12.E: Mecánica Cuántica (Ejercicio)

Preguntas Conceptuales

13.1: Radiación de cuerpo negro

1. Dar un ejemplo de una entidad física que se cuantifica. Indicar específicamente qué es la entidad y cuáles son los límites a sus valores.

2. Dar un ejemplo de una entidad física que no se cuantifica, en que es continua y puede tener un rango continuo de valores.

3. ¿Qué aspecto del espectro de cuerpo negro obligó a Planck a proponer la cuantificación de los niveles de energía en los osciladores térmicos?

4. ¿Por qué no notamos la cuantificación en los eventos cotidianos?

13.2: El Efecto Fotoeléctrico

5. ¿Es la luz visible el único tipo de radiación EM que puede causar el efecto fotoeléctrico?

6. ¿Qué aspectos del efecto fotoeléctrico no se pueden explicar sin fotones? ¿Cuál se puede explicar sin fotones? ¿Estos últimos son inconsistentes con la existencia de fotones?

7. ¿Es el efecto fotoeléctrico una consecuencia directa del carácter de onda de la radiación EM o del carácter de partícula de la radiación EM? Explique brevemente.

8. Los aislantes (no metales) tienen un BE mayor que los metales, y es más difícil para los fotones expulsar electrones de los aisladores. Discutir cómo esto se relaciona con los cargos libres en los metales que los convierten en buenos conductores.

9. Si coges y sacudes un trozo de metal que tiene electrones en él libres para moverse como corriente, no se caen electrones. Sin embargo, si calientas el metal, los electrones pueden ser hervidos. Explique ambos hechos en la medida en que se relacionan con la cantidad y distribución de energía involucrada con sacudir el objeto en comparación con calentarlo.

13.3: La naturaleza ondulada de la materia

10. ¿En qué se diferencia la interferencia de las ondas de agua de la interferencia de los electrones? ¿Cómo son análogos?

11. Describir un tipo de evidencia de la naturaleza de onda de la materia.

12. Describir un tipo de evidencia de la naturaleza de partículas de la radiación EM.

13.4: Principio de incertidumbre

13. ¿Cuál es el principio de incertidumbre de Heisenberg? ¿Pone límites a lo que se puede conocer?

13.5: Descubrimiento del Núcleo Atómico

14. ¿Qué dos pruebas permitieron el primer cálculo de\(m_{e}\), la masa del electrón?

(a) Las proporciones\(q_{e} / m_{e}\) y\(q_{p} / m_{p}\).

b) Los valores de\(q_{e}\) y\(E_{B}\).

(c) La relación\(q_{e} / m_{e}\) y\(q_{e}\).

Justifica tu respuesta.

15. ¿En qué se diferencian las órbitas permitidas para los electrones en los átomos de las órbitas permitidas para los planetas alrededor del sol? Explique aquí cómo se aplica el principio de correspondencia.

13.6: Teoría de Bohr sobre el átomo de hidrógeno

16. ¿En qué se diferencian las órbitas permitidas para los electrones en los átomos de las órbitas permitidas para los planetas alrededor del sol? Explique aquí cómo se aplica el principio de correspondencia.

17. Explique cómo la regla de Bohr para la cuantificación del momento angular orbital de electrones difiere de la regla real.

18. ¿Qué es un átomo similar al hidrógeno y cómo se relacionan las energías y los radios de sus órbitas electrónicas con las del hidrógeno?

13.7: La naturaleza de onda de la materia causa cuantización

19. ¿Cómo se relaciona la longitud de onda de Broglie de los electrones con la cuantificación de sus órbitas en átomos y moléculas?

Problemas y ejercicios

13.1: Radiación de cuerpo negro

20. Una molécula LiBr oscila con una frecuencia de\(1.7 \times 10^{13} \mathrm{~Hz}\)

(a) ¿Cuál es la diferencia de energía en eV entre los estados de oscilador permitidos?

b) ¿Cuál es el valor aproximado de\(n\) para un estado que tiene una energía de 1.0 eV?

Solución

(a) 0.070 eV

b) 14

21. La diferencia de energía entre los estados de oscilador permitidos en las moléculas HBr es de 0.330 eV. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación de esta molécula?

22. Un físico está viendo a un orangután de 15 kg en un zoológico balancearse perezosamente en una llanta al final de una cuerda. Él (el físico) nota que cada oscilación toma 3.00 s y plantea la hipótesis de que la energía está cuantificada.

a) ¿Cuál es la diferencia de energía en julios entre estados de oscilador permitidos?

b) ¿Cuál es el valor de\(n\) para un estado donde la energía es 5.00 J?

c) ¿Se puede observar la cuantificación?

13.2: El Efecto Fotoeléctrico

23. ¿Cuál es la radiación EM de longitud de onda más larga que puede expulsar un fotoelectrón de la plata, dado que la energía de unión es de 4.73 eV? ¿Está esto en el rango visible?

Solución

263 nm

24. Encuentra el fotón de longitud de onda más larga que pueda expulsar un electrón del potasio, dado que la energía de unión es de 2.24 eV. ¿Es esta radiación EM visible?

25. ¿Cuál es la energía de unión en eV de electrones en magnesio, si el fotón de longitud de onda más larga que puede expulsar electrones es 337 nm?

Solución

3.69 eV

26. Calcular la energía de unión en eV de electrones en aluminio, si el fotón de longitud de onda más larga que puede expulsarlos es de 304 nm.

27. ¿Cuál es la energía cinética máxima en eV de electrones expulsados del metal de sodio por radiación EM de 450 nm, dado que la energía de unión es de 2.28 eV?

Solución

0.483 eV

28. La radiación UV que tiene una longitud de onda de 120 nm cae sobre el metal dorado, al que los electrones están unidos por 4.82 eV. ¿Cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones expulsados?

29. La luz violeta de longitud de onda 400 nm expulsa electrones con una energía cinética máxima de 0.860 eV del metal de sodio. ¿Cuál es la energía de unión de los electrones al metal de sodio?

Solución

2.25 eV

30. La radiación UV que tiene una longitud de onda de 300 nm cae sobre el uranio metálico, expulsando electrones de 0.500-eV. ¿Cuál es la energía de unión de los electrones al uranio metálico?

31. ¿Cuál es la longitud de onda de la radiación EM que expulsa 2.00-eV electrones del metal calcio, dado que la energía de unión es de 2.71 eV? ¿Qué tipo de radiación EM es esta?

Solución

(a) 264 nm

b) Ultravioleta

32. Encuentra la longitud de onda de los fotones que expulsan 0.100-eV electrones del potasio, dado que la energía de unión es de 2.24 eV. ¿Son visibles estos fotones?

33. Un láser con una potencia de salida de 2.00 mW a una longitud de onda de 400 nm se proyecta sobre calcio metálico.

(a) ¿Cuántos electrones por segundo son expulsados?

b) ¿Qué potencia se llevan por los electrones, dado que la energía de unión es de 2.71 eV?

Solución

(a)\(4.02 \times 10^{15} / \mathrm{s}\)

b) 0.256 mW

34. a) Calcular el número de fotoelectrones por segundo expulsados de un área de 1.00-mm ² de metal de sodio por radiación EM de 500 nm con una intensidad de\(1.30 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2}\) (la intensidad de la luz solar sobre la atmósfera terrestre).

b) Dado que la energía de unión es de 2.28 eV, ¿qué poder se llevan los electrones? (c) Los electrones llevan menos energía que la traída por los fotones. ¿A dónde va el otro poder? ¿Cómo se puede recuperar?

Resultados irrazonables

35. La luz roja que tiene una longitud de onda de 700 nm se proyecta sobre el metal de magnesio al que los electrones están unidos por 3.68 eV.

(a) Utilizar\(\mathrm{KE}_{e}=h f-\mathrm{BE}\) para calcular la energía cinética de los electrones expulsados.

b) ¿Qué tiene de irrazonable este resultado?

c) ¿Qué supuestos son irrazonables o inconsistentes?

Solución

(a)\(-1.90 ~\mathrm{eV}\)

b) Energía cinética negativa

(c) Que los electrones serían arrojados libres.

Resultados irrazonables

36. (a) ¿Cuál es la energía de unión de los electrones a un material del cual los electrones 4.00-eV son expulsados por la radiación EM de 400 nm?

b) ¿Qué tiene de irrazonable este resultado?

c) ¿Qué supuestos son irrazonables o inconsistentes?

13.3: La naturaleza ondulada de la materia

37. ¿A qué velocidad tendrá un electrón una longitud de onda de 1.00 m?

Solución

\(7.28 \times 10^{-4} \mathrm{~m}\)

38. ¿Cuál es la longitud de onda de un electrón que se mueve al 3.00% de la velocidad de la luz?

39. ¿A qué velocidad tiene un protón una longitud de onda de 6.00-fm (aproximadamente del tamaño de un núcleo)? Supongamos que el protón no es relativista. (1 femtómetro =\(10^{-15} \mathrm{~m}\))

Solución

\(6.62 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)

40. ¿Cuál es la velocidad de una bola de billar de 0.400 kg si su longitud de onda es de 7.50 cm (lo suficientemente grande para que interfiera con otras bolas de billar)?

41. Encuentra la longitud de onda de un protón moviéndose a 1.00% de la velocidad de la luz.

Solución

\(1.32 \times 10^{-13} \mathrm{~m}\)

42. Los experimentos se realizan con neutrones ultrafríos que tienen velocidades tan pequeñas como 1.00 m/s. (a) ¿Cuál es la longitud de onda de dicho neutrón? b) ¿Cuál es su energía cinética en eV?

43. (a) Encontrar la velocidad de un neutrón que tenga una longitud de onda de 6.00-fm (aproximadamente del tamaño de un núcleo). Supongamos que el neutrón no es relativista.

b) ¿Cuál es la energía cinética de los neutrones en MeV?

Solución

(a)\(6.62 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)

b)\(22.9 \mathrm{~MeV}\)

44. ¿Cuál es la longitud de onda de un electrón acelerado a través de un potencial de 30.0-kV, como en un tubo de TV?

45. ¿Cuál es la energía cinética de un electrón en un TEM que tiene una longitud de onda de 0.0100 nm?

Solución

15.1 KeV

46. (a) Calcular la velocidad de un electrón que tiene una longitud de onda de\(1.00 ~\mu \mathrm{m}\)

b) ¿A través de qué voltaje se debe acelerar el electrón para tener esta velocidad?

47. La velocidad de un protón que emerge de un acelerador de Van de Graaff es 25.0% de la velocidad de la luz.

a) ¿Cuál es la longitud de onda del protón?

b) ¿Cuál es su energía cinética, asumiendo que es no relativista?

c) ¿Cuál fue el voltaje equivalente a través del cual se aceleró?

Solución

(a) 5.29 fm

b)\(4.70 \times 10^{-12} \mathrm{~J}\)

c) 29.4 MV

48. La energía cinética de un electrón acelerado en un tubo de rayos X es de 100 keV. Asumiendo que es no relativista, ¿cuál es su longitud de onda?

Resultados irrazonables

49. (a) Asumiendo que no es relativista, calcular la velocidad de un electrón con una longitud de onda de 0.100-fm (lo suficientemente pequeña como para detectar detalles de un núcleo).

b) ¿Qué tiene de irrazonable este resultado?

c) ¿Qué supuestos son irrazonables o inconsistentes?

Solución

(a)\(7.28 \times 10^{12} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)

(b) Esto es miles de veces la velocidad de la luz (una imposibilidad).

(c) La suposición de que el electrón no es relativista no es razonable en esta longitud de onda.

13.4: Principio de incertidumbre

50. (a) Si la posición de un electrón en una membrana se mide con una precisión de\(1.00 ~\mu \mathrm{m}\), ¿cuál es la incertidumbre mínima del electrón en la velocidad?

(b) Si el electrón tiene esta velocidad, ¿cuál es su energía cinética en eV?

(c) ¿Cuáles son las implicaciones de esta energía, comparándola con las energías típicas de unión molecular?

Solución

a) 57.9 m/s

b)\(9.55 \times 10^{-9} ~\mathrm{eV}\)

(c) Las energías de unión molecular típicas varían de aproximadamente 1eV a 10 eV, por lo tanto, el resultado en la parte (b) es aproximadamente 9 órdenes de magnitud menor que las energías de unión molecular típicas.

51. (a) Si la posición de un ion cloro en una membrana se mide con una precisión de\(1.00 ~\mu \mathrm{m}\), ¿cuál es su incertidumbre mínima en la velocidad, dada su masa es\(5.86 \times 10^{-26} \mathrm{~kg}\)?

(b) Si el ion tiene esta velocidad, ¿cuál es su energía cinética en eV y cómo se compara con las energías típicas de unión molecular?

52. Supongamos que la velocidad de un electrón en un átomo es conocida con una precisión de\(2.0 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) (razonablemente precisa en comparación con las velocidades orbitales). ¿Cuál es la incertidumbre mínima en posición del electrón y cómo se compara esto con el tamaño aproximado de 0.1 nm del átomo?

Solución

29 nm,

290 veces mayor

53. La velocidad de un protón en un acelerador se conoce con una precisión de 0.250% de la velocidad de la luz. (Esto podría ser pequeño en comparación con su velocidad.) ¿Cuál es la menor incertidumbre posible en su posición?

54. Un estado excitado de vida relativamente larga de un átomo tiene una vida útil de 3.00 ms. ¿Cuál es la incertidumbre mínima en su energía?

Solución

\(1.10 \times 10^{-13} ~\mathrm{eV}\)

55. (a) La vida de un núcleo altamente inestable es\(10^{-20} \mathrm{~s}\). ¿Cuál es la menor incertidumbre en su energía de decaimiento?

(b) Compárelo con la energía de reposo de un electrón.

56. La energía de decaimiento de una partícula de corta duración tiene una incertidumbre de 1.0 MeV debido a su corta vida útil. ¿Cuál es la vida más pequeña que puede tener?

Solución

\(3.3 \times 10^{-22} \mathrm{~s}\)

57. La energía de decaimiento de un estado excitado nuclear de corta duración tiene una incertidumbre de 2.0 eV debido a su corta vida útil. ¿Cuál es la vida más pequeña que puede tener?

58. ¿Cuál es la incertidumbre aproximada en la masa de un muón, determinada a partir de su vida de descomposición?

Solución

\(2.66 \times 10^{-46} \mathrm{~kg}\)

59. Derivar la forma aproximada del principio de incertidumbre de Heisenberg para la energía y el tiempo\(\Delta E \Delta t \approx h\),, utilizando los siguientes argumentos: Dado que la posición de una partícula es incierta por\(\Delta x \approx \lambda\), ¿dónde\(\lambda\) está la longitud de onda del fotón utilizado para examinarla, hay una incertidumbre en el tiempo fotón toma para atravesar\(\Delta x\). Además, el fotón tiene una energía relacionada con su longitud de onda, y puede transferir parte o la totalidad de esta energía al objeto que se examina. Así también se relaciona con la incertidumbre en la energía del objeto\(\lambda\). Encontrar\(\Delta t\) y\(\Delta E\); luego multiplicarlos para dar el principio de incertidumbre aproximada.

13.5: Descubrimiento del Núcleo Atómico

60. Rutherford encontró que el tamaño del núcleo era aproximadamente\(10^{-15} \mathrm{~m}\). Esto implicaba una enorme densidad. ¿Cuál sería esta densidad para el oro?

Solución

\(6 \times 10^{20} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\)

61. En el experimento de gotas de petróleo de Millikan, se observa una pequeña gota de aceite mantenida inmóvil entre dos placas. Toma que el voltaje entre las placas sea de 2033 V, y la separación de placas sea de 2.00 cm. La gota de aceite (de densidad\(0.81 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\)) tiene un diámetro de\(4.0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}\). Encuentra la carga en la caída, en términos de unidades de electrones.

62. (a) Una aspirante a física quiere construir un modelo a escala de un átomo de hidrógeno para su proyecto de feria de ciencias. Si el átomo tiene 1.00 m de diámetro, ¿qué tan grande debería tratar de hacer el núcleo?

b) ¿Qué tan fácil será hacerlo?

Solución

(a)\(10.0 ~\mu \mathrm{m}\)

(b) No es difícil hacer uno de aproximadamente este tamaño. Sería más difícil hacerlo exactamente\(10.0 ~\mu \mathrm{m}\).

13.6: Teoría de Bohr sobre el átomo de hidrógeno

63. Al calcular su longitud de onda, mostrar que la primera línea de la serie Lyman es la radiación UV.

Solución

\(\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}\right) \Rightarrow \lambda=\frac{1}{R}\left[\frac{\left(n_{\mathrm{i}} \cdot n_{\mathrm{f}}\right)^{2}}{n_{\mathrm{i}}^{2}-n_{\mathrm{f}}^{2}}\right]\);\(n_{\mathrm{i}}=2\), de\(n_{\mathrm{f}}=1\) manera que

\(\lambda=\left(\frac{\mathrm{m}}{1.097 \times 10^{7}}\right)\left[\frac{(2 \times 1)^{2}}{2^{2}-1^{2}}\right]=1.22 \times 10^{-7} \mathrm{~m}=122 \mathrm{~nm}\), que es radiación UV.

64. Encuentre la longitud de onda de la tercera línea en la serie Lyman e identifique el tipo de radiación EM.

65. Busque los valores de las cantidades en\(a_{\mathrm{B}}=\frac{h^{2}}{4 \pi^{2} m_{e} k q_{e}^{2}}\), y verifique que el radio de Bohr\(a_{\mathrm{B}}\) es\(0.529 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\).

Solución

\(a_{\mathrm{B}}=\frac{h^{2}}{4 \pi^{2} m_{e} k Z q_{e}^{2}}=\frac{\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\right)^{2}}{4 \pi^{2}\left(9.109 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)\left(8.988 \times 10^{9} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}\right)(1)\left(1.602 \times 10^{-19} \mathrm{C}\right)^{2}}=0.529 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\)

66. Verificar que la energía del estado fundamental\(E_{0}\) sea 13.6 eV usando\({E}_{0}=\frac{2 \pi^{2} q_{e}^{4} m_{e} k^{2}}{h^{2}}\).

67. Si un átomo de hidrógeno tiene su electrón en el\(n=4\) estado, ¿cuánta energía en eV se necesita para ionizarlo?

Solución

0.850 eV

68. Un átomo de hidrógeno en estado excitado puede ionizarse con menos energía que cuando se encuentra en su estado fundamental. ¿Qué es \(n\)para un átomo de hidrógeno si 0.850 eV de energía lo pueden ionizar?

69. Encontrar el radio de un átomo de hidrógeno en el\(n=2\) estado según la teoría de Bohr.

Solución

\(2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\)

70. Demostrar eso\((13.6 \mathrm{eV}) / h c=1.097 \times 10^{7} \mathrm{~m}=R\) (la constante de Rydberg), como se discute en el texto.

71. ¿Cuál es la línea de longitud de onda más pequeña de la serie Balmer? ¿Está en la parte visible del espectro?

Solución

365 nm

Está en el ultravioleta.

72. Demostrar que toda la serie Paschen está en la parte infrarroja del espectro. Para ello, solo necesitas calcular la longitud de onda más corta de la serie.

73. ¿Se superponen las series Balmer y Lyman? Para responder a esto, calcule la línea Balmer de longitud de onda más corta y la línea Lyman de longitud de onda más larga.

Solución

Sin solapamiento

365 nm

122 nm

74. a) ¿Qué línea de la serie Balmer es la primera en la parte UV del espectro?

b) ¿Cuántas líneas de la serie Balmer hay en la parte visible del espectro?

(c) ¿Cuántos hay en la UV?

75. \(4.653 ~\mu \mathrm{m}\)Se observa una longitud de onda de en un espectro de hidrógeno para una transición que termina en el\(n_{\mathrm{f}}=5\) nivel. ¿Qué fue\(n_{\mathrm{i}}\) para el nivel inicial del electrón?

Solución

7

76. Un ion helio ionizado solo tiene un electrón y se denota\(\mathrm{He}^{+}\). ¿Cuál es el radio del ion en el estado fundamental comparado con el radio de Bohr del átomo de hidrógeno?

77. Un ion berilio con un solo electrón (denotado\(\mathrm{Be}^{3+}\)) se encuentra en un estado excitado con un radio igual al del estado fundamental del hidrógeno.

a) ¿Qué es \(n\)para el\(\mathrm{Be}^{3+}\) ion?

(b) ¿Cuánta energía en eV se necesita para ionizar el ion de este estado excitado?

Solución

a) 2

b) 54,4 eV

78. Los átomos pueden ser ionizados por colisiones térmicas, como a las altas temperaturas que se encuentran en la corona solar. Uno de esos iones es\(\mathrm{C}^{+5}\), un átomo de carbono con un solo electrón.

a) ¿Por qué factor las energías de sus niveles similares al hidrógeno son mayores que las del hidrógeno?

b) ¿Cuál es la longitud de onda de la primera línea de la serie Paschen de este ion?

c) ¿Qué tipo de radiación EM es esta?

79. Verificar Ecuaciones\(r_{n}=\frac{n^{2}}{Z} a_{\mathrm{B}}\) y\(a_{\mathrm{B}}=\frac{h^{2}}{4 \pi^{2} m_{e} k q_{e}^{2}}=0.529 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\) utilizando el enfoque establecido en el texto. Es decir, equiparar las fuerzas de Coulomb y centrípeta y luego insertar una expresión para la velocidad a partir de la condición para la cuantificación de momento angular.

Solución

\(\frac{k Z q_{e}^{2}}{r_{n}^{2}}=\frac{m_{e} V^{2}}{r_{n}}\), así que eso\(r_{n}=\frac{k Z q_{e}^{2}}{m_{e} V^{2}}=\frac{k Z q_{e}^{2}}{m_{e}} \frac{1}{V^{2}}\). A partir de la ecuación\(m_{e} v r_{n}=n \frac{h}{2 \pi}\), podemos sustituir la velocidad, dando:\(r_{n}=\frac{k Z q_{e}^{2}}{m_{e}}\) así que eso\(r_{n}=\frac{n^{2}}{Z} \frac{h^{2}}{4 \pi^{2} m_{e} k q_{e}^{2}}=\frac{n^{2}}{Z} a_{\mathrm{B}}\), dónde\(a_{\mathrm{B}}=\frac{h^{2}}{4 \pi^{2} m_{e} k q_{e}^{2}}\).

80. Se encontró que la longitud de onda de las cuatro líneas de la serie Balmer para hidrógeno es 410.3, 434.2, 486.3 y 656.5 nm. ¿Qué diferencia porcentual promedio se encuentra entre estos números de longitud de onda y los pronosticados por\(\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{1}^{2}}\right)\)? Es sorprendente lo bien que una fórmula simple (desconectada originalmente de la teoría) podría duplicar este fenómeno.