7.6: Principio de Arquímedes

Objetivos de aprendizaje

• Definir la fuerza de flotación.
• Principio de Arquímedes del Estado.
• Entender por qué los objetos flotan o hunden.
• Comprender la relación entre densidad y principio de Arquímedes.

Cuando te levantas de descansar en un baño tibio, tus brazos se sienten extrañamente pesados. Esto se debe a que ya no se tiene el apoyo flotante del agua. ¿De dónde viene esta fuerza de flotación? ¿Por qué es que algunas cosas flotan y otras no? ¿Los objetos que se hunden obtienen algún apoyo del fluido? ¿Tu cuerpo está flotando por la atmósfera, o solo se ven afectados los globos de helio? (Ver Figura\(\PageIndex{1}\).)

Figura\(\PageIndex{1}\): (a) Incluso los objetos que se hunden, como este ancla, están parcialmente soportados por el agua cuando están sumergidos. b) Los submarinos tienen densidad ajustable (tanques de lastre) para que puedan flotar o hundirse según se desee. (crédito: Armada Aliada) c) Globos llenos de helio tiran hacia arriba sobre sus cuerdas, demostrando el efecto de flotación del aire. (crédito: Crystl)

Las respuestas a todas estas preguntas, y muchas otras, se basan en el hecho de que la presión aumenta con la profundidad en un fluido. Esto significa que la fuerza hacia arriba en la parte inferior de un objeto en un fluido es mayor que la fuerza hacia abajo en la parte superior del objeto. Hay una red hacia arriba, o fuerza de flotación sobre cualquier objeto en cualquier fluido. (Ver Figura\(\PageIndex{2}\).) Si la fuerza de flotación es mayor que el peso del objeto, el objeto se elevará a la superficie y flotará. Si la fuerza de flotación es menor que el peso del objeto, el objeto se hundirá. Si la fuerza de flotación es igual al peso del objeto, el objeto permanecerá suspendido a esa profundidad. La fuerza de flotación siempre está presente ya sea que el objeto flote, se hunda o esté suspendido en un fluido.

Definición: FUERZA DE BOYA

La fuerza de flotación es la fuerza neta hacia arriba sobre cualquier objeto en cualquier fluido.

Figura\(\PageIndex{2}\): La presión por el peso de un fluido aumenta con la profundidad desde entonces\(P=\rho g h\). Esta presión y la fuerza ascendente asociada en la parte inferior del cilindro son mayores que la fuerza hacia abajo en la parte superior del cilindro. Su diferencia es la fuerza de flotación\(\mathbf{F}_{\mathrm{B}}\). (Las fuerzas horizontales cancelan.)

¿Qué tan grande es esta fuerza flotante? Para responder a esta pregunta, piense en lo que sucede cuando un objeto sumergido es retirado de un fluido, como en la Figura\(\PageIndex{3}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): (a) Un objeto sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación\(\mathbf{F}_{\mathrm{B}}\). Si\(\mathbf{F}_{\mathrm{B}}\) es mayor que el peso del objeto, el objeto se elevará. Si\(\mathbf{F}_{\mathrm{B}}\) es menor que el peso del objeto, el objeto se hundirá. (b) Si se retira el objeto, se sustituye por fluido que tenga peso\(w_{\mathrm{fl}}\). Dado que este peso es soportado por el fluido circundante, la fuerza de flotación debe ser igual al peso del fluido desplazado. Es decir\(F_{\mathrm{B}}=w_{\mathrm{fl}}\), una declaración del principio de Arquímedes.

El espacio que ocupaba es llenado por fluido que tiene un peso\(w_{\mathrm{fl}}\). Este peso es soportado por el fluido circundante, por lo que la fuerza de flotación debe ser igual\(w_{\mathrm{fl}}\), al peso del fluido desplazado por el objeto. Es un homenaje al genio del matemático e inventor griego Arquímedes (ca. 287—212 a.C.) que afirmó este principio mucho antes de que los conceptos de fuerza estuvieran bien establecidos. Dicho en palabras, el principio de Arquímedes es el siguiente: La fuerza de flotación sobre un objeto equivale al peso del fluido que desplaza. En forma de ecuación, el principio de Arquímedes es

\[F_{\mathrm{B}}=w_{\mathrm{fl}}, \nonumber \]

donde\(\mathbf{F}_{\mathrm{B}}\) está la fuerza de flotación y\(w_{\mathrm{fl}}\) es el peso del fluido desplazado por el objeto. El principio de Arquímedes es válido en general, para cualquier objeto en cualquier fluido, ya sea parcial o totalmente sumergido.

Definición: PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Según este principio la fuerza de flotación sobre un objeto equivale al peso del fluido que desplaza. En forma de ecuación, el principio de Arquímedes es

\[F_{\mathrm{B}}=w_{\mathrm{fl}}, \nonumber\]

donde\(\mathbf{F}_{\mathrm{B}}\) está la fuerza de flotación y\(w_{\mathrm{fl}}\) es el peso del fluido desplazado por el objeto.

Humm... Los trajes de baño de cuerpo de alta tecnología se introdujeron en 2008 en preparación para los Juegos Olímpicos de Beijing. Una preocupación (y norma internacional) era que estos trajes no debían proporcionar ninguna ventaja de flotabilidad. ¿Cómo cree que se podría verificar esta regla?

Hacer conexiones: investigación para llevar a casa

La densidad del papel de aluminio es 2.7 veces la densidad del agua. Toma un trozo de papel de aluminio, enróllalo en una bola y déjalo caer en agua. ¿Se hunde? ¿Por qué o por qué no? ¿Puedes hacer que se hunda?

Flotante y Hundimiento

Deja caer un terrón de arcilla en agua. Se hundirá. Luego moldea el trozo de arcilla en forma de bote, y flotará. Por su forma, la embarcación desplaza más agua que el bulto y experimenta una mayor fuerza de flotación. Lo mismo ocurre con los barcos de acero.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating buoyant force: dependency on shape

a) Calcular la fuerza de flotación en 10,000 toneladas métricas (\(1.00 \times 10^{7} \mathrm{~kg}\)) de acero sólido completamente sumergido en agua, y compárela con el peso del acero. b) ¿Cuál es la fuerza máxima de flotación que el agua podría ejercer sobre este mismo acero si se convirtiera en una embarcación que pudiera desplazar\(1.00 \times 10^{5} \mathrm{~m}^{3}\) el agua?

Estrategia para a)

Para encontrar la fuerza de flotación, debemos encontrar el peso del agua desplazado. Podemos hacer esto usando las densidades de agua y acero dadas anteriormente (ver “Densidad”). Observamos que, dado que el acero está completamente sumergido, su volumen y el volumen del agua son los mismos. Una vez que conocemos el volumen de agua, podemos encontrar su masa y peso.

Solución para (a)

Primero, usamos la definición de densidad\(\rho=\frac{m}{V}\) para encontrar el volumen del acero, y luego sustituimos valores por masa y densidad. Esto da

\[V_{\mathrm{st}}=\frac{m_{\mathrm{st}}}{\rho_{\mathrm{st}}}=\frac{1.00 \times 10^{7} \mathrm{~kg}}{7.8 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}}=1.28 \times 10^{3} \mathrm{~m}^{3}. \nonumber\]

Debido a que el acero está completamente sumergido, este es también el volumen de agua desplazada,\(V_{\mathrm{w}}\). Ahora podemos encontrar la masa de agua desplazada de la relación entre su volumen y densidad, ambas conocidas. Esto da

\ [\ begin {alineado}
m_ {\ mathrm {w}} &=\ rho_ {\ mathrm {w}} V_ {\ mathrm {w}} =\ left (1.000\ times 10^ {3}\ mathrm {~kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha)\ izquierda (1.28\ veces 10^ {3}\ mathrm {~m} ^ ^ {3}\ derecha)\\
&=1.28\ times 10^ {6}\ mathrm {~kg}
\ end {alineado}. \ nonumber\]

Por principio de Arquímedes, el peso del agua desplazada es\(m_{\mathrm{w}} g\), por lo que la fuerza de flotación es

\ [\ begin {alineado}
F_ {\ mathrm {B}} &=w_ {\ mathrm {w}} =m_ {\ mathrm {w}} g=\ left (1.28\ veces 10^ {6}\ mathrm {~kg}\ derecha)\ izquierda (9.80\ mathrm {~m}/\ mathrm {s} ^ {2}\ derecha)\
&=1.3\ veces 10^ {7}\ mathrm {~N}
\ end {alineado}. \ nonumber\]

El peso del acero es\(m_{\mathrm{w}} g=9.80 \times 10^{7} \mathrm{~N}\), que es mucho mayor que la fuerza de flotación, por lo que el acero permanecerá sumergido. Tenga en cuenta que la fuerza de flotación se redondea a dos dígitos porque la densidad del acero se da a solo dos dígitos.

Estrategia para b)

Aquí se nos da el volumen máximo de agua que la embarcación de acero puede desplazar. La fuerza de flotación es el peso de este volumen de agua.

Solución para (b)

La masa de agua desplazada se encuentra a partir de su relación con la densidad y el volumen, ambos conocidos. Es decir,

\ [\ begin {alineado}
m_ {\ mathrm {w}} &=\ rho_ {\ mathrm {w}} V_ {\ mathrm {w}} =\ left (1.000\ times 10^ {3}\ mathrm {~kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha)\ izquierda (1.00\ veces 10^ {5}\ mathrm {~m} ^ {3}}\ derecha)\\
&=1.00\ times 10^ {8}\ mathrm {~kg}
\ end {alineado}. \ nonumber\]

La fuerza máxima de flotación es el peso de esta cantidad de agua, o

\ [\ begin {alineado}
F_ {\ mathrm {B}} &=w_ {\ mathrm {w}} =m_ {\ mathrm {w}} g=\ left (1.00\ times 10^ {8}\ mathrm {~kg}\ derecha)\ izquierda (9.80\ mathrm {~m}/\ mathrm {s} ^ {2}\ derecha)\\
&=9.80\ veces 10^ {8}\ mathrm {~N}
\ end {alineado}. \ nonumber\]

Discusión

La fuerza máxima de flotación es diez veces el peso del acero, lo que significa que el barco puede llevar una carga nueve veces su propio peso sin hundirse.

Hacer conexiones: investigación para llevar a casa

Un trozo de papel de aluminio doméstico tiene 0.016 mm de grosor. Usa un trozo de papel de aluminio que mida 10 cm por 15 cm. a) ¿Cuál es la masa de esta cantidad de lámina? b) Si la lámina se pliega para darle cuatro lados, y se le agregan clips o arandelas a este “bote”, ¿qué forma de la embarcación le permitiría retener la mayor cantidad de “carga” cuando se coloca en el agua? Pon a prueba tu predicción.

Densidad y Principio de Arquímedes

La densidad juega un papel crucial en el principio de Arquímedes. La densidad promedio de un objeto es lo que determina en última instancia si flota. Si su densidad promedio es menor que la del fluido circundante, flotará. Esto se debe a que el fluido, al tener una mayor densidad, contiene más masa y por lo tanto más peso en el mismo volumen. La fuerza de flotación, que equivale al peso del fluido desplazado, es así mayor que el peso del objeto. De igual manera, un objeto más denso que el fluido se hundirá.

La medida en que se sumerge un objeto flotante depende de cómo se relaciona la densidad del objeto con la del fluido. En la Figura\(\PageIndex{4}\), por ejemplo, la nave descargada tiene una densidad menor y menos de ella está sumergida en comparación con la misma nave cargada. Podemos derivar una expresión cuantitativa para la fracción sumergida considerando la densidad. La fracción sumergida es la relación entre el volumen sumergido y el volumen del objeto, o

\[\text { fraction submerged }=\frac{V_{\text {sub }}}{V_{\text {obj }}}=\frac{V_{\mathrm{fl}}}{V_{\text {obj }}}. \nonumber \]

El volumen sumergido equivale al volumen de fluido desplazado, al que llamamos\(V_{\mathrm{fl}}\). Ahora podemos obtener la relación entre las densidades sustituyéndolo\(\rho=\frac{m}{V}\) en la expresión. Esto da

\[\frac{V_{\mathrm{fl}}}{V_{\mathrm{obj}}}=\frac{m_{\mathrm{fl}} / \rho_{\mathrm{fl}}}{m_{\mathrm{obj}} / \bar{\rho}_{\mathrm{obj}}}, \nonumber \]

donde\(\bar{\rho}_{\text {obj }}\) es la densidad promedio del objeto y\(\rho_{\mathrm{fl}}\) es la densidad del fluido. Dado que el objeto flota, su masa y la del fluido desplazado son iguales, y así cancelan de la ecuación, dejando

\[\text { fraction submerged }=\frac{\bar{\rho}_{\mathrm{obj}}}{\rho_{\mathrm{fl}}}. \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{4}\): Un buque descargado (a) flota más alto en el agua que un barco cargado (b).

Utilizamos esta última relación para medir densidades. Esto se hace midiendo la fracción de un objeto flotante que se sumerge, por ejemplo, con un hidrómetro. Es útil definir la relación entre la densidad de un objeto y un fluido (generalmente agua) como gravedad específica:

\[\text { specific gravity }=\frac{\bar{\rho}}{\rho_{\mathrm{w}}}, \nonumber \]

donde\(\bar{\rho}\) es la densidad promedio del objeto o sustancia y\(\rho_{\mathrm{w}}\) es la densidad del agua a 4.00°C. La gravedad específica es adimensional, independiente de las unidades que se utilicen\(\rho\). Si un objeto flota, su gravedad específica es menor que uno. Si se hunde, su gravedad específica es mayor que uno. Además, la fracción de un objeto flotante que se sumerge es igual a su gravedad específica. Si la gravedad específica de un objeto es exactamente 1, entonces permanecerá suspendido en el fluido, ni hundiéndose ni flotando. Los buceadores intentan obtener este estado para que puedan flotar en el agua. Medimos la gravedad específica de los fluidos, como el ácido de la batería, el líquido del radiador y la orina, como indicador de su condición. Un dispositivo para medir la gravedad específica se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\).

Definición: Gravedad específica

La gravedad específica es la relación entre la densidad de un objeto y un fluido (generalmente agua).

Figura\(\PageIndex{5}\): Este hidrómetro está flotando en un fluido de gravedad específica 0.87. El hidrómetro de vidrio se llena de aire y se pesa con plomo en la parte inferior. Flota más alto en los fluidos más densos y ha sido calibrado y etiquetado para que la gravedad específica se pueda leer de él directamente.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating Average Density: Floating Woman

Supongamos que una mujer de 60.0-kg flota en agua dulce con\(97.0 \%\) de su volumen sumergido cuando sus pulmones están llenos de aire. ¿Cuál es su densidad promedio?

Estrategia

Podemos encontrar la densidad de la mujer resolviendo la ecuación

\[\text { fraction submerged }=\frac{\bar{\rho}_{\mathrm{obj}}}{\rho_{\mathrm{fl}}} \nonumber\]

para la densidad del objeto. Esto rinde

\[\bar{\rho}_{\mathrm{obj}}=\bar{\rho}_{\text {person }}=(\text { fraction submerged }) \cdot \rho_{\mathrm{fl}}. \nonumber\]

Conocemos tanto la fracción sumergida como la densidad del agua, y así podemos calcular la densidad de la mujer.

Solución

Ingresando los valores conocidos en la expresión de su densidad, obtenemos

\[\bar{\rho}_{\text {person }}=0.970 \cdot\left(10^{3} \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\right)=970 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}. \nonumber\]

Discusión

Su densidad es menor que la densidad del fluido. Esto lo esperamos porque ella flota. La densidad corporal es un indicador del porcentaje de grasa corporal de una persona, de interés en el diagnóstico médico y el entrenamiento atlético. (Ver Figura\(\PageIndex{6}\).)

Figura\(\PageIndex{6}\): Sujeto en un “tanque de grasa”, donde es pesado mientras está completamente sumergido como parte de una determinación de la densidad corporal. El sujeto debe vaciar completamente sus pulmones y sostener un peso metálico para poder hundirse. Se hacen correcciones para el aire residual en sus pulmones (medido por separado) y el peso del metal. Su peso sumergido corregido, su peso en el aire y las pruebas de pellizco de áreas grasas estratégicas se utilizan para calcular su porcentaje de grasa corporal.

Hay muchos ejemplos obvios de objetos o sustancias de baja densidad que flotan en fluidos de mayor densidad: petróleo sobre agua, un globo de aire caliente, un poco de corcho en el vino, un iceberg y cera caliente en una “lámpara de lava”, por nombrar algunos. Los ejemplos menos obvios incluyen lava que se eleva en un volcán y cadenas montañosas que flotan en la corteza y el manto de mayor densidad debajo de ellos. Incluso la Tierra aparentemente sólida tiene características fluidas.

Más mediciones de densidad

Una de las técnicas más comunes para determinar la densidad se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\).

Figura\(\PageIndex{7}\): (a) Se pesa una moneda en el aire. (b) El peso aparente de la moneda se determina mientras está completamente sumergida en un fluido de densidad conocida. Estas dos medidas se utilizan para calcular la densidad de la moneda.

Un objeto, aquí una moneda, se pesa en el aire y luego se vuelve a pesar mientras se sumerge en un líquido. La densidad de la moneda, indicación de su autenticidad, se puede calcular si se conoce la densidad del fluido. Esta misma técnica también se puede utilizar para determinar la densidad del fluido si se conoce la densidad de la moneda. Todos estos cálculos se basan en el principio de Arquímedes.

El principio de Arquímedes establece que la fuerza de flotación sobre el objeto es igual al peso del fluido desplazado. Esto, a su vez, significa que el objeto parece pesar menos cuando se sumerge; llamamos a esta medida el peso aparente del objeto. El objeto sufre una aparente pérdida de peso igual al peso del fluido desplazado. Alternativamente, en balanzas que miden masa, el objeto sufre una aparente pérdida de masa igual a la masa de fluido desplazada. Eso es

\[\text { apparent weight loss }=\text { weight of fluid displaced } \nonumber \]

o

\[\text { apparent mass loss }=\text { mass of fluid displaced. } \nonumber \]

El siguiente ejemplo ilustra el uso de esta técnica.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Calculating Density: Is the Coin Authentic?

Se determina que la masa de una moneda griega antigua en el aire es de 8.630 g. Cuando la moneda se sumerge en agua como se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\), su masa aparente es de 7.800 g. Calcula su densidad, dado que el agua tiene una densidad de\(1.000 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\) y que los efectos causados por el alambre que suspende la moneda son despreciable.

Estrategia

Para calcular la densidad de la moneda, necesitamos su masa (que se da) y su volumen. El volumen de la moneda equivale al volumen de agua desplazada. El volumen de agua desplazada se\(V_{\mathrm{w}}\) puede encontrar resolviendo la ecuación de densidad\(\rho=\frac{m}{V}\) para\(V\).

Solución

El volumen de agua es\(V_{\mathrm{w}}=\frac{m_{\mathrm{w}}}{\rho_{\mathrm{w}}}\) donde\(m_{\mathrm{w}}\) está desplazada la masa de agua. Como se señaló, la masa del agua desplazada equivale a la aparente pérdida de masa, que es\(m_{\mathrm{w}}=8.630 \mathrm{~g}-7.800 \mathrm{~g}=0.830 \mathrm{~g}\). Así el volumen de agua es\(V_{\mathrm{w}}=\frac{0.830 \mathrm{~g}}{1.000 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}}=0.830 \mathrm{~cm}^{3}\). Este es también el volumen de la moneda, ya que está completamente sumergida. Ahora podemos encontrar la densidad de la moneda usando la definición de densidad:

\[\rho_{\mathrm{c}}=\frac{m_{\mathrm{c}}}{V_{\mathrm{c}}}=\frac{8.630 \mathrm{~g}}{0.830 \mathrm{~cm}^{3}}=10.4 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. \nonumber\]

Discusión

Ves que esta densidad es muy cercana a la de la plata pura, apropiada para este tipo de moneda antigua. La mayoría de las falsificaciones modernas no son plata pura.

Esto nos lleva de nuevo al principio de Arquímedes y cómo surgió. Según cuenta la historia, el rey de Siracusa le dio a Arquímedes la tarea de determinar si el hacedor de la corona real estaba suministrando una corona de oro puro. La pureza del oro es difícil de determinar por color (se puede diluir con otros metales y seguir luciendo tan amarilla como el oro puro), y aún no se habían concebido otras técnicas analíticas. Incluso los pueblos antiguos, sin embargo, se dieron cuenta de que la densidad del oro era mayor que la de cualquier otra sustancia entonces conocida. Arquímedes supuestamente agonizó por su tarea y algún día tuvo su inspiración mientras estaba en los baños públicos, reflexionando sobre el apoyo que el agua le daba al cuerpo. Se le ocurrió su ahora famoso principio, vio cómo aplicarlo para determinar la densidad y corrió desnudo por las calles de Siracusa llorando “¡Eureka!” (Griego para “Lo he encontrado”). ¡Comportamiento similar se puede observar en físicos contemporáneos de vez en cuando!

Resumen de la Sección

• La fuerza de flotación es la fuerza neta hacia arriba sobre cualquier objeto en cualquier fluido. Si la fuerza de flotación es mayor que el peso del objeto, el objeto se elevará a la superficie y flotará. Si la fuerza de flotación es menor que el peso del objeto, el objeto se hundirá. Si la fuerza de flotación es igual al peso del objeto, el objeto permanecerá suspendido a esa profundidad. La fuerza de flotación siempre está presente ya sea que el objeto flote, se hunda o esté suspendido en un fluido.
• El principio de Arquímedes establece que la fuerza de flotación sobre un objeto es igual al peso del fluido que desplaza.
• La gravedad específica es la relación entre la densidad de un objeto y un fluido (generalmente agua).

Glosario

Principio de Arquímedes

la fuerza de flotación sobre un objeto es igual al peso del fluido que desplaza

fuerza de flotación

la fuerza neta hacia arriba sobre cualquier objeto en cualquier fluido

gravedad específica

la relación entre la densidad de un objeto y un fluido (generalmente agua)