsymbol{g} \equiv \mathbf{p}_{\text {fin }}-\mathbf{p}_{\text {ini }}=m \Delta \mathbf{u}=m c \Delta \boldsymbol{\beta}=m c\left(\boldsymbol{\beta}_{\text {fin }}-\boldsymbol{\beta}_{\text {ini }}\right),\tag{10.78}\]

y\(\ \theta\) (¡no confundir con el ángulo de dispersión de partículas\(\ \theta^{\prime}\) mostrado en la Fig. 13!) es el ángulo entre el vector\(\ \mathbf{g}\) y la dirección n hacia el observador — en el momento de la colisión.

La característica más importante del resultado (77) - (78) es el espectro independiente de la frecuencia (“blanco”) de la radiación, muy típico para cualquier salto rápido que pueda aproximarse como funciones delta del tiempo. ³² (Obsérvese, sin embargo, que la Ec. (77) implica un valor fijo de\(\ q\), de manera que las estadísticas de este parámetro, a ser discutidas en un minuto, puedan “colorear” la radiación.)

Obsérvese también la distribución angular “en forma de rosquilla” de la radiación, típica de los sistemas no relativistas, con el eje de simetría dirigido a lo largo del vector de transferencia de momento\(\ \mathbf{g}\). En particular, esto significa que en casos típicos cuando\(\ \left|\theta^{\prime}\right|<<1\), es decir\(\ g<<p\), cuando el vector\(\ \mathbf{g}\) es casi normal al vector\(\ \mathbf{p}_{\text {ini }}\) (véase, por ejemplo, el ejemplo que se muestra en la Fig. 13b), el bremsstrahlung produce un flujo de radiación significativo en la dirección de regreso a la fuente de partículas, el hecho significativo para el funcionamiento de tubos de rayos X.

Ahora integrando la Ec. (77) sobre todos los ángulos de propagación de onda, tal como hicimos para la potencia de radiación instantánea en la Sec. 8.2, obtenemos la siguiente densidad espectral de la pérdida de energía de las partículas,

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d \omega}=\oint_{4 \pi} I(\omega) d \Omega=\frac{2}{3 \pi c} \frac{q^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0}} \frac{g^{2}}{m^{2} c^{2}}.\tag{10.79}\]

En la mayoría de las aplicaciones de la teoría bremsstrahlung (como en la mayoría de los problemas de dispersión ³³), el parámetro de impacto\(\ b\) (Fig. 13a), y por lo tanto el ángulo de dispersión\(\ \theta^{\prime}\) y el momento transferido\(\ \boldsymbol{g}\), tienen que ser

considerado al azar. Para colisiones elásticas de\(\ \left(\beta_{\text {ini }}=\beta_{\text {fin }} \equiv \beta\right)\) Coulomb podemos usar la llamada fórmula Rutherford para la sección transversal diferencial de dispersión ³⁴

\[\ \frac{d \sigma}{d \Omega^{\prime}}=\left(\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right)^{2}\left(\frac{1}{2 p c \beta}\right)^{2} \frac{1}{\sin ^{4}\left(\theta^{\prime} / 2\right)}.\tag{10.80}\]

Aquí\(\ d \sigma=2 \pi b d b\) está el área elemental de la sección transversal de la muestra (visible desde la dirección de las partículas incidentes) correspondiente a la dispersión de partículas en un ángulo de cuerpo elemental ³⁵

\[\ d \Omega^{\prime}=2 \pi \sin \theta^{\prime}\left|d \theta^{\prime}\right|.\tag{10.81}\]

Diferenciando la relación geométrica, lo cual es evidente a partir de la Fig. 13b,

\[\ \boldsymbol{g}=2 p \sin \frac{\theta^{\prime}}{2},\tag{10.82}\]

podemos representar la Ec. (80) en una forma más conveniente

\[\ \frac{d \sigma}{d g}=8 \pi\left(\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right)^{2} \frac{1}{u^{2} g^{3}}.\tag{10.83}\]

Ahora combinando las ecuaciones (79) y (83), obtenemos

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d \omega} \frac{d \sigma}{d g}=\frac{16}{3} \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0} m c^{2}}\right)^{2} \frac{1}{c \beta^{2}} \frac{1}{g}.\tag{10.84}\]

Este producto se denomina sección transversal de radiación diferencial. Cuando se integra sobre todos los valores de\(\ g\) (lo que equivale a promediar sobre todos los valores del parámetro de impacto), da una medida conveniente de la intensidad de radiación. De hecho, después de la multiplicación por la densidad volumétrica\(\ n\) de centros de dispersión independientes, dicha integral produce la pérdida de energía de la partícula por unidad de ancho de banda de radiación por unidad de longitud de trayectoria,\(\ -d^{2} \mathscr{E} / d \omega d x\). Un problema menor aquí es que la integral de\(\ 1 / g\) formalmente diverge tanto en valores infinitos como en fuga de\(\ g\). Sin embargo, estas divergencias son muy débiles (logarítmicas), y la integral converge debido a prácticamente cualquier razón no contabilizada en nuestro simple análisis. La forma estándar, aunque ligeramente aproximada de dar cuenta de estos efectos es escribir

\[\ \text{Brems-strahlung: intensity}\quad\quad\quad\quad -\frac{d^{2} \mathscr{E}}{d \omega d x} \approx \frac{16}{3} n \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0} m c^{2}}\right)^{2} \frac{1}{c \beta^{2}} \ln \frac{g_{\max }}{g_{\min }},\tag{10.85}\]

y luego tapar, en lugar de\(\ g_{\max }\) y\(\ g_{\min }\), las escalas de los efectos más importantes limitando el rango de la magnitud del impulso transferido. En el análisis de mecánica clásica, de acuerdo con la Ec. (82),\(\ g_{\max }=2p\equiv2mu\). Para estimar\(\ \boldsymbol{g}_{\min }\), observemos que la transferencia de impulso muy pequeña tiene lugar cuando el parámetro de impacto\(\ b\) es muy grande y, por lo tanto, el tiempo de dispersión efectivo\(\ \tau \sim b / \nu\) es muy largo. Recordando la condición de la aproximación de baja frecuencia, podemos asociarnos\(\ \boldsymbol{g}_{\mathrm{min}}\) con\(\ \tau \sim 1 / \omega\) y por lo tanto con\(\ b \sim u \tau \sim \nu / \omega\). Ya que para los pequeños ángulos de dispersión,\(\ g\) está cerca del impulso\(\ F \tau \sim\left(q q^{\prime} / 4 \pi \varepsilon_{0} b^{2}\right) \tau\) de la fuerza de Coulomb, obtenemos la estimación\(\ \boldsymbol{g}_{\min } \sim\left(q q^{\prime} / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \omega / u^{2}\), y la Eq. (85) debe usarse con

\[\ \ln \frac{g_{\max }}{g_{\min }}=\ln \left(\frac{2 m u^{3}}{\omega} / \frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right).\quad\quad\quad\quad\text{Classical brems-strahlung}\tag{10.86}\]

Esta es la fórmula de Bohr para lo que se llama el clásico bremsstrahlung. Vemos que el corte de bajo momento efectivamente hace que el espectro sea ligeramente coloreado, con más energía yendo a frecuencias más bajas. Incluso hay una divergencia formal en\(\ \omega \rightarrow 0\); sin embargo, esta divergencia es integrable, por lo que no presenta un problema para encontrar las pérdidas radiativas de energía total\(\ (-d \mathscr{E} / d x)\) como una integral de la ecuación (86) sobre todas las frecuencias radiadas\(\ \omega\). Un problema mayor para este procedimiento es el límite superior de integración,\(\ \omega \rightarrow \infty\), en el que diverge la integral. Esto significa que nuestra descripción aproximada, que considera la colisión como un proceso elástico, se vuelve inválida y necesita ser modificada tomando en cuenta la diferencia entre las energías cinéticas inicial y final de la partícula debido a la radiación del cuántico\(\ \hbar \omega\) de energía del fotón emitido, para que

\[\ \frac{p_{\text {ini }}^{2}}{2 m}-\frac{p_{\text {fin }}^{2}}{2 m}=\hbar \omega, \quad \text { i.e. } \frac{p_{\text {ini }}^{2}}{2 m}=\mathscr{E}, \quad \frac{p_{\text {fin }}^{2}}{2 m}=\mathscr{E}-\hbar \omega,\tag{10.87}\]

Como resultado, tomando en cuenta que los valores mínimo y máximo de\(\ g\) corresponden, respectivamente, a las alineaciones paralelas y antiparalelas de los vectores\(\ \mathbf{p}_{\text {ini }}\) y\(\ \mathbf{p}_{\text {fin }}\), obtenemos

\[\ \ln \frac{\boldsymbol{g}_{\max }}{\boldsymbol{g}_{\min }}=\ln \frac{p_{\text {ini }}+p_{\text {fin }}}{p_{\text {ini }}-p_{\text {fin }}} \equiv \ln \frac{\left(p_{\text {ini }}+p_{\text {fin }}\right)^{2} / 2 m}{\left(p_{\text {ini }}^{2}-p_{\text {fin }}^{2}\right) / 2 m}=\ln \frac{\left[\mathscr{E}^{1 / 2}+(\mathscr{E}-\hbar \omega)^{1 / 2}\right]^{2}}{\hbar \omega},\quad\quad\quad\quad\text{Quantum brems-strahlung}\tag{10.88}\]

Conectada a la ecuación (85), esta expresión produce la llamada fórmula Bethe-Heitler para bremsstrahlung cuántico. ³⁶ Obsérvese que en este enfoque,\(\ g_{\mathrm{max}}\) se acerca a la de la aproximación clásica, pero\(\ g_{\mathrm{min}}\) es del orden de\(\ \hbar \omega / u\), de manera que

\[\ \frac{\left.\boldsymbol{g}_{\min }\right|_{\text {classical }}}{\left.\boldsymbol{g}_{\min }\right|_{\text {quantum }}} \sim \frac{\alpha {\mathscr{F}} \boldsymbol{\mathscr{F’}}}{\beta},\tag{10.89}\]

donde\(\ \mathscr{Z}\) y\(\ \mathscr{Z’}\) son las cargas de las partículas en las unidades de\(\ e\), y\(\ \alpha\) es constante la estructura fina adimensional (“Sommerfeld”),

\[\ \left.\alpha \equiv \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} \hbar c}\right|_{\mathrm{SI}}=\left.\frac{e^{2}}{\hbar c}\right|_\mathrm{G a u s s i a n} \approx \frac{1}{137}<<1,\tag{10.90}\]

que es una de las nociones básicas de la mecánica cuántica. ³⁷ Debido a la pequeñez de la constante, la relación (89) es inferior a 1 para la mayoría de los casos de interés práctico, y dado que la integral de (84) over\(\ g\) está limitada por el mayor de todos los cortes posibles\(\ g_{\mathrm{min}}\), es la fórmula de Bethe-Heitler la que debe usarse.

Ahora nada nos impide calcular las pérdidas radiativas totales de energía por unidad de longitud:

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{d^{2} \mathscr{E}}{d \omega d z}\right) d \omega=\frac{16}{3} n \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} c}\left(\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0} m c^{2}}\right)^{2} \frac{1}{\beta^{2}} 2 \int_{0}^{\omega_{\max }} \ln \frac{\mathscr{E}^{1 / 2}-(\mathscr{E}-\hbar \omega)^{1 / 2}}{(\hbar \omega)^{1 / 2}} d \omega,\tag{10.91}\]

donde\(\ \hbar \omega_{\max }=\mathscr{E}\) está la energía máxima del cuántico de radiación. Al introducir la variable de integración adimensional\(\ \xi \equiv \hbar \omega / \mathscr{E}=2 \hbar \omega /\left(m u^{2} / 2\right)\), esta integral se reduce a la tabla uno, ³⁸ y obtenemos

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\frac{16}{3} n \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} c}\left(\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0} m c^{2}}\right)^{2} \frac{1}{\beta^{2}} \frac{u^{2}}{\hbar} \equiv \frac{16}{3} n\left(\frac{q^{\prime 2}}{4 \pi \varepsilon_{0} \hbar c}\right)\left(\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right)^{2} \frac{1}{m c^{2}}.\tag{10.92}\]

En mi estilo habitual, en este punto le daría una estimación de las pérdidas para un caso típico; sin embargo, permítanme discutir primero un mecanismo paralelo de pérdida de energía de partículas, las llamadas pérdidas de Coulomb, debido a la transferencia de impulso mecánico de la partícula dispersa a los centros de dispersión. (Esta energía eventualmente entra en un aumento de la energía térmica del medio de dispersión, en lugar de a la radiación electromagnética).

Usando las ecuaciones (9.139) para el campo eléctrico de una carga q que se mueve linealmente, podemos encontrar fácilmente el impulso que transfiere a la carga homóloga\(\ q’\): ³⁹

\[\ \Delta p^{\prime}=\left|\left(\Delta p^{\prime}\right)_{y}\right|=\left|\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\dot{p}^{\prime}\right)_{y} d t\right|=\left|\int_{-\infty}^{+\infty} q^{\prime} E_{y} d t\right|=\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\gamma b}{\left(b^{2}+\gamma^{2} u^{2} t^{2}\right)^{3 / 2}} d t=\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2}{b u}.\tag{10.93}\]

Por lo tanto, la energía cinética adquirida por la partícula de dispersión (y por lo tanto a la pérdida de la energía\(\ \mathscr{E}\) de la partícula incidente) es

\[\ -\Delta \mathscr{E}=\frac{\left(\Delta p^{\prime}\right)^{2}}{2 m^{\prime}}=\left(\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right)^{2} \frac{2}{m^{\prime} u^{2} b^{2}}.\tag{10.94}\]

Tales pérdidas elementales de energía tienen que resumirse sobre todas las colisiones, con valores aleatorios del parámetro de impacto\(\ b\). En la densidad central de dispersión\(\ n\), el número de colisiones por longitud de trayectoria pequeña\(\ dx\) por rango pequeño\(\ db\) es\(\ d N=n 2 \pi b d b d x\), de modo que

\[\ \text{Coulomb losses}\quad\quad\quad\quad -\frac{d \mathscr{E}}{d x}=-\int \Delta \mathscr{E}d N=n\left(\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right)^{2} \frac{2}{m^{\prime} u^{2}} 2 \pi \int_{b_{\min }}^{b_{\max }} \frac{d b}{b}=4 \pi n\left(\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right)^{2} \frac{\ln B}{m^{\prime} u^{2}}, \quad \text { where } B \equiv \frac{b_{\max }}{b_{\min }}.\tag{10.95}\]

Aquí, en el último paso, la integral logarítmica\(\ b\) se trató de manera similar a la de la teoría bremsstrahlung.\(\ g\) Esta aproximación es adecuada porque la relación\(\ b_{\max } / b_{\min }\) es mucho mayor que 1. En efecto, se\(\ b_{\min }\) puede estimar a partir de\(\ \left(\Delta p^{\prime}\right)_{\max } \sim p=\gamma m u\). Para este valor, la Ec. (93) con\(\ q^{\prime} \sim q\) da\(\ b_{\min } \sim r_c\) (ver Ec. (8.41) y su discusión), que, para partículas elementales, es del orden de\(\ 10^{-15} \mathrm{~m}\). Por otro lado, para el caso más importante cuando los absorbedores de energía Coulomb son electrones (que, según la Ec. (94), son los más eficientes, debido a su muy baja masa\(\ m^{\prime}\)),\(\ b_{\max }\) pueden estimarse a partir de la condición\(\ \tau=b / \gamma u \sim 1 / \omega_{\min }\), donde\(\ \omega_{\min } \sim 10^{16} \mathrm{~s}^{-1}\) está la frecuencia característica de transiciones de electrones en átomos. (La mecánica cuántica prohíbe dicha transferencia de energía a frecuencias más bajas). A partir de aquí, tenemos estimación\(\ b_{\max } \sim \gamma u / \omega_{\min }\), para que

\[\ B \equiv \frac{b_{\max }}{b_{\min }} \sim \frac{\gamma u}{r_{\mathrm{c}} \omega_{\min }},\tag{10.96}\]

para\(\ \gamma \sim 1\) y\(\ u \sim c \approx 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) dar\(\ b_{\max } \sim 3 \times 10^{-8} \mathrm{~m}\), para que\(\ B \sim 10^{9}\) (dar o tomar un par de órdenes de magnitud — esto no cambia\(\ \ln B \approx 20\) demasiado la estimación). ⁴⁰

Ahora podemos comparar las pérdidas no radiativas de Coulomb (95) con las pérdidas radiativas debidas al bremsstrahlung, dadas por la Ec. (92):

\[\ \frac{-\left.d \mathscr{E}\right|_{\text {radiation }}}{-\left.d \mathscr{E}\right|_{\text {Coulomb }}} \sim \alpha \mathscr{F}{\mathscr{F’}} \frac{m^{\prime}}{m} \beta^{2} \frac{1}{\ln B},\tag{10.97}\]

Ya que\(\ \alpha \sim 10^{-2}<<1\), para las partículas no relativistas\(\ (\beta<<1)\) las pérdidas de energía bremsstrahlung son mucho menores (por eso no quería apresurarme con sus estimaciones), y sólo para las partículas ultra-relativistas, la relación puede ser opuesta.

Según las ecuaciones (95) - (96), para la dispersión electrón-electrón\(\ \left(q=q^{\prime}=-e, m=m^{\prime}=m_{\mathrm{e}}\right)\), ⁴¹ al valor\(\ n=6 \times 10^{26} \mathrm{~m}^{-3}\) típico para el aire en condiciones ambientales, la longitud característica de la pérdida de energía,

\[\ l_{\mathrm{c}} \equiv \frac{\mathscr{E}}{\left(-d\mathscr{E} / d x\right)},\tag{10.98}\]

para electrones con energía cinética\(\ \mathscr{E}=6 \mathrm{keV}\) está cerca de\(\ 2 \times 10^{-4} \mathrm{~m} \equiv 0.2 \mathrm{~mm}\). (¡Por eso necesitamos alto
vacío en aceleradores de partículas y columnas de microscopio electrónico!) Ya que\(\ l_{\mathrm{c}} \propto \mathscr{E}^{2}\), las partículas más energéticas penetran a la materia más profundamente, hasta que el bremsstrahlung interviene, y limita esta tendencia a energías muy altas.

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Referencia

²⁸ Dicha radiación de rayos X se había observado experimentalmente por primera vez, aunque no fue interpretada correctamente por N. Tesla en 1887, es decir, antes de que fuera redescubierta y estudiada en detalle por W. Röntgen.

²⁹ En las publicaciones sobre este tema (cuyo pico de desarrollo fue entre los años 20 y 1930), las unidades gaussianas son más comunes, y la letra mayúscula\(\ Z\) suele reservarse para expresar cargas como múltiplos la carga fundamental\(\ e\), más que para la impedancia de onda. Es por ello que, para evitar confusiones y facilitar la comparación con otros textos, en esta sección I (aún permaneciendo con las unidades SI utilizadas a lo largo de mi serie) usaré la fracción\(\ 1 / \varepsilon_{0} c\), en lugar de su equivalente\(\ Z_{0}\), para la impedancia de onda de espacio libre, y escribiré los coeficientes en una forma que hace elemental el traslado a las unidades gaussianas: basta\(\ \left(q q^{\prime} / 4 \pi \varepsilon_{0}\right)_{\mathrm{SI}}\) con sustituir todas por\(\ \left(q q^{\prime}\right)_{\text {Gaussian }}\). En los (raros) casos en los que deletreé los valores de carga, usaré una fuente diferente:\(\ q \equiv \mathscr{F} e, q^{\prime} \equiv \mathscr{F}^{\prime} e\).

³⁰ Un análisis más cuidadoso muestra que esta aproximación es en realidad bastante razonable hasta frecuencias mucho más altas, del orden de\(\ \gamma^{2} / \tau\).

³¹ Tenga en cuenta la diferencia marcada con la fuente entre esta variable\(\ (\boldsymbol{g})\) y la carga eléctrica de la partícula\(\ (q)\).

³² Esta es la base, en particular, del llamado efecto Generación de Alta Armónica (HHG), descubierto en 1977, que tiene lugar en la irradiación de gases por rayos láser intensivos. El alto campo eléctrico del haz tira electrones valentes de átomos inicialmente neutros, y los acelera lejos de los iones restantes, solo para lanzarlos de nuevo a los iones a medida que la polaridad del campo cambia con el tiempo. Los electrones cambian su impulso bruscamente durante su recombinación con los iones, dando como resultado una radiación tipo bremsstrahlung. El espectro de radiación de cada evento obedece a la ecuación (77), pero como los ciclos de ionización/aceleración/recombinación se repiten periódicamente con la frecuencia\(\ \omega_{0}\) del campo láser, el espectro final consiste en muchas líneas equidistantes, con frecuencias\(\ n \omega_{0}\). La teoría clásica del bremsstrahlung no da un corte\(\ \omega_{\max }=n_{\max } \omega_{0}\) del espectro; este límite es impuesto por la mecánica cuántica:\(\ \hbar \omega_{\max } \sim \mathscr{E}_{\mathrm{p}}\), donde la llamada energía ponderomotiva\(\ \mathscr{E}_{\mathrm{p}}=\left(e E_{0} / \omega_{0}\right)^{2} / 4 m_{\mathrm{e}}\) es la energía cinética promedio dada a un electrón libre por el campo eléctrico periódico del rayo láser, con amplitud\(\ E_{0}\). En la práctica,\(\ n_{\max }\) puede ser tan alto como ~100, permitiendo fuentes compactas alternativas de radiación de rayos X. Para una teoría cuantitativa detallada de este efecto, véase, por ejemplo, M. Lewenstein et al., Phys. Rev. A 49, 2117 (1994).

³³ Véase, por ejemplo, CM Sec. 3.5 y QM Sec. 3.3.

³⁴ Véase, por ejemplo, CM Eq. (3.73) con\(\ \alpha=q q^{\prime} / 4 \pi \varepsilon_{0}\). En la forma utilizada en la Ec. (80), la fórmula de Rutherford también es válida para la dispersión de ángulo pequeño de partículas relativistas, siendo el criterio\(\ |\Delta \boldsymbol{\beta}|<<2 / \gamma\).

³⁵ Nuevamente, el ángulo\(\ \theta’\) y el diferencial\(\ d\Omega’\), que describen las partículas dispersas (ver Fig.13) no deben confundirse con los parámetros\(\ \theta\) y\(\ d\Omega\) describir la radiación emitida en el evento de dispersión.

³⁶ Las modificaciones de esta fórmula necesarias para la descripción relativista son sorprendentemente menores — véase, por ejemplo, el Capítulo 15 en J. Jackson, Classical Electrodynamics, 3 ^rd ed., Wiley 1999. Para aún más detalles, la monografía de referencia estándar sobre bremsstrahlung es W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, 3 ^rd ed., Oxford U. Press 1954 (reimpreso en 1984 y 2010 por Dover).

³⁷ Véase, por ejemplo, QM Secs. 4.4, 6.3, 6.4, 9.3, 9.5 y 9.7.

³⁸ Véase, por ejemplo, MA Ec. (6.14).

³⁹ De acuerdo con la Ec. (9.139)\(\ E_{z}=0\), mientras que el impulso neto de la fuerza longitudinal\(\ q^{\prime} E_{x}\) es cero, de manera que la Ec. (93) da la transferencia de impulso completa.

⁴⁰ Un análisis cuántico (realizado por Hans Bethe en 1940) reemplaza, en la Ec. (95),\(\ \ln B\) con\(\ \ln \left(2 \gamma^{2} m u^{2} / \hbar\langle\omega\rangle\right)-\beta^{2}\), donde\(\ \langle\omega\rangle\) está la frecuencia promedio del peso de las transiciones cuánticas atómicas por su fuerza de oscilador. Este refinamiento no cambia la estimación que se da a continuación. Tenga en cuenta que tanto la fórmula clásica como la cuántica describen un rápido aumento (as\(\ 1 / \beta\)) de la tasa de pérdida de energía\(\ (-d \mathscr{E} / d x)\) en\(\ \gamma \rightarrow 1\), y su lento aumento (as\(\ \ln \gamma\)) en\(\ \gamma \rightarrow \infty\), de manera que las pérdidas tienen un mínimo en\(\ (\gamma-1) \sim 1\).

⁴¹ En realidad, el análisis anterior ha descuidado el cambio de impulso de la partícula incidente. Esto es legítimo en\(\ m^{\prime}<<m\), pero para\(\ m=m^{\prime}\) el cambio aproximadamente duplica las pérdidas de energía. Aún así, esto no cambia el orden de magnitud de la estimación.