6.5: Momentum angular y su conservación
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- Comprender la analogía entre el momento angular y el momento lineal.
- Observe la relación entre el par y el momento angular.
- Aplicar la ley de conservación del momento angular
¿Por qué la Tierra sigue girando? ¿Qué empezó a girar para empezar? ¿Y cómo logra un patinador de hielo girar cada vez más rápido simplemente tirando de sus brazos? ¿Por qué no tiene que ejercer un torque para girar más rápido? Preguntas como estas tienen respuestas basadas en el momento angular, el momento de rotación analógico a lineal.
A estas alturas el patrón es claro: cada fenómeno rotacional tiene un análogo de traslación directa. Parece bastante razonable, entonces, definir el momento angular\(L\) como
\[L=I \omega. \nonumber \]
Esta ecuación es un análogo a la definición de momento lineal como\(p=m v\). Las unidades para el momento lineal son\(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}\) mientras que las unidades para el momento angular son\(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}\). Como es de esperar, un objeto que tiene un gran momento de inercia\(I\), como la Tierra, tiene un momento angular muy grande. Un objeto que tiene una gran velocidad angular\(\omega\), como una centrífuga, también tiene un momento angular bastante grande.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Angular Momentum of the Earth
Estrategia
No se da información en el enunciado del problema; por lo que debemos buscar datos pertinentes antes de poder calcular\(L=I \omega\). Primero, según la Figura 10.3.3 de [link], la fórmula para el momento de inercia de una esfera es
\[I=\frac{2 M R^{2}}{5} \nonumber\]
para que
\[L=I \omega=\frac{2 M R^{2} \omega}{5}. \nonumber\]
La masa de la Tierra\(M\) es\(5.979 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\) y su radio\(R\) es\(6.376 \times 10^{6} \mathrm{~m}\). La velocidad angular de la Tierra\(\omega\) es, por supuesto, exactamente una revolución por día, pero debemos encubrirnos\(\omega\) a radianes por segundo para hacer el cálculo en unidades SI.
Solución
Sustituir la información conocida en la expresión para\(L\) y convertir\(\omega\) a radianes por segundo da
\ [\ begin {aligned}
L &=0.4\ left (5.979\ times 10^ {24}\ mathrm {~kg}\ derecha)\ izquierda (6.376\ times 10^ {6}\ mathrm {~m}\ derecha) ^ {2}\ izquierda (\ frac {1\ mathrm {rev}} {\ mathrm {d}}\ derecha)\\
&=9.72\ veces ^ {37}\ mathrm {~kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}\ cdot\ mathrm {rev}/\ mathrm {d}.
\ end {alineado}\ nonumber\]
Sustituyendo\(2 \pi\) rad por\(1\) rev y\(8.64 \times 10^{4}\) por 1 día da
\ [\ begin {aligned}
L &=\ left (9.72\ times 10^ {37}\ mathrm {~kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}\ derecha)\ izquierda (\ frac {2\ pi\ mathrm {rad}/\ mathrm {rev}} {8.64\ times 10^ {4}\ mathrm {~s}/\ mathrm {d}\ derecha) (1\ mathrm {rev}/\ mathrm {d})\\
&=7.07\ times 10^ {33}\ mathrm {~kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}/ \ mathrm {s}.
\ end {alineado}\ nonumber\]
Discusión
Este número es grande, lo que demuestra que la Tierra, como se esperaba, tiene un tremendo impulso angular. La respuesta es aproximada, porque hemos asumido una densidad constante para la Tierra a fin de estimar su momento de inercia.
Cuando empujas un tiovivo, haces girar una rueda de bicicleta o abres una puerta, ejerces un par. Si el par que ejerce es mayor que los pares opuestos, entonces la rotación se acelera y el momento angular aumenta. Cuanto mayor sea el par neto, más rápido será el aumento de\(L\). La relación entre el par y el momento angular es
\[\text { net } \tau=\frac{\Delta L}{\Delta t}. \nonumber \]
Esta expresión es exactamente análoga a la relación entre fuerza y momento lineal,\(F=\Delta p / \Delta t\). La ecuación\(\text { net } \tau=\frac{\Delta L}{\Delta t}\) es muy fundamental y ampliamente aplicable. Es, de hecho, la forma rotacional de la segunda ley de Newton.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating the Torque Putting Angular Momentum Into a Lazy Susan
La figura\(\PageIndex{1}\) muestra una bandeja de comida Lazy Susan siendo rotada por una persona en busca de sustento. Supongamos que la persona ejerce una fuerza de 2.50 N perpendicular al radio de 0.260 m de la perezosa Susan durante 0.150 s. (a) ¿Cuál es el momento angular final de la perezosa Susan si parte del descanso, asumiendo que la fricción es insignificante? b) ¿Cuál es la velocidad angular final de la perezosa Susan, dado que su masa es de 4.00 kg y suponiendo que su momento de inercia es el de un disco?
Estrategia
Podemos encontrar el momento angular resolviendo\(\text { net } \tau=\frac{\Delta L}{\Delta t}\) para\(\Delta L\), y usando la información dada para calcular el par. El momento angular final es igual al cambio en el momento angular, porque la perezosa Susan parte del descanso. Es decir,\(\Delta L=L\). Para encontrar la velocidad final, debemos calcular\(\omega\) a partir de la definición de\(L\) in\(L=I \omega\).
Solución para (a)
Resolviendo\(\text { net } \tau=\frac{\Delta L}{\Delta t}\) para\(\Delta L\) da
\[\Delta L=(\operatorname{net} \tau) \Delta \mathrm{t}. \nonumber\]
Debido a que la fuerza es perpendicular a\(R\), vemos eso\(\text { net } \tau=r F\), así que
\ [\ begin {alineado}
L &=\ mathrm {rF}\ Delta t =( 0.260\ mathrm {~m}) (2.50\ mathrm {~N}) (0.150\ mathrm {~s})\\
&=9.75\ veces 10^ {-2}\ mathrm {~kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}/\ mathrm {s}.
\ end {alineado}\ nonumber\]
Solución para (b)
La velocidad angular final se puede calcular a partir de la definición de momento angular,
\[L=I \omega. \nonumber\]
Resolver\(\omega\) y sustituir la fórmula por el momento de inercia de un disco en la ecuación resultante da
\[\omega=\frac{L}{I}=\frac{L}{\frac{1}{2} M R^{2}}. \nonumber\]
Y la sustitución de valores conocidos en la ecuación precedente rinde
\[\omega=\frac{9.75 \times 10^{-2} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}}{(0.500)(4.00 \mathrm{~kg})(0.260 \mathrm{~m})}=0.721 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. \nonumber\]
Discusión
Tenga en cuenta que el momento angular impartido no depende de ninguna propiedad del objeto sino solo del par y el tiempo. La velocidad angular final es equivalente a una revolución en 8.71 s (la determinación del periodo de tiempo se deja como un ejercicio para el lector), que es aproximadamente la correcta para una Susan perezosa.
Hacer conexiones: leyes de conservación
El momento angular, como la energía y el impulso lineal, se conserva. Esta ley universalmente aplicable es otro signo de unidad subyacente en las leyes físicas. El momento angular se conserva cuando el par externo neto es cero, así como el momento lineal se conserva cuando la fuerza externa neta es cero.
Conservación del Momentum Angular
Ahora podemos entender por qué la Tierra sigue girando. Como vimos en el ejemplo anterior,\(\Delta L=(\operatorname{net} \tau) \Delta t\). Esta ecuación significa que, para cambiar el momento angular, un par debe actuar durante algún período de tiempo. Debido a que la Tierra tiene un gran momento angular, se necesita un par grande que actúe durante mucho tiempo para cambiar su velocidad de giro. Entonces, ¿qué pares externos hay? La fricción de las mareas ejerce un par que está desacelerando la rotación de la Tierra, pero deben pasar decenas de millones de años antes de que el cambio sea muy significativo. Investigaciones recientes indican que la duración del día era de 18 h hace unos 900 millones de años. Sólo las mareas ejercen pares retardantes significativos en la Tierra, y así seguirá girando, aunque cada vez más lentamente, durante muchos miles de millones de años.
Lo que tenemos aquí es, de hecho, otra ley de conservación. Si el par neto es cero, entonces el momento angular es constante o conservado. Esto lo podemos ver rigurosamente considerando\(\text { net } \tau=\frac{\Delta L}{\Delta t}\) para la situación en la que el par neto es cero. En ese caso,
\[\operatorname{net} \tau=0 \nonumber \]
lo que implica que
\[\frac{\Delta L}{\Delta t}=0. \nonumber \]
Si el cambio en el momento angular\(\Delta L\) es cero, entonces el momento angular es constante; así,
\[L=\text { constant }(\text { net } \tau=0) \nonumber \]
o
\[L=L^{\prime}(\operatorname{net} \tau=0) . \nonumber \]
Estas expresiones son la ley de conservación del momento angular. Las leyes de conservación son tan escasas como importantes.
Un ejemplo de conservación del momento angular se ve en la Figura\(\PageIndex{2}\), en la que un patinador sobre hielo está ejecutando un giro. El par neto sobre ella es muy cercano a cero, porque hay relativamente poca fricción entre sus patines y el hielo y porque la fricción se ejerce muy cerca del punto de pivote. (Ambos\(F\) y\(R\) son pequeños, y así\(\tau\) es insignificantemente pequeños.) En consecuencia, puede girar desde hace bastante tiempo. Ella también puede hacer otra cosa. Ella puede aumentar su tasa de giro tirando de sus brazos y piernas hacia adentro. ¿Por qué tirar de sus brazos y piernas aumenta su tasa de giro? La respuesta es que su momento angular es constante, por lo que
\[L=L^{\prime}. \nonumber \]
Expresando esta ecuación en términos del momento de inercia,
\[I \omega=I^{\prime} \omega^{\prime}, \nonumber \]
donde las cantidades cebadas se refieren a condiciones después de que ella haya tirado en sus brazos y reducido su momento de inercia. Debido a que\(I^{\prime}\) es menor, la velocidad angular\(\omega^{\prime}\) debe aumentar para mantener constante el momento angular. El cambio puede ser dramático, como muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Calculating the Angular Momentum of a Spinning Skater
Supongamos que una patinadora sobre hielo, como la de la Figura\(\PageIndex{2}\), está girando a 0.800 rev/ s con los brazos extendidos. Tiene un momento de inercia de\(2.34 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}\) con los brazos extendidos y de\(0.363 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}\) con los brazos cerca de su cuerpo. (Estos momentos de inercia se basan en supuestos razonables sobre un patinador de 60.0-kg). a) ¿Cuál es su velocidad angular en revoluciones por segundo después de que tira de sus brazos? b) ¿Cuál es su energía cinética rotacional antes y después de que haga esto?
Estrategia
En la primera parte del problema, estamos buscando la velocidad angular de la patinadora\(\omega^{\prime}\) después de que ella haya tirado en sus brazos. Para encontrar esta cantidad, utilizamos la conservación del momento angular y observamos que se dan los momentos de inercia y velocidad angular inicial. Para encontrar las energías cinéticas inicial y final, utilizamos la definición de energía cinética rotacional dada por
\[\mathrm{KE}_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I \omega^{2}. \nonumber\]
Solución para (a)
Debido a que el par es insignificante (como se discutió anteriormente), la conservación del momento angular dado\(I \omega=I^{\prime} \omega^{\prime}\) es aplicable. Por lo tanto,
\[L=L^{\prime} \nonumber\]
o
\[I \omega=I^{\prime} \omega^{\prime} \nonumber\]
Resolver\(\omega^{\prime}\) y sustituir valores conocidos en la ecuación resultante da
\ [\ begin {alineado}
\ omega^ {\ prime} &=\ frac {I} {I^ {\ prime}}\ omega=\ left (\ frac {2.34\ mathrm {~kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}} {0.363\ mathrm {~kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}}\ derecha) (800\ mathrm {rev}/\ mathrm {s})\\
&=5.16\ mathrm {rev}/\ mathrm {s}.
\ end {alineado}\ nonumber\]
Solución para (b)
La energía cinética rotacional viene dada por
\[\mathrm{KE}_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I \omega^{2}. \nonumber\]
El valor inicial se encuentra sustituyendo valores conocidos en la ecuación y convirtiendo la velocidad angular a rad/s:
\ [\ begin {alineado}
\ mathrm {KE} _ {\ mathrm {rot}} & =( 0.5)\ izquierda (2.34\ mathrm {~kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}\ derecha) ((0.800\ mathrm {rev}/\ mathrm {s}) (2\ pi\ mathrm {rad}/\ mathrm {rev}) ^ {^ 2}\\
&=29.6\ mathrm {~J}.
\ end {alineado}\ nonumber\]
La energía cinética rotacional final es
\[\mathrm{KE}_{\mathrm{rot}}^{\prime}=\frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{\prime 2}. \nonumber\]
Sustituir valores conocidos en esta ecuación da
\ [\ begin {aligned}
K E_ {\ text {rot}} ^ {\ prime} & =( 0.5)\ left (0.363\ mathrm {~kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}\ derecha) [(5.16\ mathrm {rev}/\ mathrm {s}) (2\ pi\ mathrm {rad}/\ mathrm {rev})] ^ {^ 2}\\
&=191\ mathrm {~J}.
\ end {alineado}\ nonumber\]
Discusión
En ambas partes, hay un incremento impresionante. Primero, la velocidad angular final es grande, aunque la mayoría de los patinadores de clase mundial pueden lograr tasas de giro sobre este genial. Segundo, la energía cinética final es mucho mayor que la energía cinética inicial. El incremento en la energía cinética rotacional proviene del trabajo realizado por la patinadora al tirar de sus brazos. Este trabajo es un trabajo interno que agota parte de la energía alimentaria del patinador.
Hay varios otros ejemplos de objetos que incrementan su velocidad de giro porque algo redujo su momento de inercia. Los tornados son un ejemplo. Los sistemas de tormenta que crean tornados están girando lentamente. Cuando el radio de rotación se estrecha, incluso en una región local, la velocidad angular aumenta, a veces al nivel furioso de un tornado. La Tierra es otro ejemplo. Nuestro planeta nació de una enorme nube de gas y polvo, cuya rotación vino de la turbulencia en una nube aún mayor. Las fuerzas gravitacionales provocaron que la nube se contrajera, y la velocidad de rotación aumentó como resultado. (Ver Figura\(\PageIndex{3}\).)
En caso de movimiento humano, no se esperaría que se conservara el momento angular cuando un cuerpo interactúa con el ambiente a medida que su pie empuja del suelo. Los astronautas que flotan en el espacio a bordo de la Estación Espacial Internacional no tienen impulso angular en relación con el interior de la nave si están inmóviles. Sus cuerpos seguirán teniendo este valor cero sin importar cómo se tuerzan mientras no se den un empujón del costado de la embarcación.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
¿El momento angular es completamente análogo al momento lineal? ¿Cuáles, si las hay, son sus diferencias?
- Contestar
-
Sí, los momentos angulares y lineales son completamente análogos. Si bien son análogos exactos tienen diferentes unidades y no son directamente interconvertibles como son las formas de energía.
Resumen de la Sección
- Cada fenómeno rotacional tiene un análogo de traslación directa, del mismo modo el momento angular se\(L\) puede definir como\(L=I \omega\).
- Esta ecuación es un análogo a la definición de momento lineal como\(p=m v\). La relación entre el par y el momento angular es\(\text { net } \tau=\frac{\Delta L}{\Delta t}\).
- El momento angular, como la energía y el impulso lineal, se conserva. Esta ley universalmente aplicable es otro signo de unidad subyacente en las leyes físicas. El momento angular se conserva cuando el par externo neto es cero, así como el momento lineal se conserva cuando la fuerza externa neta es cero.
Glosario
- energía cinética rotacional
- la energía cinética debida a la rotación de un objeto. Esto es parte de su energía cinética total