7.7: Caudal y su relación con la velocidad
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- Calcular el caudal.
- Definir unidades de volumen.
- Describir fluidos incompresibles.
- Explicar las consecuencias de la ecuación de continuidad.
El caudal \(Q\)se define como el volumen de fluido que pasa por alguna ubicación a través de un área durante un periodo de tiempo, como se ve en la Figura\(\PageIndex{1}\). En símbolos, esto se puede escribir como
\[Q=\frac{V}{t}, \nonumber \]
donde \(V\)está el volumen y \(t\)es el tiempo transcurrido.
La unidad SI para el caudal es\(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}\), pero un número de otras unidades para \(Q\)son de uso común. Por ejemplo, el corazón de un adulto en reposo bombea sangre a una velocidad de 5.00 litros por minuto (L/min). Tenga en cuenta que un litro (L) es 1/1000 de metro cúbico o 1000 centímetros cúbicos (\(10^{-3} \mathrm{~m}^{3}\)o\(10^{3} \mathrm{~cm}^{3}\)). En este texto utilizaremos las unidades métricas que sean más convenientes para una situación dada.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Volume from Flow Rate: The Heart Pumps a Lot of Blood in a Lifetime
¿Cuántos metros cúbicos de sangre bombea el corazón en una vida útil de 75 años, asumiendo que el caudal promedio es de 5.00 L/min?
Estrategia
\(Q\)Se dan tiempo y caudal, por lo que el volumen se \(V\)puede calcular a partir de la definición de caudal.
Solución
Resolviendo\(Q=V / t\) para dar volumen
\[V=Q t. \nonumber\]
Sustitución de rendimientos de valores conocidos
\ [\ begin {alineada}
V &=\ izquierda (\ frac {5.00\ mathrm {~L}} {1\ min}\ derecha) (75\ mathrm {y})\ left (\ frac {1\ mathrm {~m} ^ {3}} {10^ {3}\ mathrm {~L}}\ derecha)\ izquierda (5.26\ times 10^ {5}\ frfrac ac {\ mathrm {min}} {\ mathrm {y}}\ derecha)\\
&=2.0\ veces 10^ {5}\ mathrm {~m} ^ {3}.
\ end {alineado}\ nonumber\]
Discusión
Esta cantidad es de aproximadamente 200,000 toneladas de sangre. A modo de comparación, este valor equivale a aproximadamente 200 veces el volumen de agua contenida en una piscina de entrenamiento de 6 carriles de 50 m.
El caudal y la velocidad están relacionados, pero bastante diferentes, con cantidades físicas. Para dejar clara la distinción, piensa en el caudal de un río. Cuanto mayor sea la velocidad del agua, mayor será el caudal del río. Pero el caudal también depende del tamaño del río. Un rápido arroyo de montaña transporta mucha menos agua que el río Amazonas en Brasil, por ejemplo. La relación precisa entre el caudal \(Q\)y la velocidad\(\bar{v}\) es
\[Q=A \bar{v}, \nonumber \]
donde \(A\)es el área transversal y\(\bar{v}\) es la velocidad promedio. Esta ecuación parece bastante lógica. La relación nos dice que el caudal es directamente proporcional tanto a la magnitud de la velocidad promedio (en adelante, la velocidad) como al tamaño de un río, tubería u otro conducto. Cuanto mayor sea el conducto, mayor será su área de sección transversal. La figura\(\PageIndex{1}\) ilustra cómo se obtiene esta relación. El cilindro sombreado tiene un volumen
\[V=A d, \nonumber \]
que fluye más allá del punto\(P\) en un tiempo\(t\). Dividiendo ambos lados de esta relación por \(t\)da
\[\frac{V}{t}=\frac{A d}{t}. \nonumber \]
Observamos que\(Q=V / t\) y la velocidad promedio es\(\bar{v}=d / t\). Así se convierte la ecuación\(Q=A \bar{v}\).
La figura\(\PageIndex{2}\) muestra un fluido incompresible que fluye a lo largo de una tubería de radio decreciente. Debido a que el fluido es incompresible, la misma cantidad de fluido debe fluir más allá de cualquier punto del tubo en un tiempo dado para asegurar la continuidad del flujo. En este caso, debido a que disminuye el área de la sección transversal de la tubería, la velocidad necesariamente debe aumentar. Esta lógica se puede extender para decir que el caudal debe ser el mismo en todos los puntos a lo largo de la tubería. En particular, para los puntos 1 y 2,
\ [\ izquierda. \ begin {array} {rl}
Q_ {1} & =Q_ {2}\
A_ {1}\ bar {v} _ {1} & =A_ {2}\ bar {v} _ {2}
\ end {array}\ right\}. \ nonumber\]
Esto se llama la ecuación de continuidad y es válido para cualquier fluido incompresible. Las consecuencias de la ecuación de continuidad se pueden observar cuando el agua fluye de una manguera a una boquilla de pulverización estrecha: emerge con una gran velocidad, ese es el propósito de la boquilla. Por el contrario, cuando un río desemboca en un extremo de un embalse, el agua se ralentiza considerablemente, tal vez recogiendo velocidad nuevamente cuando sale del otro extremo del embalse. En otras palabras, la velocidad aumenta cuando disminuye el área de la sección transversal y la velocidad disminuye cuando aumenta el área transversal.
Dado que los líquidos son esencialmente incompresibles, la ecuación de continuidad es válida para todos los líquidos. Sin embargo, los gases son compresibles, por lo que la ecuación debe aplicarse con precaución a los gases si son sometidos a compresión o expansión.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating Fluid Speed: Speed Increases When a Tube Narrows
Una boquilla con un radio de 0.250 cm está unida a una manguera de jardín con un radio de 0.900 cm. El caudal a través de la manguera y la boquilla es de 0.500 L/s. Calcule la velocidad del agua (a) en la manguera y (b) en la boquilla.
Estrategia
Podemos usar la relación entre caudal y velocidad para encontrar ambas velocidades. Utilizaremos el subíndice 1 para la manguera y 2 para la boquilla.
Solución para (a)
Primero,\(Q=A \bar{v}\) resolvemos\(v_{1}\) y notamos que el área transversal es\(A=\pi r^{2}\), cediendo
\[\bar{v}_{1}=\frac{Q}{A_{1}}=\frac{Q}{\pi r_{1}^{2}}. \nonumber\]
Sustituir valores conocidos y realizar conversiones unitarias adecuadas
\[\bar{v}_{1}=\frac{(0.500 \mathrm{~L} / \mathrm{s})\left(10^{-3} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{L}\right)}{\pi\left(9.00 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right)^{2}}=1.96 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. \nonumber\]
Solución para (b)
Podríamos repetir este cálculo para encontrar la velocidad en la boquilla\(\bar{v}_{2}\), pero usaremos la ecuación de continuidad para dar una visión algo diferente. Usando la ecuación que establece
\[A_{1} \bar{v}_{1}=A_{2} \bar{v}_{2}, \nonumber\]
resolver\(\bar{v}_{2}\) y sustituir\(\pi r^{2}\) los rendimientos del área transversal
\[\bar{v}_{2}=\frac{A_{1}}{A_{2}} \bar{v}_{1}=\frac{\pi r_{1}^{2}}{\pi r_{2}^{2}} \bar{v}_{1}=\frac{r_{1^{2}}}{r_{2}^{2}} \bar{v}_{1}. \nonumber\]
Sustituyendo valores conocidos,
\[\bar{v}_{2}=\frac{(0.900 \mathrm{~cm})^{2}}{(0.250 \mathrm{~cm})^{2}} 1.96 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=25.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. \nonumber\]
Discusión
Una velocidad de 1.96 m/s es aproximadamente la correcta para el agua que sale de una manguera sin boquilla. La boquilla produce una corriente considerablemente más rápida simplemente estrechando el flujo a un tubo más estrecho.
La solución a la última parte del ejemplo muestra que la velocidad es inversamente proporcional al cuadrado del radio del tubo, lo que genera grandes efectos cuando el radio varía. Podemos soplar una vela a bastante distancia, por ejemplo, frunciendo los labios, mientras que soplar una vela con la boca bien abierta es bastante ineficaz.
En muchas situaciones, incluso en el sistema cardiovascular, se produce la ramificación del flujo. La sangre se bombea desde el corazón hacia arterias que se subdividen en arterias más pequeñas (arteriolas) que se ramifican en vasos muy finos llamados capilares. En esta situación, se mantiene la continuidad del flujo pero es la suma de los caudales en cada una de las ramas en cualquier porción a lo largo del tubo lo que se mantiene. La ecuación de continuidad en una forma más general se vuelve
\[n_{1} A_{1} \bar{v}_{1}=n_{2} A_{2} \bar{v}_{2}, \nonumber \]
donde\(n_{1}\) y\(n_{2}\) son el número de ramas en cada una de las secciones a lo largo del tubo.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Calculating Flow Speed and Vessel Diameter: Branching in the Cardiovascular System
La aorta es el principal vaso sanguíneo a través del cual la sangre sale del corazón para circular alrededor del cuerpo. (a) Calcular la velocidad promedio de la sangre en la aorta si el caudal es de 5.0 L/min. La aorta tiene un radio de 10 mm. b) La sangre también fluye a través de vasos sanguíneos más pequeños conocidos como capilares. Cuando la tasa de flujo sanguíneo en la aorta es de 5.0 L/min, la velocidad de la sangre en los capilares es de aproximadamente 0.33 mm/s Dado que el diámetro promedio de un capilar es\(8.0 \ \mu \mathrm{m}\), calcular el número de capilares en el sistema circulatorio sanguíneo.
Estrategia
Podemos usar\(Q=A \bar{v}\) para calcular la velocidad de flujo en la aorta y luego usar la forma general de la ecuación de continuidad para calcular el número de capilares ya que se conocen todas las demás variables.
Solución para (a)
El caudal viene dado por\(Q=A \bar{v}\) o\(\bar{v}=\frac{Q}{\pi r^{2}}\) para un recipiente cilíndrico.
Sustituyendo los valores conocidos (convertidos a unidades de metros y segundos) da
\[\bar{v}=\frac{(5.0 \mathrm{~L} / \mathrm{min})\left(10^{-3} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{L}\right)(1 \mathrm{~min} / 60 \mathrm{~s})}{\pi(0.010 \mathrm{~m})^{2}}=0.27 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. \nonumber\]
Solución para (b)
Usando\(n_{1} A_{1} \bar{v}_{1}=n_{2} A_{2} \bar{v}_{1}\), asignando el subíndice 1 a la aorta y 2 a los capilares, y resolviendo para\(n_{2}\) (el número de capilares) da\(n_{2}=\frac{n_{1} A_{1} \bar{v}_{1}}{A_{2} \bar{v}_{2}}\). Convertir todas las cantidades a unidades de metros y segundos y sustituirlas en la ecuación anterior da
\[n_{2}=\frac{(1)(\pi)\left(10 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right)^{2}(0.27 \mathrm{~m} / \mathrm{s})}{(\pi)\left(4.0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}\right)^{2}\left(0.33 \times 10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right)}=5.0 \times 10^{9} \text { capillaries. } \nonumber\]
Discusión
Obsérvese que la velocidad de flujo en los capilares se reduce considerablemente en relación con la velocidad en la aorta debido al aumento significativo en el área transversal total en los capilares. Esta baja velocidad es para permitir el tiempo suficiente para que se produzca un intercambio efectivo aunque es igualmente importante que el flujo no se vuelva estacionario para evitar la posibilidad de coagulación. ¿Esta gran cantidad de capilares en el cuerpo parece razonable? En el músculo activo, uno encuentra alrededor de 200 capilares por\(\mathrm{mm}^{3}\), o aproximadamente\(200 \times 10^{6}\) por 1 kg de músculo. Para 20 kg de músculo, esto equivale a aproximadamente\(4 \times 10^{9}\) capilares.
Resumen de la Sección
- \(Q\)El caudal se define como el volumen \(V\)que fluye más allá de un punto en el tiempo \(t\), o\(Q=\frac{V}{t}\) dónde\(V\) está el volumen y\(t\) es el tiempo.
- La unidad de volumen SI es\(\mathrm{m}^{3}\).
- Otra unidad común es el litro (L), que es\(10^{-3} \mathrm{~m}^{3}\).
- El caudal y la velocidad están relacionados por\(Q=A \bar{v}\) dónde\(A\) está el área transversal del flujo y\(\bar{v}\) es su velocidad promedio.
- Para fluidos incompresibles, el caudal en varios puntos es constante. Es decir,
\ [\ izquierda. \ begin {array} {rl}
Q_ {1} & =Q_ {2}\
A_ {1}\ bar {v} _ {1} & =A_ {2}\ bar {v} _ {2}\
n_ {1} A_ {1} A_ {1}\ bar {v} _ _ {1} & =n_ {2} A_ {2}\ bar {v} _ {2}
\ end {array}\ right\}. \ nonumber\]
Glosario
- caudal
- abreviado Q, es el volumen V que fluye más allá de un punto en particular durante un tiempo t, o Q = V/t
- litro
- una unidad de volumen, igual a 10 −3 m 3