5.1: Momento angular en dos dimensiones

Claro, y tal vez mañana no salga el sol”. Por supuesto, el sol solo parece subir y bajar porque la tierra gira, por lo que el cliché realmente debería referirse a la improbabilidad de que la tierra detenga su rotación abruptamente durante la noche. ¿Por qué no puede parar? No violaría la conservación del impulso, porque la rotación de la tierra no agrega nada a su impulso. Si bien California gira en una dirección, alguna parte igualmente masiva de la India va en sentido contrario, cancelando su impulso. Un alto a la rotación de la Tierra implicaría una caída en la energía cinética, pero esa energía podría simplemente convertirse en alguna otra forma, como el calor.

a/El saltador no puede mover las piernas en sentido antihorario sin mover los brazos en sentido horario. (Thomas Eakins.)

Otros ejemplos a lo largo de esta línea no son difíciles de encontrar. Un átomo gira al mismo ritmo durante miles de millones de años. Un buzo alto que está rotando cuando sale del tablero no necesita hacer ningún esfuerzo físico para seguir rotando, y de hecho sería incapaz de dejar de girar antes de golpear el agua.

Estas observaciones tienen las señas de identidad de una ley de conservación:

• Se trata de un sistema cerrado. Nada es hacer un esfuerzo para torcer la tierra, el átomo de hidrógeno, o el buceador alto. Están aislados de influencias que cambian de rotación, es decir, son sistemas cerrados.
• Algo permanece sin cambios. Parece haber una cantidad numérica para medir el movimiento rotacional tal que la cantidad total de esa cantidad permanece constante en un sistema cerrado.
• Algo se puede transferir de un lado a otro sin cambiar el monto total. En la foto del salto de altura anticuado, a, el saltador quiere sacar los pies frente a él para que pueda evitar hacer una “planta de cara” cuando aterrice. Llevar los pies hacia adelante implicaría cierta cantidad de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, pero no arrancó con ninguna rotación cuando salió del suelo. Supongamos que consideramos en sentido antihorario como positivo y en sentido horario como negativo. La única forma en que sus piernas pueden adquirir alguna rotación positiva es si alguna otra parte de su cuerpo capta una cantidad igual de rotación negativa. Es por ello que balancea los brazos hacia arriba detrás de él, en sentido horario.

¿Qué medida numérica del movimiento rotacional se conserva? Los motores de automóviles y los discos LP anticuados tienen velocidades de rotación medidas en rotaciones por minuto (r.p.m.), pero el número de rotaciones por minuto (o por segundo) no es una cantidad conservada. Una patinadora que gira, por ejemplo, puede tirar de sus brazos para aumentar sus r.p.m. ' s. El primer apartado de este capítulo trata de la definición numérica de la cantidad de rotación que da lugar a una ley de conservación vigente.

Cuando la mayoría de la gente piensa en la rotación, piensa en un objeto sólido como una rueda que gira en círculo alrededor de un punto fijo. Ejemplos de este tipo de rotación, llamada rotación rígida o rotación de cuerpo rígido, incluyen una peonza, la pierna oscilante de un niño sentado y la hélice giratoria de un helicóptero. La rotación, sin embargo, es un fenómeno mucho más general, e incluye ejemplos no circulares como un cometa en una órbita elíptica alrededor del sol, o un ciclón, en el que el núcleo completa un círculo más rápidamente que las partes externas.

Si hay una medida numérica del movimiento rotacional que es una cantidad conservada, entonces debe incluir casos no rígidos como estos, ya que la rotación no rígida se puede intercambiar de un lado a otro con rotación rígida. Por ejemplo, hay un truco para averiguar si un huevo está crudo o duro. Si haces girar un huevo duro y luego lo paras brevemente con el dedo, se detiene muerto. Pero si haces lo mismo con un huevo crudo, vuelve a girar porque el interior blando seguía girando dentro de la cáscara momentáneamente inmóvil. El patrón de flujo de la parte líquida es presumiblemente muy complejo y no uniforme debido a la forma asimétrica del huevo y las diferentes consistencias de la yema y la blanca, pero aparentemente hay alguna manera de describir la cantidad total de rotación del líquido con un solo número, de los cuales algún porcentaje es devuelta al caparazón cuando lo sueltas.

La mejor estrategia es idear una manera de definir la cantidad de rotación de una sola parte pequeña de un sistema. La cantidad de rotación de un sistema como un ciclón se definirá entonces como el total de todas las contribuciones de sus muchas partes pequeñas.

Figura b: Vista desde arriba de una pieza de masilla que se arroja a una puerta. A pesar de que la masilla no está girando ni viajando a lo largo de una curva, debemos definir que tiene algún tipo de “rotación” porque es capaz de hacer girar la puerta.

La búsqueda de una cantidad conservada de rotación incluso requiere que ampliemos el concepto de rotación para incluir casos en los que el movimiento no se repite o incluso se curva alrededor. Si arrojas un trozo de masilla a una puerta, (Figura b), la puerta retrocederá y comenzará a girar. La masilla viajaba recta, no en círculo, pero si va a haber una ley general de conservación que pueda cubrir esta situación, parece que debemos describir la masilla como que había tenido alguna “rotación”, que luego cedió a la puerta. La mejor manera de pensarlo es atribuir rotación a cualquier objeto en movimiento o parte de un objeto que cambie su ángulo en relación con el eje de rotación. En el ejemplo de masilla y puerta, la bisagra de la puerta es el punto natural a considerar como eje, y la masilla cambia su ángulo como lo ve alguien parado en la bisagra, Figura c. Por ello, la cantidad conservada que estamos investigando se denomina momento angular. El símbolo para el momento angular no puede ser “a” o “m”, ya que esos se utilizan para aceleración y masa, por lo que la letra\(L\) se elige arbitrariamente en su lugar.

Figura c: Como lo ve alguien parado en el eje, la masilla cambia su posición angular. Por lo tanto, lo definimos como tener momentum angular.

Imagínese una gota de masilla de 1 kg, arrojada a la puerta a una velocidad de 1 m/s, que golpea la puerta a una distancia de 1 m de la bisagra. Definimos esta mancha para tener 1 unidad de momento angular. Cuando choca contra la puerta, la puerta retrocederá y comenzará a girar. Podemos usar la velocidad a la que la puerta retrocede como una medida del momento angular que la mancha trajo. ¹

Los experimentos muestran, no es sorprendente, que una gota de 2 kg lanzada de la misma manera hace que la puerta gire el doble de rápido, por lo que el momento angular de la gota de masilla debe ser proporcional a la masa,

\[\begin{equation*} L \propto m . \end{equation*}\]

Del mismo modo, los experimentos muestran que duplicar la velocidad de la gota tendrá un efecto de duplicación en el resultado, por lo que su momento angular también debe ser proporcional a su velocidad,

\[\begin{equation*} L \propto mv . \end{equation*}\]

Sin duda has tenido la experiencia de acercarte a una puerta cerrada con una de esas manijas en forma de barra en ella y empujar en el lado equivocado, el lado cercano a las bisagras. Te sientes como un idiota, porque tienes tan poca influencia que apenas puedes mover la puerta. Lo mismo sería cierto con la mancha de masilla.

Figura d: Una gota de masilla lanzada directamente al eje no tiene movimiento angular y, por lo tanto, no tiene momento angular. No provocará que la puerta gire.

Los experimentos demostrarían que la cantidad de rotación que la gota puede dar a la puerta es proporcional a la distancia,\(r\), desde el eje de rotación, por lo que el momento angular debe ser proporcional a\(r\) también,

\[\begin{equation*} L \propto mvr . \end{equation*}\]

Ya casi terminamos, pero falta un ingrediente. Sabemos por motivos de simetría que una bola de masilla lanzada directamente hacia adentro hacia la bisagra no tendrá impulso angular para darle a la puerta. Después de todo, ni siquiera habría forma de decidir si la rotación del balón era en sentido horario o antihorario en esta situación. Por lo tanto, es solo la componente del vector de velocidad de la gota perpendicular a la puerta la que debe contarse en su momento angular,

\[\begin{equation*} L = m v_{\perp} r . \end{equation*}\]

De manera más general,\(v_{\perp}\) debe pensarse como el componente del vector de velocidad del objeto que es perpendicular a la línea que une el objeto al eje de rotación.

Figura e: Solo se debe contar en la definición de momento angular el componente del vector de velocidad perpendicular a la línea que conecta el objeto con el eje.

Encontramos que esta ecuación concuerda con la definición de la mancha de masilla original como que tiene una unidad de momento angular, y ahora podemos ver que las unidades de momento angular son\((\text{kg}\!\cdot\!\text{m}/\text{s})\!\cdot\!\text{m}\), es decir,\(\text{kg}\!\cdot\!\text{m}^2/\text{s}\). Resumiendo, tenemos

\[\begin{equation*} L = m v_{\perp} r \text{[angular momentum of a particle in two dimensions]} , \end{equation*}\]

donde\(m\) está la masa de la partícula,\(v_{\perp}\) es el componente de su vector de velocidad perpendicular a la línea que la une al eje de rotación, y\(r\) es su distancia del eje. (Tenga en cuenta que no\(r\) es necesariamente el radio de un círculo.) Los signos positivos y negativos de momento angular se utilizan para describir direcciones de rotación opuestas. El momento angular de un objeto de tamaño finito o un sistema de muchos objetos se encuentra dividiéndolo en muchas partes pequeñas, aplicando la ecuación a cada parte y sumando para encontrar la cantidad total de momento angular. (Como implica la palabra “partícula”, la materia no es lo único que puede tener un impulso angular. La luz también puede tener un momento angular, y la ecuación anterior no se aplicaría a la luz.)

La conservación del momento angular se ha verificado una y otra vez mediante experimentos, y ahora se cree que es uno de los principios más fundamentales de la física, junto con la conservación de la masa, la energía y el impulso.

Ejemplo 1: Una patinadora artística tira de sus brazos

Cuando una patinadora está girando, hay muy poca fricción entre ella y el hielo, por lo que es esencialmente un sistema cerrado, y su impulso angular se conserva. Si tira de sus brazos hacia adentro, está disminuyendo\(r\) para todos los átomos en sus brazos. Figura f: Una patinadora artistica tira de sus brazos para que pueda ejecutar un giro más rápidamente. Violaría la conservación del momento angular si luego continuara rotando a la misma velocidad, es decir, tomando la misma cantidad de tiempo para cada revolución, porque las contribuciones de sus brazos a su momento angular habrían disminuido, y ninguna otra parte de ella habría aumentado su impulso angular. Esto es imposible porque violaría la conservación del momento angular. Para que su momento angular total se mantenga constante, la disminución\(r\) de sus brazos debe ser compensada por un incremento general en su velocidad de rotación. Es decir, al tirar de sus brazos hacia adentro, reduce sustancialmente el tiempo para cada rotación.

Ejemplo 2: La ralentización de la rotación de la Tierra y la luna que retrocede

La rotación de la tierra en realidad se está desacelerando muy gradualmente, con la energía cinética siendo disipada como calor por la fricción entre la tierra y los bultos mareales levantados en los mares por la gravedad de la tierra. ¿Significa esto que el momento angular no está realmente perfectamente conservado? No, solo significa que la tierra no es del todo un sistema cerrado por sí misma. Si consideramos a la tierra y a la luna como un sistema, entonces el impulso angular perdido por la tierra debe ser ganado por la luna de alguna manera. De hecho, mediciones muy precisas de la distancia entre la tierra y la luna se han llevado a cabo haciendo rebotar rayos láser de un espejo que ahí dejaron los astronautas, ¡y estas mediciones muestran que la luna está retrocediendo de la tierra a razón de 4 centímetros al año! El mayor valor de la luna\(r\) significa que tiene un mayor impulso angular, y el aumento resulta ser exactamente la cantidad perdida por la tierra. En los días de los dinosaurios, los días eran significativamente más cortos, y la luna estaba más cerca y aparecía más grande en el cielo. Figura g: Una vista del sistema tierra-luna desde arriba del polo norte. Todas las distancias han sido muy distorsionadas para su legibilidad. Pero, ¿qué fuerza está haciendo que la luna se acelere, sacándola a una órbita más grande? Son las fuerzas gravitacionales de los bultos mareales de la tierra. En la figura g, la rotación de la tierra es en sentido antihorario (flecha). La gravedad de la luna crea un abombamiento en el lado cercano a ella, porque allí es más fuerte su tracción gravitacional, y un “anti-abombamiento” en el lado lejano, ya que su gravedad ahí es más débil. Por simplicidad, centrémonos en el bulto de las mareas más cerca de la luna. Su fuerza de fricción está tratando de ralentizar la rotación de la tierra, por lo que su fuerza sobre la corteza sólida de la tierra se dirige hacia el fondo de la figura. Por tercera ley de Newton, la corteza debe así hacer una fuerza sobre el abultamiento que está hacia la parte superior de la figura. Esto hace que el bulto sea arrastrado hacia adelante en un ligero ángulo, y la gravedad del bulto, por lo tanto, empuja a la luna hacia adelante, acelerando su movimiento orbital alrededor de la tierra y arrojándola hacia afuera. El resultado obviamente sería extremadamente difícil de calcular directamente, y esta es una de esas situaciones en las que una ley de conservación nos permite hacer declaraciones cuantitativas precisas sobre el resultado de un proceso cuando el cálculo del proceso en sí sería prohibitivamente complejo.

Restricción a la rotación en un plano

¿El momento angular es un vector o un escalar? Tiene una dirección en el espacio, pero es una dirección de rotación, no una dirección en línea recta como las direcciones de vectores como la velocidad o la fuerza. Resulta que existe una manera de definir el momento angular como vector, pero en esta sección los ejemplos se limitarán a un solo plano de rotación, es decir, situaciones efectivamente bidimensionales. En este caso especial, podemos optar por visualizar el plano de rotación desde un lado u otro, y definir la rotación en sentido horario y antihorario como teniendo signos opuestos de momento angular. “Efectivamente” bidimensional significa que podemos tratar con objetos que no son planos, siempre y cuando los vectores de velocidad de todas sus partes se encuentren en un plano.

Preguntas de Discusión

◊ La conservación del viejo impulso llano\(p\),, puede pensarse como el descendiente enormemente ampliado y modificado del principio original de inercia de Galileo, que no se requiere ninguna fuerza para mantener un objeto en movimiento. El principio de inercia es contradictorio, y hay muchas situaciones en las que aparece superficialmente que se necesita una fuerza para mantener el movimiento, tal como lo mantiene Aristóteles. Piense en una situación en la que la conservación del momento angular\(L\),, también parece ser violada, haciendo parecer incorrectamente que algo externo debe actuar sobre un sistema cerrado para evitar que su momento angular “se agote”.

4.1.2 Aplicación al movimiento planetario

Ahora discutimos la aplicación de la conservación del momento angular al movimiento planetario, tanto por su importancia intrínseca como porque es una buena manera de desarrollar una intuición visual para el momento angular.

La ley de áreas iguales de Kepler establece que el área barrida por un planeta en cierto período de tiempo es siempre la misma. El impulso angular no se había inventado en la época de Kepler, y ni siquiera conocía los hechos físicos más básicos sobre las fuerzas en el trabajo. Pensó en esta ley como una forma totalmente empírica e inesperadamente sencilla de resumir sus datos, regla que logró describir y predecir cómo los planetas aceleraron y disminuyeron la velocidad en sus trayectorias elípticas. Ahora es bastante sencillo, sin embargo, demostrar que la ley de igualdad de área equivale a una afirmación de que el momento angular del planeta se mantiene constante.

Figura h: El área barrida por un planeta en su órbita.

No existe una regla geométrica simple para el área de una cuña de pastel cortada de una elipse, pero si consideramos un intervalo de tiempo muy corto, como se muestra en la figura h, la forma sombreada barrida por el planeta es casi un triángulo. Sí sabemos calcular el área de un triángulo. Es la mitad del producto de la base y la altura:

\[\begin{equation*} \text{area} = \frac{1}{2}bh . \end{equation*}\]

Deseamos relacionar esto con el momento angular, que contiene las variables\(r\) y\(v_{\perp}\). Si consideramos que el sol es el eje de rotación, entonces la variable\(r\) es idéntica a la base del triángulo,\(r=b\). Haciendo referencia a la porción ampliada de la figura, se\(v_{\perp}\) puede relacionar con\(h\), debido a que los dos triángulos rectos son similares:

\[\begin{equation*} \frac{h}{\text{distance traveled}} = \frac{v_{\perp}}{|\mathbf{v}|} \end{equation*}\]

Por lo tanto, el área se puede reescribir como

\[\begin{equation*} \text{area} = \frac{1}{2}r\frac{v_{\perp}(\text{distance traveled})}{|\mathbf{v}|} . \end{equation*}\]

La distancia recorrida es igual\(|\mathbf{v}|\Delta t\), así que esto simplifica a

\[\begin{equation*} \text{area} = \frac{1}{2}rv_{\perp}\Delta t . \end{equation*}\]

Hemos encontrado la siguiente relación entre el momento angular y la velocidad a la que se barre el área:

\[\begin{equation*} L = 2m \frac{\text{area}}{\Delta t} . \end{equation*}\]

El factor de 2 delante es simplemente una cuestión de convención, ya que cualquier cantidad conservada sería una cantidad conservada igualmente válida si la multiplica por una constante. El factor de no\(m\) era relevante para Kepler, que desconocía las masas de los planetas, y que sólo estaba describiendo el movimiento de un planeta a la vez.

Encontramos así que la ley de áreas iguales de Kepler es equivalente a una afirmación de que el momento angular del planeta permanece constante. Pero espera, ¿por qué debería permanecer constante? — el planeta no es un sistema cerrado, ya que está siendo actuado por la fuerza gravitacional del sol. Hay dos respuestas válidas. El primero es que en realidad es el momento angular total del sol más el planeta el que se conserva. El sol, sin embargo, es millones de veces más masivo que el planeta típico, por lo que acelera muy poco en respuesta a la fuerza gravitacional del planeta. Es así una buena aproximación decir que el sol no se mueve en absoluto, de manera que no se transfiere ningún momento angular entre éste y el planeta.

La segunda respuesta es que para cambiar el momento angular del planeta se requiere no sólo de una fuerza sino de una fuerza aplicada de cierta manera. Más adelante en esta sección (a partir de la página 254) discutimos la transferencia del momento angular por una fuerza, pero la idea básica aquí es que una fuerza directamente hacia el eje no cambia el momento angular.

Preguntas de Discusión

◊ Supongamos que un objeto simplemente está viajando en línea recta a velocidad constante. Si escogemos algún punto no en la línea y lo llamamos el eje de rotación, ¿el área es barrida por el objeto a una velocidad constante?

◊

i/Pregunta de discusión B.

La figura es una foto estroboscópica de un bob de péndulo, tomada desde debajo del péndulo mirando hacia arriba. La cuerda negra no se puede ver en la fotografía. Al bob se le dio un ligero empujón lateral cuando se soltó, por lo que no se balanceó en un avión. El punto brillante marca el centro, es decir, la posición que tendría el bob si colgara recto hacia nosotros. ¿Parece que el momento angular del bob permanece constante si consideramos que el centro es el eje de rotación?

4.1.3 Dos teoremas sobre el momento angular

Con simple impulso viejo,\(\mathbf{p}\), tuvimos la libertad de trabajar en cualquier marco inercial de referencia que nos gustara. El mismo objeto podría tener diferentes valores de impulso en dos fotogramas diferentes, si los fotogramas no estuvieran en reposo uno con respecto al otro. La conservación del impulso, sin embargo, sería cierta en cualquiera de los dos marcos. Siempre y cuando empleemos un solo fotograma de manera consistente a lo largo de un cálculo, todo funcionaría.

Lo mismo ocurre con el momento angular, y además hay una ambigüedad que surge de la definición de un eje de rotación. Para una rueda, la elección natural de un eje de rotación es obviamente el eje, pero ¿qué pasa con un huevo que gira de costado? El huevo tiene una forma asimétrica, y por lo tanto no tiene un centro geométrico claramente definido. Un problema similar surge para un ciclón, que ni siquiera tiene una forma claramente definida, o para una máquina complicada con muchos engranajes. El siguiente teorema, el primero de los dos presentados en esta sección, explica cómo tratar este tema. Si bien he puesto títulos descriptivos por encima de ambos teoremas, no tienen nombres generalmente aceptados. Las pruebas, dadas en la página 913, utilizan la técnica vectorial de productos cruzados introducida en la sección 4.3, lo que las simplifica enormemente.

La elección del teorema del eje. Es totalmente arbitrario lo que el punto uno define como eje para fines de calcular el momento angular. Si el momento angular de un sistema cerrado se conserva cuando se calcula con una elección de eje, entonces se conservará para cualquier otra elección de eje. Asimismo, se puede utilizar cualquier marco inercial de referencia. El teorema también se sostiene en el caso donde el sistema no está cerrado, pero la fuerza externa total es cero.

Ejemplo 3: Asteroides en colisión descritos con diferentes ejes

Los observadores en los planetas A y B ven a los dos asteroides colisionando. Los asteroides son de igual masa y sus velocidades de impacto son las mismas. Los astrónomos de cada planeta deciden definir su propio planeta como eje de rotación. El planeta A está dos veces más lejos de la colisión que el planeta B. Los asteroides chocan y se pegan. Por simplicidad, supongamos que los planetas A y B están ambos en reposo. Figura j: Dos asteroides chocan. Con el planeta A como eje, los dos asteroides tienen la misma cantidad de momento angular, pero uno tiene un momento angular positivo y el otro tiene negativo. Antes de la colisión, el momento angular total es, por lo tanto, cero. Después de la colisión, los dos asteroides habrán dejado de moverse, y nuevamente el momento angular total es cero. El momento angular total tanto antes como después de la colisión es cero, por lo que el momento angular se conserva si eliges el planeta A como eje. La única diferencia con el planeta B como eje es que\(r\) es menor por un factor de dos, por lo que todos los momentos angulares se reducen a la mitad. A pesar de que los momentos angulares son diferentes a los calculados por el planeta A, el momento angular aún se conserva. La tierra gira sobre su propio eje una vez al día, pero simultáneamente viaja en su órbita circular de un año alrededor del sol, por lo que cualquier parte dada de ella traza un complicado camino loopy. Parecería difícil calcular el momento angular de la tierra, pero resulta que existe un atajo intuitivamente atractivo: simplemente podemos sumar el momento angular debido a su giro más el que surge del movimiento circular de su centro de masa alrededor del sol. Este es un caso especial del siguiente teorema general: El teorema del giro. El momento angular de un objeto con respecto a algún eje exterior A se puede encontrar sumando dos partes: La primera parte es el momento angular del objeto que se encuentra utilizando su propio centro de masa como eje, es decir, el momento angular que tiene el objeto porque está girando. La otra parte es igual al momento angular que tendría el objeto con respecto al eje A si tuviera toda su masa concentrada y moviéndose con su centro de masa.

k/Todos tienen una fuerte tendencia a pensar que el buzo gira alrededor de su propio centro de masa. No obstante, está volando en arco, y también tiene impulso angular debido a este movimiento.

Ejemplo 4: Un sistema con su centro de masa en reposo

En el caso especial de un objeto cuyo centro de masa está en reposo, el teorema del giro implica que el momento angular del objeto es el mismo independientemente del eje que elijamos. (Esta es una afirmación aún más fuerte que la elección del teorema de eje, que sólo garantiza que el momento angular se conserve para cualquier elección de eje dada, sin especificar que es lo mismo para todas esas elecciones).

Ejemplo 5: Momento angular de un objeto rígido

\(\triangleright\)Una rueda de motocicleta tiene casi toda su masa concentrada en el exterior. Si la rueda tiene masa\(m\) y radio\(r\), y el tiempo requerido para una revolución es\(T\), ¿cuál es la parte de giro de su momento angular? l/Este objeto rígido tiene momento angular tanto porque está girando alrededor de su centro de masa como porque se está moviendo por el espacio. \(\triangleright\)Este es un ejemplo del caso especial comúnmente encontrado de movimiento rígido, a diferencia de la rotación de un sistema como un huracán en el que las diferentes partes tardan diferentes cantidades de tiempo en circular. Realmente no tenemos que pasar por un laborioso proceso de sumar contribuciones de todas las muchas partes de una rueda, porque todas están aproximadamente a la misma distancia del eje, y todas se mueven alrededor del eje aproximadamente a la misma velocidad. La velocidad es toda perpendicular a los radios, \[\begin{align*} v_{\perp} &= (\text{circumference})/ T \\ &= 2\pi r/ T \end{align*}\] y el momento angular de la rueda alrededor de su centro es \[\begin{align*} L &= mv_{\perp} r \\ &= m(2\pi r/ T) r \\ &= 2\pi mr^2/ T . \end{align*}\]

Obsérvese que aunque los factores de\(2\pi\) en esta expresión son peculiares de una rueda con su masa concentrada en la llanta, la proporcionalidad a\(m/T\) habría sido la misma para cualquier otro objeto rígidamente giratorio. Aunque un objeto con una forma no circular no tiene radio, también es cierto en general que el momento angular es proporcional al cuadrado del tamaño del objeto para valores fijos de\(m\) y\(T\). Por ejemplo, duplicar el tamaño de un objeto duplica tanto\(v_{\perp}\) los\(r\) factores como en la contribución de cada una de sus partes al momento angular total, lo que resulta en un factor general de cuatro aumentos.

4.1.4 Torque

La fuerza es la tasa de transferencia de impulso. La cantidad correspondiente en el caso del momento angular se denomina torque (rima con “fork”). Donde la fuerza nos dice lo duro que estamos empujando o tirando de algo, el torque indica lo duro que estamos retorciendo sobre él. El par está representado por la letra griega tau\(\tau\), y la tasa de cambio del momento angular de un objeto es igual al par total que actúa sobre él,

\[\begin{equation*} \tau_{total} = dL/dt . \end{equation*}\]

Al igual que con la fuerza y el impulso, a menudo sucede que el impulso angular retrocede a un segundo plano y enfocamos nuestro interés en los pares. El punto de vista centrado en el par se ejemplifica por el hecho de que muchas personas científicamente incapacitadas pero mecánicamente aptas saben todo sobre el torque, pero ninguna de ellas ha oído hablar del momento angular. Los entusiastas de los autos comparan ansiosamente los pares de los motores, y hay una herramienta llamada llave dinamométrica que permite aplicar la cantidad deseada de torque a un tornillo y evitar que se apriete demasiado.

Torque se distingue de la fuerza

Por supuesto, una fuerza es necesaria para crear un par de torsión, no se puede girar un tornillo sin presionar la llave, pero la fuerza y el par son dos cosas diferentes. Una distinción entre ellos es la dirección. Utilizamos signos positivos y negativos para representar fuerzas en las dos direcciones posibles a lo largo de una línea. La dirección de un par, sin embargo, es en sentido horario o antihorario, no una dirección lineal.

La otra diferencia entre par y fuerza es una cuestión de apalancamiento. Una fuerza dada aplicada en el pomo de una puerta cambiará el momento angular de la puerta dos veces más rápido que la misma fuerza aplicada a mitad de camino entre la perilla y la bisagra. La misma cantidad de fuerza produce diferentes cantidades de par en estos dos casos.

Es posible tener un par total cero con una fuerza total distinta de cero. Se diseñaría un avión con cuatro motores a reacción para que sus fuerzas se equilibraran a izquierda y derecha. Sus fuerzas están todas en la misma dirección, pero los pares en sentido horario de dos de los motores se cancelan por los pares en sentido contrario a las agujas del reloj de los otros dos, dando un par total cero.

Figura m: Los cuatro motores del avión producen cero par total pero no cero fuerza total.

Por el contrario, podemos tener una fuerza total cero y un par total distinto de cero. El motor de un tiovivo necesita suministrar un par distinto de cero para llevarlo a la velocidad, pero hay cero fuerza total sobre él. Si no hubiera cero fuerza total sobre él, ¡su centro de masa se aceleraría!

Relación entre fuerza y par

¿Cómo calculamos la cantidad de torque producido por una fuerza dada? Ya que depende del apalancamiento, debemos esperar que dependa de la distancia entre el eje y el punto de aplicación de la fuerza. Elaboraré una ecuación que relacione el par con la fuerza para una situación particular muy simple, y daré una derivación más rigurosa en la página 284, luego de desarrollar algunas técnicas matemáticas que acortan drásticamente y simplifican la prueba.

Considera un objeto puntiforme que inicialmente está en reposo a una\(r\) distancia del eje que hemos elegido para definir el momento angular. Primero observamos que una fuerza directamente hacia adentro o hacia afuera, a lo largo de la línea que conecta el eje con el objeto, no imparte ningún momento angular al objeto.

Sin embargo, una fuerza perpendicular a la línea que conecta el eje y el objeto hace que el objeto tome un momento angular. La segunda ley de Newton da

\[\begin{equation*} a = F/m , \end{equation*}\]

y usando\(a=dv/dt\) encontramos la velocidad que el objeto adquiere después de un tiempo\(dt\),

\[\begin{equation*} dv = Fdt/m . \end{equation*}\]

Estamos tratando de relacionar la fuerza con un cambio en el momento angular, así multiplicamos ambos lados de la ecuación por\(mr\) para dar

\[\begin{align*} mdv\:r &= Fdt\:r \\ dL &= Fdt\:r . \end{align*}\]

Dividir por\(dt\) da el par:

\[\begin{align*} \frac{dL}{dt}& = Fr \\ \tau &= Fr . \end{align*}\]

Si una fuerza actúa en un ángulo distinto de 0 o\(90°\) con respecto a la línea que une el objeto y el eje, sería solo la componente de la fuerza perpendicular a la línea la que produciría un par,

\[\begin{equation*} \tau = F_{\perp}r . \end{equation*}\]

n/La situación física simple que utilizamos para derivar una ecuación para el par. Una fuerza que apunta directamente hacia dentro o fuera del eje no produce momento angular ni en sentido horario ni en sentido contrario a las agujas del reloj. Una fuerza en la dirección perpendicular transfiere el momento angular.

Si bien este resultado fue probado bajo un conjunto simplificado de circunstancias, es más generalmente válido: ²

\ mythmhdr {Relación entre fuerza y par} La velocidad a la que una fuerza transfiere el momento angular a un objeto, es decir, el par producido por la fuerza, viene dada por

\[\begin{equation*} |\tau| = r |F_{\perp}| , \end{equation*}\]

donde\(r\) es la distancia desde el eje hasta el punto de aplicación de la fuerza, y\(F_{\perp}\) es el componente de la fuerza que es perpendicular a la línea que une el eje al punto de aplicación.

La ecuación se establece con signos de valor absoluto porque los signos positivos y negativos de fuerza y par indican cosas diferentes, por lo que no existe una relación útil entre ellos. El signo del par debe ser encontrado por inspección física de la caja en cuestión.

De la ecuación, vemos que las unidades de torque pueden escribirse como newtons multiplicadas por metros. Las llaves dinamométricas están calibradas\(\text{N}\!\cdot\!\text{m}\), pero las estadounidenses usan pie-libras, que también es una unidad de distancia multiplicada por una unidad de fuerza. Sabemos por nuestro estudio del trabajo mecánico que los newtons multiplicados por metros equivalen a julios, pero el torque es una cantidad completamente diferente al trabajo, y nadie escribe pares con unidades de julios, aunque técnicamente sería correcto.

o/Las relaciones geométricas referidas en la relación entre fuerza y par.

p/Autocomprobación.

q/Visualización del par en términos de\(r_\perp\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Comparar las magnitudes y signos de los cuatro pares mostrados en la figura p. (respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

Ejemplo 6: Cómo el par depende de la dirección de la fuerza

\(\triangleright\)¿Cómo se puede expresar el par aplicado a la llave en la figura en términos de\(r\)\(| F|\), y el ángulo\(\theta\)? \(\triangleright\)El vector de fuerza y su\(F_{\perp}\) componente forman la hipotenusa y una pata de un triángulo rectángulo, y el ángulo interior opuesto a\(F_{\perp}\) igual\(\theta\). Por lo tanto, el valor absoluto de se\(F_{\perp}\) puede expresar como \[\begin{equation*} F_{\perp} = |\mathbf{F}|\ \text{sin}\:\theta , \end{equation*}\] lo que lleva a \[\begin{equation*} |\tau| = r |\mathbf{F}|\ \text{sin}\:\theta . \end{equation*}\] A veces el torque se puede visualizar más claramente en términos de la cantidad que\(r_{\perp}\) se muestra en la figura de la izquierda, lo que nos da una tercera forma de expresar la relación entre par y fuerza: \[\begin{equation*} |\tau| = r_{\perp} |F| . \end{equation*}\] Por supuesto que no querrías ir a memorizar las tres ecuaciones para el torque. Partiendo de cualquiera de ellos podrías derivar fácilmente los otros dos usando trigonometría. Familiarizarse con ellos puede, sin embargo, darle pistas sobre vías de ataque más fáciles en ciertos problemas.

El par debido a la gravedad

Hasta ahora hemos estado pensando en términos de una fuerza que actúa en un solo punto sobre un objeto, como la fuerza de tu mano sobre la llave inglesa. Esto es, por supuesto, una aproximación, y para un cálculo extremadamente realista del par de torsión de su mano en la llave, es posible que deba sumar los pares ejercidos por cada milímetro cuadrado donde su piel toca la llave. Esto rara vez es necesario. Pero en el caso de una fuerza gravitacional, nunca hay un solo punto en el que se aplique la fuerza. Nuestro planeta está ejerciendo un tirón separado en cada ladrillo de la Torre Inclinada de Pisa, y el par gravitacional total sobre la torre es la suma de los pares aportados por todas las pequeñas fuerzas. Por suerte hay un truco que nos permite evitar un cálculo tan masivo. Resulta que con el propósito de calcular el par gravitacional total sobre un objeto, se puede obtener la respuesta correcta simplemente fingiendo que toda la fuerza gravitacional actúa en el centro de masa del objeto.

Ejemplo 7: Torsión gravitacional en un brazo extendido

\(\triangleright\)Tu brazo tiene una masa de 3.0 kg, y su centro de masa está a 30 cm de tu hombro. ¿Cuál es el par gravitacional en tu brazo cuando se estira horizontalmente hacia un lado, tomando el hombro para ser el eje? r/Ejemplo 7. \(\triangleright\)La fuerza gravitacional total que actúa sobre tu brazo es \[\begin{equation*} |\mathbf{F}| = ( 3.0\ \text{kg})( 9.8\ \text{m}/\text{s}^2) = 29\ \text{N} . \end{equation*}\] Con el propósito de calcular el par gravitacional, podemos tratar la fuerza como si actuara en el centro de masa del brazo. La fuerza es recta hacia abajo, que es perpendicular a la línea que conecta el hombro con el centro de masa, por lo que \[\begin{equation*} F_{\perp} = |\mathbf{F}| = 29\ \text{N} . \end{equation*}\] Continuar pretendiendo que la fuerza actúa en el centro del brazo,\(r\) equivale a 30 cm = 0.30 m, por lo que el par es \[\begin{equation*} \tau = r\: F_{\perp} = 9\ \text{N}\cdot\text{m} . \end{equation*}\]

Preguntas de Discusión

◊ Esta serie de preguntas de discusión aborda el razonamiento incorrecto de los estudiantes anteriores sobre el siguiente problema.

Supongamos que un cometa se encuentra en el punto de su órbita que se muestra en la figura. La única fuerza sobre el cometa es la fuerza gravitacional del sol. A lo largo de la pregunta, defina todos los pares y momentos angulares utilizando el sol como eje.

(1) ¿El sol produce un par distinto de cero en el cometa? Explique.

(2) ¿El momento angular del cometa aumenta, disminuye o permanece igual? Explique.

Explica qué es lo que está mal con las siguientes respuestas. En algunos casos, la respuesta es correcta, pero el razonamiento que la lleva es incorrecto.

a) Respuesta incorrecta a la parte (1): “Sí, porque el sol está ejerciendo una fuerza sobre el cometa, y el cometa está a cierta distancia del sol”.

b) Respuesta incorrecta a la parte 1): “No, porque los pares se anulan”.

c) Respuesta incorrecta a la parte (2): “Incrementando, porque el cometa se está acelerando”.

u/Pregunta de discusión A.

◊ Giras una roca sobre tu cabeza en el extremo de una cuerda, y gradualmente tiras de la cuerda, eventualmente cortando el radio por la mitad. ¿Qué pasa con el momento angular de la roca? ¿Qué cambios ocurren en su velocidad, el tiempo requerido para una revolución y su aceleración? ¿Por qué podría romperse la cuerda?

◊ Un helicóptero tiene, además de las enormes aspas del ventilador en la parte superior, una hélice más pequeña montada en la cola que gira en un plano vertical. ¿Por qué?

◊

s/Pregunta de discusión D.

¿Qué martillo de garra facilitaría sacar el clavo de la madera si se aplicara la misma fuerza en la misma dirección?

◊

t/Pregunta de discusión E.

En la foto se muestra un paseo en un parque de diversiones cuyos dos autos giran en direcciones opuestas. ¿Por qué es este un buen diseño?

4.1.5 Aplicaciones a la estática

v/Los molinos de viento no son sistemas cerrados, sino que el momento angular se está transfiriendo fuera de ellos a la misma velocidad en la que se transfiere, resultando en un momento angular constante. Para hacerse una idea de la enorme escala del moderno parque de molinos de viento, tenga en cuenta los tamaños de los camiones y remolques.

En el capítulo 2 definí el equilibrio como una situación en la que se minimiza la energía de interacción. Esto es lo mismo que una condición de cero fuerza total, o impulso constante. Así, un automóvil está en equilibrio no sólo cuando está estacionado sino también cuando navega por una carretera recta con ímpetu constante.

De igual manera hay muchos casos en los que un sistema no está cerrado sino que mantiene un momento angular constante. Cuando un tiovivo está funcionando a un momento angular constante, el par del motor está siendo cancelado por el par debido a la fricción.

No es suficiente que un barco no se hunda — también nos gustaría evitar que se vuelque. Por esta razón, ahora redefinimos el equilibrio de la siguiente manera.

Cuando un objeto tiene un impulso constante y un momento angular constante, decimos que está en equilibrio. Nuevamente, se trata de una redefinición científica de la palabra común inglesa, ya que en el habla ordinaria nadie describiría a un automóvil que gira en una carretera helada como en equilibrio.

Muy comúnmente, sin embargo, nos interesan los casos en los que un objeto no sólo está en equilibrio sino también en reposo, y esto corresponde más estrechamente al sentido habitual de la palabra. La estática es la rama de la física que se ocupa de problemas como estos.

Resolver problemas estáticos ahora es simplemente cuestión de aplicar y combinar algunas cosas que ya conoces:

- Conoces los comportamientos de los diversos tipos de fuerzas, por ejemplo que una fuerza de fricción siempre es paralela a la superficie de contacto.

- Conoces la adición vectorial de fuerzas. Es la suma vectorial de las fuerzas que debe ser igual a cero para producir equilibrio.

- Conoces el torque. El par total que actúa sobre un objeto debe ser cero si va a estar en equilibrio.

- Sabes que la elección del eje es arbitraria, por lo que puedes hacer una elección de eje que haga que el problema sea fácil de resolver.

En general, este tipo de problemas podrían involucrar cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas: tres ecuaciones que dicen que los componentes de fuerza suman cero, y una ecuación que dice que el par total es cero. La mayoría de los casos que encontrarás no serán así de complicados. En el siguiente ejemplo, solo se requiere la ecuación para el par total cero para obtener una respuesta.

Ejemplo 8: Un asta de bandera

\(\triangleright\)Un asta de bandera de 10 kg está siendo sostenido por un cable horizontal ligero, y se apoya contra el pie de una pared como se muestra en la figura. Si el cable solo es capaz de soportar una tensión de 70 N, ¿qué tan grande puede\(\alpha\) ser el ángulo sin romper el cable? w/Ejemplo 8. \(\triangleright\)Se supone que los tres objetos de la figura están en equilibrio: el poste, el cable y la pared. Cualquiera de los tres objetos que escojamos para investigar, todas las fuerzas y pares de torsión sobre él tienen que cancelar. No es particularmente útil analizar las fuerzas y pares en la pared, ya que tiene fuerzas sobre ella desde el suelo que no se dan y que no queremos encontrar. Podríamos estudiar las fuerzas y los pares en el cable, pero eso no nos deja usar la información dada sobre el poste. El objeto que necesitamos analizar es el polo. El polo tiene tres fuerzas sobre él, cada una de las cuales también puede resultar en un par: (1) la fuerza gravitacional, (2) la fuerza del cable y (3) la fuerza de la pared. Somos libres de definir un eje de rotación en cualquier punto que queramos, y es útil definirlo para que se encuentre en el extremo inferior del poste, ya que por esa definición la fuerza de la pared sobre el poste se aplica en\(r=0\) y por lo tanto no hace par en el poste. Esto es bueno, porque no sabemos cuál es la fuerza del muro sobre el poste, y no estamos tratando de encontrarla. Con esta elección de eje, hay dos pares distintos de cero en el polo, un par en sentido contrario a las agujas del reloj desde el cable y un par de torsión en sentido horario por gravedad. Eligiendo representar pares en sentido antihorario como números positivos, y usando la ecuación\(|\boldsymbol{\tau}| =r|F| \sin \theta\), tenemos \[\begin{equation*} r_{cable} |F_{cable}| \sin \theta_{cable} - r_{grav}|F_{grav}|\sin \theta_{grav} = 0 . \end{equation*}\] Un poco de geometría da\(\theta_{cable}=90°-\alpha\) y\(\theta_{grav}=\alpha\), así \[\begin{equation*} r_{cable} |F_{cable}| \sin (90°-\alpha) - r_{grav}|F_{grav}| \sin \alpha = 0 . \end{equation*}\] Se puede considerar que la fuerza gravitacional actúa en el centro de masa del polo, es decir, en su centro geométrico, así\(r_{cable}\) es el doble\(r_{grav}\), y podemos simplificar la ecuación para leer \[\begin{equation*} 2 |F_{cable}| \sin (90°-\alpha) - |F_{grav}| \sin \alpha = 0 . \end{equation*}\] Estas son todas las cantidades que nos dieron, excepto\(\alpha\), que es el ángulo que queremos encontrar. Para resolver porque\(\alpha\) necesitamos usar la identidad trigonométrica\(\sin (90°-x)= \cos x\), \[\begin{equation*} 2 |F_{cable}| \cos \alpha - |F_{grav}| \sin \alpha = 0 , \end{equation*}\] lo que nos permite encontrar \[\begin{align*} \tan\alpha &= 2\frac{|\mathbf{F}_{cable}|}{|\mathbf{F}_{grav}|}\\ \alpha &= \tan^{-1}\left(2\frac{|\mathbf{F}_{cable}|}{|\mathbf{F}_{grav}|}\right)\\ &= \tan^{-1}\left(2\times\frac{70\ \text{N}}{98\ \text{N}}\right)\\ &= 55° . \end{align*}\]

Ejemplo 9: ¡Arte!

\(\triangleright\)La escultura abstracta que se muestra en la figura x contiene un cubo de masa\(m\) y lados de longitud\(b\). El cubo descansa sobre un cilindro, que está descentrado por una distancia\(a\). Encuentra la tensión en el cable. x/Ejemplo 9. \(\triangleright\)Hay cuatro fuerzas en el cubo: una fuerza gravitacional\(mg\), la fuerza\(F_T\) del cable, la fuerza normal ascendente del cilindro\(F_N\), y la fuerza de fricción estática horizontal del cilindro,\(F_s\). La fuerza total sobre el cubo en la dirección vertical es cero: \[\begin{equation*} F_N-mg = 0 . \end{equation*}\]

Como nuestro eje para definir pares, es conveniente elegir el punto de contacto entre el cubo y el cilindro, porque entonces\(F_s\) ni\(F_N\) hace ningún par. El par del cable es en sentido antihorario, y el par debido a la gravedad es en sentido horario y el par del cilindro es en sentido horario. Dejando que los pares en sentido contrario a las agujas del reloj sean positivos\(\tau=r_\perp F\), y usando la ecuación conveniente, encontramos la ecuación para el par total:

\[\begin{equation*} b F_T - F_N a = 0 . \end{equation*}\]

También podríamos anotar la ecuación diciendo que la fuerza horizontal total es cero, pero eso traería la fuerza de fricción del cilindro sobre el cubo, que no conocemos y no necesitamos encontrar. Ya tenemos dos ecuaciones en las dos incógnitas\(F_T\) y\(F_N\), así que no hay necesidad de convertirla en tres ecuaciones en tres incógnitas. Resolviendo la primera ecuación para\(F_N=mg\), luego sustituimos en la segunda ecuación para eliminar\(F_N\), y resolver para\(F_T=(a/b)mg\).

¿Por qué un equilibrio es estable y otro inestable? Intenta empujar tu propia nariz hacia la izquierda o hacia la derecha. Si lo empujas un milímetro hacia la izquierda, responde con una fuerza suave hacia la derecha. Si lo empujas un centímetro hacia la izquierda, su fuerza sobre tu dedo se vuelve mucho más fuerte. La característica definitoria de un equilibrio estable es que cuanto más lejos se aleja el objeto del equilibrio, más fuerte es la fuerza que intenta traerlo de vuelta.

Lo contrario es cierto para un equilibrio inestable. En la figura superior, la pelota que descansa sobre la colina redonda teóricamente tiene cero fuerza total sobre ella cuando está exactamente en la cima. Pero en realidad la fuerza total no será exactamente cero, y la pelota comenzará a moverse hacia un lado. Una vez que se ha movido, la fuerza neta sobre el balón es mayor de lo que era, y acelera más rápidamente. En un equilibrio inestable, cuanto más se aleja el objeto del equilibrio, más fuerte es la fuerza que lo empuja más lejos del equilibrio.

y/Equilibrios estables e inestables.

Esta idea puede ser reformulada en términos de energía. La diferencia entre los equilibrios estable e inestable que se muestra en la figura y es que en el equilibrio estable, la energía está en un mínimo, y moviéndose a ambos lados del equilibrio la incrementará, mientras que el equilibrio inestable representa un máximo.

Tenga en cuenta que estamos usando el término “estable” en un sentido más débil que en el habla ordinaria. Un dominó de pie es estable en el sentido que estamos usando, ya que no se caerá espontáneamente en respuesta a un estornudo del otro lado de la habitación o a la vibración de un camión que pasa. Sólo lo llamaríamos inestable en el sentido técnico si pudiera ser derribado por cualquier fuerza, por pequeña que fuera. En el uso cotidiano, por supuesto, se consideraría inestable, ya que la fuerza requerida para derrocarlo es tan pequeña.

z/El equilibrio del bailarín es inestable. Si no hacía constantemente pequeños ajustes, se volcaría.

Ejemplo 10: Aplicación de Cálculo

\(\triangleright\)Nancy Neutron vive en un núcleo de uranio que está en proceso de fisión. La energía nuclear de Nancy en función de la posición puede aproximarse por\(U=x^4-x^2\), donde todas las unidades y constantes numéricas han sido suprimidas por simplicidad. Usa el cálculo para localizar los puntos de equilibrio y determinar si son estables o inestables. aa/Ejemplo 10. \(\triangleright\)Los puntos de equilibrio ocurren donde la U está en un mínimo o máximo, y los mínimos y máximos ocurren donde la derivada (que equivale a menos la fuerza sobre Nancy) es cero. Esta derivada es\(dU/dx=4x^3-2x\), y poniéndola igual a cero, tenemos\(x=0, \pm1/\sqrt{2}\). Los mínimos ocurren donde la segunda derivada es positiva y los máximos donde es negativa. La segunda derivada es\(12x^2-2\), que es negativa a\(x=0\) (inestable) y positiva a\(x=\pm1/\sqrt{2}\) (estable). Interpretación: la gráfica de U tiene la forma de una letra redondeada `W', con los dos canales representando las dos mitades del núcleo divisorio. Nancy va a tener que decidir con qué mitad quiere ir.

Colaboradores y Atribuciones

Template:ContribCrowell