10.5: Efectos de Densidad y Radiación Cherenkov

Para la materia condensada, la estimación de pérdida de Coulomb realizada en la última sección no es del todo adecuada, porque se basa en el corte superior\(\ b_{\max } \sim \gamma u / \omega_{\min }\). Para el ejemplo dado anteriormente, la velocidad del electrón entrante u es cercana a\(\ 5 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), y para el valor típico\(\ \omega_{\min } \sim 10^{16} \mathrm{~s}^{-1}\left(\hbar \omega_{\min } \sim 10 \mathrm{eV}\right)\), este corte\(\ b_{\max }\) es del orden de\(\ \sim 5 \times 10^{-9} \mathrm{~m}=5 \mathrm{~nm}\). Incluso para el aire en condiciones ambientales, esto es algo mayor que la distancia promedio (~ 2 nm) entre las moléculas, de modo que en el extremo superior del rango de parámetros de impacto, en\(\ b \sim b_{\max }\), los eventos de pérdida de Coulomb en moléculas adyacentes no son del todo independientes, y la teoría necesita algunas correcciones. Para la materia condensada, con una densidad de partículas mucho mayor\(\ n\), la mayoría de las colisiones satisfacen las siguientes condiciones:

\[\ n b^{3}>>1,\tag{10.99}\]

y el tratamiento de las colisiones de Coulomb como un conjunto de eventos independientes es inadecuado. Sin embargo, esta condición permite el enfoque opuesto: tratar el medio como un continuo. En la formulación de dominio temporal utilizada en las secciones anteriores de este capítulo, este sería un problema muy complejo, ya que requeriría una descripción explícita de la dinámica media. Aquí el enfoque de dominio de frecuencia, basado en la transformada de Fourier tanto en el tiempo como en el espacio, ayuda mucho, siempre que las funciones\(\ \varepsilon(\omega)\) y\(\ \mu(\omega)\) se consideren conocidas —ya sea calculadas o tomadas del experimento. Echemos un buen vistazo a este enfoque porque da algunos resultados interesantes (y prácticamente importantes).

En el Capítulo 6, hemos utilizado las ecuaciones macroscópicas de Maxwell para derivar Ecuaciones (6.118), las cuales describen la evolución temporal de potenciales electrodinámicos en un medio lineal con frecuencia independiente\(\ \varepsilon\) y\(\ \mu\). Se buscan todas las funciones que participan en las ecuaciones (6.118) en forma de expansión de onda plana ⁴²

\[\ f(\mathbf{r}, t)=\int d^{3} k \int d \omega f_{\mathbf{k}, \omega} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)},\tag{10.100}\]

y requiriendo que todos los coeficientes a exponentes similares sean equilibrados, obtenemos sus imágenes de Fourier: ⁴³

\[\ \left(k^{2}-\omega^{2} \varepsilon \mu\right) \phi_{\mathbf{k}, \omega}=\frac{\rho_{\mathbf{k}, \omega}}{\varepsilon}, \quad\left(k^{2}-\omega^{2} \varepsilon \mu\right) \mathbf{A}_{\mathbf{k}, \omega}=\mu \mathbf{j}_{\mathbf{k}, \omega}.\tag{10.101}\]

Como se discutió en el Capítulo 7, en tal forma de Fourier, la teoría macroscópica de Maxwell sigue siendo válida incluso para los dispersivos (¡pero isotrópicos y lineales!) medios de comunicación, de manera que las ecuaciones (101) puedan generalizarse como

\[\ \left[k^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\right] \phi_{\mathbf{k}, \omega}=\frac{\rho_{\mathbf{k}, \omega}}{\varepsilon(\omega)}, \quad\left[k^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\right] \mathbf{A}_{\mathbf{k}, \omega}=\mu(\omega) \mathbf{j}_{\mathbf{k}, \omega},\tag{10.102}\]

La ventaja evidente de estas ecuaciones es que su solución formal es elemental:

\[\ \text{Field potentials in a linear medium}\quad\quad\quad\quad \phi_{\mathbf{k}, \omega}=\frac{\rho_{\mathbf{k}, \omega}}{\varepsilon(\omega)\left[k^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\right]}, \quad \mathbf{A}_{\mathbf{k}, \omega}=\frac{\mu(\omega) \mathbf{j}_{\mathbf{k}, \omega}}{\left[k^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\right]},\tag{10.103}\]

de manera que lo “único” que queda por hacer es, primero, calcular las transformadas de Fourier de las funciones\(\ \rho(\mathbf{r}, t)\) y\(\ \mathbf{j}(\mathbf{r}, t)\), describiendo cargas y corrientes independientes, utilizando la transformada recíproca a la Ec. (100), con un factor\(\ 1 / 2 \pi\) por cada dimensión escalar,

\[\ f_{\mathbf{k}, \omega}=\frac{1}{(2 \pi)^{4}} \int d^{3} r \int d t f(\mathbf{r}, t) e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)},\tag{10.104}\]

y luego llevar a cabo la integración (100) de las ecuaciones (103).

Por nuestro problema de una sola carga que se mueve\(\ q\) uniformemente a través de un medio con velocidad u,

\[\ \rho(\mathbf{r}, t)=q \delta(\mathbf{r}-\mathbf{u} t), \quad \mathbf{j}(\mathbf{r}, t)=q \mathbf{u} \delta(\mathbf{r}-\mathbf{u} t),\tag{10.105}\]

la primera tarea es fácil:

\[\ \rho_{\mathbf{k}, \omega}=\frac{q}{(2 \pi)^{4}} \int d^{3} r \int d t q \delta(\mathbf{r}-\mathbf{u} t) e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}=\frac{q}{(2 \pi)^{4}} \int e^{i(\omega t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{u} t)} d t=\frac{q}{(2 \pi)^{3}} \delta(\omega-\mathbf{k} \cdot \mathbf{u}).\tag{10.106}\]

Dado que las expresiones (105) para\(\ \rho(\mathbf{r}, t)\) y\(\ \mathbf{j}(\mathbf{r}, t)\) difieren solo por un factor constante u, es claro que el cálculo absolutamente similar para la corriente da

\[\ \mathbf{j}_{\mathbf{k}, \omega}=\frac{q \mathbf{u}}{(2 \pi)^{3}} \delta(\omega-\mathbf{k} \cdot \mathbf{u}).\tag{10.107}\]

Resumamos lo que ya tenemos, enchufando las ecuaciones (106) y (107) en las ecuaciones (103):

\[\ \phi_{\mathbf{k}, \omega}=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \frac{q \delta(\omega-\mathbf{k} \cdot \mathbf{u})}{\varepsilon(\omega)\left[k^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\right]}, \quad \mathbf{A}_{\mathbf{k}, \omega}=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \frac{\mu(\omega) q \mathbf{u} \delta(\omega-\mathbf{k} \cdot \mathbf{u})}{\left[k^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\right]} \equiv \varepsilon(\omega) \mu(\omega) \mathbf{u} \phi_{\mathbf{k}, \omega}.\tag{10.108}\]

Ahora, en el último paso de cálculo, es decir, la integración (100), estamos empezando a pagar un alto precio por la facilidad de los primeros pasos. Es por ello que pensemos bien en qué es exactamente lo que necesitamos de él. En primer lugar, para el cálculo de las pérdidas de potencia, el campo eléctrico es más conveniente de usar que los potenciales, así que calculemos las imágenes de Fourier de E y B. Conectando la expansión (100) a las relaciones básicas (6.7), y nuevamente requiriendo el equilibrio de los coeficientes del exponente, obtenemos

\[\ \mathbf{E}_{\mathbf{k}, \omega}=-i \mathbf{k} \phi_{k, \omega}+i \omega \mathbf{A}_{\mathbf{k}, \omega}=i[\omega \varepsilon(\omega) \mu(\omega) \mathbf{u}-\mathbf{k}] \phi_{\mathbf{k}, \omega}, \quad \mathbf{B}_{\mathbf{k}, \omega}=i \mathbf{k} \times \mathbf{A}_{\mathbf{k}, \omega}=i \varepsilon(\omega) \mu(\omega) \mathbf{k} \times \mathbf{u} \phi_{\mathbf{k}, \omega},\tag{10.109}\]

para que las Eqs. (100) y (108) rindan

\[\ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\int d^{3} k \int d \omega \mathbf{E}_{\mathbf{k}, \omega} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}=\frac{i q}{(2 \pi)^{3}} \int d^{3} k \int d \omega \frac{[\omega \varepsilon(\omega) \mu(\omega) \mathbf{u}-\mathbf{k}] \delta(\omega-\mathbf{k} \cdot \mathbf{u})}{\varepsilon(\omega)\left[k^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\right]} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}.\tag{10.110}\]

Esta fórmula puede ser reescrita como la integral temporal de Fourier (51), con la siguiente amplitud compleja dependiente de r:

\[\ \mathbf{E}_{\omega}(\mathbf{r})=\int \mathbf{E}_{\mathbf{k}, \omega} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^{3} k=\frac{i q}{(2 \pi)^{3}} \int \frac{[\omega \varepsilon(\omega) \mu(\omega) \mathbf{u}-\mathbf{k}] \delta(\omega-\mathbf{k} \cdot \mathbf{u})}{\varepsilon(\omega)\left[k^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\right]} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^{3} k.\tag{10.111}\]

Calculemos los componentes cartesianos de esta imagen parcial de Fourier\(\ \mathbf{E}_{\omega}\), en un punto separado por la\(\ b\) distancia de la trayectoria de la partícula. Seleccionando las coordenadas y el origen del tiempo como se muestra en la Fig. 9.11a, tenemos\(\ \mathbf{r}=\{0, b, 0\}\) y\(\ \mathbf{u}=\{u, 0,0\}\), de manera que solo\(\ E_{x}\) y\(\ E_{y}\) son diferentes de cero. En particular, de acuerdo con la Ec. (111),

\[\ \left(E_{x}\right)_{\omega}=\frac{i q}{(2 \pi)^{3} \varepsilon(\omega)} \int d k_{x} \int d k_{y} \int d k_{z} \frac{\omega \varepsilon(\omega) \mu(\omega) u-k_{x}}{k^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)} \delta\left(\omega-k_{x} u\right) \exp \left\{i k_{y} b\right\}.\tag{10.112}\]

La función delta mata una integral (sobre\(\ k_{x}\)) de las tres, y obtenemos

\[\ \left(E_{x}\right)_{\omega}=\frac{i q}{(2 \pi)^{3} \varepsilon(\omega) u}\left[\omega \varepsilon(\omega) \mu(\omega) u-\frac{\omega}{u}\right] \int \exp \left\{i k_{y} b\right\} d k_{y} \int \frac{d k_{z}}{\omega^{2} / u^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}-\omega^{2} \varepsilon(\omega) \mu(\omega)}.\tag{10.113}\]

La integral interna (sobre\(\ k_{z}\)) puede reducirse fácilmente a la integral de tabla\(\ \int d \xi /\left(1+\xi^{2}\right)\), en límites infinitos, igual a\(\ \pi\), ⁴⁴ y el resultado se representa como

\[\ \left(E_{x}\right)_{\omega}=-\frac{i \pi q \kappa^{2}}{(2 \pi)^{3} \omega \varepsilon(\omega)} \int \frac{\exp \left\{i k_{y} b\right\}}{\left(k_{y}^{2}+\kappa^{2}\right)^{1 / 2}} d k_{y},\tag{10.114}\]

donde el parámetro\(\ \kappa\) (generalmente, una función compleja de frecuencia) se define como ⁴⁵

\[\ \kappa^{2}(\omega) \equiv \omega^{2}\left(\frac{1}{u^{2}}-\varepsilon(\omega) \mu(\omega)\right).\tag{10.115}\]

La última integral puede expresarse a través de la función Bessel modificada del segundo tipo: ⁴⁶

\[\ \left(E_{x}\right)_{\omega}=-\frac{i q u \kappa^{2}}{(2 \pi)^{2} \omega \varepsilon(\omega)} K_{0}(\kappa b).\tag{10.116}\]

Un cálculo muy similar rinde

\[\ \left(E_{y}\right)_{\omega}=\frac{q \kappa}{(2 \pi)^{2} \varepsilon(\omega)} K_{1}(\kappa b).\tag{10.117}\]

Ahora bien, en lugar de apresurarnos a hacer la integración final (51) sobre\(\ \omega\) el cálculo\(\ \mathbf{E}(t)\), nos demos cuenta de que lo que más necesitamos es la pérdida total de energía a lo largo de todo el tiempo del paso de la partícula sobre una distancia elemental dx. Según la Ec. (4.38), la pérdida de energía por unidad de volumen es

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d V}=\int \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} d t,\tag{10.118}\]

donde j es la corriente de las cargas ligadas en el medio, y no debe confundirse con la corriente independiente de partículas incidentales (105). Esta integral puede expresarse fácilmente a través de la imagen parcial de Fourier\(\ \mathbf{E}_{\omega}\) y la imagen definida de manera similar\(\ \mathbf{j} \omega\), tal como se hizo en la derivación de la Ec. (54):

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d V}=\int d t \int d \omega e^{-i \omega t} \int d \omega^{\prime} e^{-i \omega^{\prime} t} \mathbf{j}_{\omega} \cdot \mathbf{E}_{\omega^{\prime}}=2 \pi \int d \omega \int d \omega^{\prime} \mathbf{j}_{\omega} \cdot \mathbf{E}_{\omega^{\prime}} \delta\left(\omega+\omega^{\prime}\right)=2 \pi \int \mathbf{j}_{\omega} \cdot \mathbf{E}_{-\omega} d \omega.\tag{10.119}\]

Incorporemos la conductividad óhmica efectiva\(\ \sigma_{\mathrm{ef}}(\omega)\) en la permitividad compleja\(\ \varepsilon(\omega)\) tal como se discutió en la Sec. 7.2, usando la Ec. (7.46) para escribir

\[\ \mathbf{j}_{\omega}=\sigma_{\mathrm{ef}}(\omega) \mathbf{E}_{\omega}=-i \omega \varepsilon(\omega) \mathbf{E}_{\omega}.\tag{10.120}\]

Como resultado, la Ec. (119) rinde

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d V}=-2 \pi i \int \varepsilon(\omega) \mathbf{E}_{\omega} \cdot \mathbf{E}_{-\omega} \omega d \omega=4 \pi \operatorname{Im} \int_{0}^{\infty} \varepsilon(\omega)\left|E_{\omega}\right|^{2} \omega d \omega.\tag{10.121}\]

(El último paso fue posible debido al inmueble\(\ \varepsilon(-\omega)=\varepsilon^{*}(\omega)\), que se discutió en la Sec. 7.2.)

Finalmente, al igual que en la última sección, tenemos que promediar la tasa de pérdida de energía sobre valores aleatorios del parámetro de impacto\(\ b\):

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\int\left(-\frac{d \mathscr{E}}{d V}\right) d^{2} b \approx 2 \pi \int_{b_{\min }}^{\infty}\left(-\frac{d \mathscr{E}}{d V}\right) b d b=8 \pi^{2} \int_{b_{\min }}^{\infty} b d b \int_{0}^{\infty}\left(\left|E_{x}\right|_{\omega}^{2}+\left|E_{y}\right|_{\omega}^{2}\right) \operatorname{Im} \varepsilon(\omega) \omega d \omega.\tag{10.122}\]

Debido a la divergencia de las funciones\(\ K_{0}(\xi)\) y\(\ K_{1}(\xi)\) at\(\ \xi \rightarrow 0\), tenemos que recortar la integral resultante\(\ b\) en algunos\(\ b_{\min }\) donde nuestra teoría pierde legitimidad. (En ese límite, no lo estamos haciendo mucho mejor que en la sección anterior). Al enchufar las expresiones calculadas (116) y (117) para los componentes de campo, intercambiando las integrales sobre\(\ \omega\) y\(\ b\), y usando las relaciones de recurrencia (2.142), que son válidas para todas las funciones de Bessel, finalmente obtenemos:

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\frac{2}{\pi} q^{2} \operatorname{Im} \int_{0}^{\infty}\left(\kappa^{*} b_{\min }\right) K_{1}\left(\kappa^{*} b_{\min }\right) K_{0}\left(\kappa^{*} b_{\min }\right) \frac{d \omega}{\omega \varepsilon(\omega)}.\quad\quad\quad\quad\text{Radiation intensity}\tag{10.123}\]

Este resultado general es válido para un medio lineal con relaciones de dispersión arbitrarias\(\ \varepsilon(\omega)\) y\(\ \mu(\omega)\). (La última función participa en la Ec. (123) solo a través de la Eq. (115) que define el parámetro\(\ \kappa\).) Para obtener resultados más concretos, se debe utilizar algún modelo particular del medio. Exploremos el modelo del oscilador Lorentz que se discutió en la Sec. 7.2, en su forma (7.33) adecuado para la transición a la descripción cuántico-mecánica de los átomos:

\[\ \varepsilon(\omega)=\varepsilon_{0}+\frac{n q^{\prime 2}}{m} \sum_{j} \frac{f_{j}}{\left(\omega_{j}^{2}-\omega^{2}\right)-2 i \omega \delta_{j}}, \quad \text { with } \sum_{j} f_{j}=1 ; \quad \mu(\omega)=\mu_{0}.\tag{10.124}\]

Si la amortiguación de los osciladores atómicos efectivos es baja\(\ \delta_{j} << \omega_{j}\), como suele ser, y la velocidad de la partícula\(\ u\) es mucho menor que la velocidad de fase de la onda típica\(\ \nu\) (¡y por lo tanto que\(\ c\)!) , luego para la mayoría de las frecuencias Eq. (115) da

\[\ \kappa^{2}(\omega) \equiv \omega^{2}\left(\frac{1}{u^{2}}-\frac{1}{\nu^{2}(\omega)}\right) \approx \frac{\omega^{2}}{u^{2}},\tag{10.125}\]

es decir\(\ \kappa \approx \kappa^{*} \approx \omega / u\), es real. En este caso, la Ec. (123) puede reducirse a la Ec. (95) con

\[\ b_{\max }=\frac{1.123 u}{\langle\omega\rangle}.\tag{10.126}\]

La buena noticia aquí es que ambos enfoques (el análisis microscópico de la Sec. 4 y el análisis macroscópico de esta sección) dan esencialmente el mismo resultado. El mismo hecho también puede percibirse como una mala noticia: el tratamiento del medio como un continuo no da ningún resultado nuevo aquí. La situación cambia algo a velocidades relativistas, a las que dicho tratamiento proporciona correcciones notables (llamadas efectos de densidad), en particular reduciendo las estimaciones de pérdida de energía.

Permítanme, sin embargo, dejar en paz estos detalles y enfocarme en un efecto mucho más importante descrito por nuestras fórmulas. Considere la dependencia de los componentes del campo eléctrico del parámetro de impacto\(\ b\), es decir, de la distancia más cercana entre la trayectoria de la partícula y el punto de observación del campo. En\(\ b \rightarrow \infty\), podemos utilizar, en las ecuaciones (116) - (117), la fórmula asintótica (2.158),

\[\ K_{n}(\xi) \rightarrow\left(\frac{\pi}{2 \xi}\right)^{1 / 2} e^{-\xi}, \text { at } \xi \rightarrow \infty,\tag{10.127}\]

para concluir que si\(\ \kappa^{2}>0\), es decir, si\(\ \kappa\) es real, las amplitudes complejas\(\ E_{\omega}\) de ambos componentes\(\ E_{x}\) y\(\ E_{y}\) del campo eléctrico disminuyen\(\ b\) exponencialmente. Sin embargo, consideremos lo que sucede en frecuencias donde\(\ \kappa^{2}(\omega)<0\), ⁴⁷ i.e.

\[\ \varepsilon(\omega) \mu(\omega) \equiv \frac{1}{\nu^{2}(\omega)}<\frac{1}{u^{2}}<\frac{1}{c^{2}} \equiv \varepsilon_{0} \mu_{0}.\tag{10.128}\]

(Esta condición significa que la velocidad de la partícula es mayor que la velocidad de fase de las ondas, a esta frecuencia particular). En estos intervalos, el parámetro\(\ \kappa(\omega)\) es puramente imaginario, de manera que las funciones\(\ \exp \{\kappa b\}\) en las asíntotas (127) de las ecuaciones (116) - (117) se convierten en factores de fase, y las amplitudes de los componentes de campo caen muy lentamente:

\[\ \left|E_{x}(\omega)\right| \propto\left|E_{y}(\omega)\right| \propto \frac{1}{b^{1 / 2}}.\tag{10.129}\]

Esto significa que el vector Poynting cae como\(\ 1/b\), de manera que su flujo a través de una superficie de un cilindro redondo de radio\(\ b\), con el eje sobre la trayectoria de la partícula (es decir, el flujo de potencia de la partícula), no depende en absoluto de b. Se trata de una emisión de ondas electromagnéticas —la famosa radiación Cherenkov. ⁴⁸

La dirección n de su propagación se puede encontrar fácilmente teniendo en cuenta que a grandes distancias de la trayectoria de la partícula, la onda emitida tiene que ser localmente plana y transversal\(\ (\mathbf{n} \perp \mathbf{E})\), de modo que el llamado ángulo Cherenkov\(\ \theta\) entre el vector n y el La velocidad u de la partícula se puede encontrar simplemente a partir de la relación de los componentes del campo eléctrico — ver Fig. 14a:

\[\ \tan \theta=-\frac{E_{x}}{E_{y}}.\tag{10.130}\]

Fig. 10.14. a) El ángulo de propagación de la radiación Cherenkov\(\ \theta\), y b) su interpretación.

La relación en el lado derecho puede calcularse tapando la fórmula asintótica (127) en las ecuaciones (116) y (117) y calculando su relación:

\[\ \tan \theta=-\frac{E_{x}}{E_{y}}=\frac{i \kappa u}{\omega}=\left[\varepsilon(\omega) \mu(\omega) u^{2}-1\right]^{1 / 2}=\left(\frac{u^{2}}{\nu^{2}(\omega)}-1\right)^{1 / 2},\tag{10.131a}\]

para que

\[\ \cos \theta=\frac{\nu(\omega)}{u}<1.\quad\quad\quad\quad\text{Cherenkov angle}\tag{10.131b}\]

Sorprendentemente, esta dirección no depende del tiempo de emisión\(\ t_{\mathrm{ret}}\), por lo que la radiación de frecuencia\(\ \omega\), en cada instante, forma un cono hueco conducido por la partícula. Este simple resultado permite una interpretación evidente (Fig. 14b): el interior del cono es solo el conjunto de todos los puntos de observación que ya han sido alcanzados por la radiación, propagándose con la velocidad\(\ \nu(\omega)<u\), emitida desde todos los puntos anteriores de la trayectoria de la partícula en el tiempo dado\(\ t\). Este fenómeno está estrechamente relacionado con el llamado cono Mach en la dinámica de fluidos, ⁴⁹ además de que en la radiación Cherenkov, hay un cono separado para cada frecuencia (del rango en el que\(\ \nu(\omega)<u)\): cuanto menor es el\(\ \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\) producto, es decir, mayor es la velocidad de onda \(\ \nu(\omega)=1 /[\varepsilon(\omega) \mu(\omega)]^{1 / 2}\), cuanto más amplio es el cono, de manera que cuanto antes llegue la “onda de choque” correspondiente a un observador. Tenga en cuenta que la radiación Cherenkov es un fenómeno radiativo único: se produce incluso si una partícula se mueve sin aceleración, y (de acuerdo con nuestro análisis en la Sec. 2), es imposible en el espacio libre, donde\(\ \nu(\omega)=c=\mathrm{const}\) es más grande que\(\ u\) para cualquier partícula.

La intensidad de la radiación Cherenkov también se puede encontrar fácilmente al taponar la expresión asintótica (127), con imaginaria\(\ \kappa\), en la ecuación (123). El resultado es

\[\ -\frac{d \mathscr{E}}{d x} \approx\left(\frac{\mathscr{F} e}{4 \pi}\right)^{2} \int_{\nu(\omega)<u} \omega\left(1-\frac{\nu^{2}(\omega)}{u^{2}}\right) d \omega.\quad\quad\quad\quad\text{Cherenkov radiation: intensity}\tag{10.132}\]

Para las partículas no relativistas\(\ (u<<c)\), la condición de radiación Cherenkov\(\ u>\nu(\omega)\) puede cumplirse solo en intervalos de frecuencia relativamente estrechos donde el producto\(\ \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\) es muy grande (generalmente, debido a los picos de resonancia óptica de la permitividad eléctrica — ver Fig. 7.5 y su discusión). En este caso, la luz emitida consiste en unos pocos componentes casi monocromáticos. Por el contrario, si la condición\(\ u>\nu(\omega)\),\(\ u^{2} / \varepsilon(\omega) \mu(\omega)>1\) es decir, se cumple en un amplio rango de frecuencias (como lo es para las partículas ultra-relativistas en medios condensados), la potencia radiada, según la Ec. (132), está dominada por frecuencias más altas del rango, de ahí el famoso color azulado del Cherenkov resplandor de radiación de reactores nucleares llenos de agua— ver Fig. 15.

La radiación Cherenkov es ampliamente utilizada para la detección de radiación en experimentos de alta energía para la identificación de partículas y medición de velocidad (ya que es fácil pasar las partículas a través de capas de diversa densidad y por lo tanto de diversos valores de constante dieléctrica), por ejemplo, en el llamado Anillo Detectores de imagen Cherenkov (RICH) que han sido diseñados para el experimento DELPHI ⁵⁰ en el Gran Colisionador de Electrón-Positrón (LEP) en el CERN.

Fig. 10.15. El resplandor de radiación Cherenkov del Reactor de Prueba Avanzada del Laboratorio Nacional de Idaho en Arco, ID. (Adaptado de http://en.Wikipedia.org/wiki/Cherenkov_radiation bajo la licencia Creative Commons CC-BY-SA-2.0.)

Un poco contraintuitivamente, el formalismo descrito en esta sección también es muy útil para la descripción de un efecto aparentemente bastante diferente —la llamada radiación de transición que tiene lugar cuando una partícula cargada cruza una frontera entre dos medios. ⁵¹ El efecto puede interpretarse como el resultado de la dependencia temporal del dipolo eléctrico formado por la carga móvil q y su imagen especular\(\ q^{\prime}\) en el medio homólogo — ver Fig. 16.

Fig. 10.16. La física de la radiación de transición.

En el límite no relativista, este efecto permite una descripción sencilla combinando la imagen electrostática de la Sec. 3.4 (ver Fig. 3.9 y su discusión), y la Ec. (8.27), corregida para los efectos de polarización media. Sin embargo, si la velocidad de la partícula\(\ u\) es comparable con la velocidad de fase de las ondas en ambos medios, la teoría adecuada de la radiación de transición se vuelve muy cercana a la de la radiación Cherenkov.

En comparación con la radiación Cherenkov, la radiación de transición es bastante débil, y su uso práctico (principalmente para la medición del factor relativista\(\ \gamma\), al que la intensidad de radiación es casi proporcional) requiere pilas de múltiples capas. ⁵² En estos sistemas, la radiación emitida en los bordes secuenciales puede ser coherente, y la física del sistema puede acercarse a la de los láseres de electrones libres mencionados en la Sec. 4.

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Referencia

⁴² Todas las integrales aquí y abajo están en límites infinitos, a menos que se especifique lo contrario.

⁴³ Como se discutió en la Sec. 7.2, la conductividad óhmica del medio (generalmente, también una función de la frecuencia) puede incorporarse fácilmente a la permitividad dieléctrica:\(\ \varepsilon(\omega) \rightarrow \varepsilon_{\mathrm{ef}}(\omega)+i \sigma(\omega) / \omega\). En esta sección, asumiré que tal incorporación, que es especialmente natural para altas frecuencias, se ha realizado, de manera que la densidad de corriente\(\ \mathbf{j}(\mathbf{r}, t)\) describe únicamente corrientes autónomas —por ejemplo, la corriente (105) de la partícula incidente.

⁴⁴ Véase, por ejemplo, MA Ec. (6.5a).

⁴⁵ El parámetro dependiente de la frecuencia no\(\ \kappa(\omega)\) debe confundirse con la constante dieléctrica de baja frecuencia dc\(\ \kappa \equiv \varepsilon(0) / \varepsilon_{0}\), la cual se discutió en el Capítulo 3.

⁴⁶ Como recordatorio, las principales propiedades de estas funciones se listan en la Sec. 2.7 — ver, en particular, Fig. 2.22 y Eqs. (2.157) - (2.158).

⁴⁷ En sentido estricto, la desigualdad\(\ \kappa^{2}(\omega)<0\), no tiene sentido para un medio con un producto complejo\(\ \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\), y por lo tanto complejo\(\ \kappa^{2}(\omega)\). Sin embargo, en un medio típico donde las partículas pueden propagarse a distancias sustanciales, la parte imaginaria del producto\(\ \varepsilon(\omega) \mu(\omega)\) no se desvanece solo en intervalos de frecuencia muy limitados, mucho más estrechos que los intervalos que estamos discutiendo ahora — por favor, eche un vistazo más a la Fig. 7.5.

⁴⁸ Esta radiación fue observada experimentalmente por Pavel Alekseevich Cherenkov (en textos occidentales más antiguos, “Čerenkov”) en 1934, con las observaciones explicadas por Ilya Mikhailovich Frank e Igor Yevgenyevich Tamm en 1937. Obsérvese, sin embargo, que el efecto había sido predicho teóricamente ya en 1889 por el mismo Oliver Heaviside cuyo nombre fue mencionado en este curso tantas veces —y cuyo genio creo que sigue siendo subestimado.

⁴⁹ Su breve discusión se puede encontrar en CM Sec. 8.6.

⁵⁰ Véase, por ejemplo, http://delphiwww.cern.ch/offline/phy... -detector.html. Para una visión más amplia de los detectores de radiación (incluidos los de Cherenkov), el lector puede ser referido, por ejemplo, al texto clásico de G. F. Knoll, Radiation Detection and Measurement, 4 ^th ed., Wiley, 2010, y un tratamiento más reciente de K. Kleinknecht, Detectores para la radiación de partículas, Cambridge U. Prensa, 1999.

⁵¹ El efecto fue predicho teóricamente en 1946 por V. Ginzburg e I. Frank, y sólo después observado experimentalmente.

⁵² Véase, e.g., Sec. 5.3 en la monografía de K. Kleinknecht antes citada.