6.2: Descripción microscópica de un gas ideal
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5.2.1 Evidencia para la teoría cinética
¿Por qué la materia tiene las propiedades térmicas que tiene? La respuesta básica debe provenir del hecho de que la materia está hecha de átomos. ¿Cómo, entonces, dan lugar los átomos a las propiedades a granel que observamos? Los gases, cuyas propiedades térmicas son tan simples, ofrecen la mejor oportunidad para que construyamos una conexión simple entre los mundos microscópico y macroscópico.
Una observación crucial es que aunque los sólidos y líquidos son casi incompresibles, los gases pueden comprimirse, como cuando aumentamos la cantidad de aire en la llanta de un automóvil mientras apenas aumentamos su volumen en absoluto. Esto nos hace sospechar que los átomos en un sólido están empaquetados hombro con hombro, mientras que un gas es en su mayoría vacío, con grandes espacios entre moléculas. La mayoría de los líquidos y sólidos tienen densidades alrededor de 1000 veces mayores que la mayoría de los gases, por lo que evidentemente cada molécula en un gas está separada de sus vecinos más cercanos por un espacio algo así como 10 veces el tamaño de las propias moléculas.
Si las moléculas de gas no tienen más que espacio vacío entre ellas, ¿por qué las moléculas de la habitación a tu alrededor no caen al suelo? La única respuesta posible es que están en rápido movimiento, rebotando continuamente de las paredes, piso y techo. En la sección 2.4 ya he dado algunas de las evidencias para la teoría cinética del calor, que establece que el calor es la energía cinética de moléculas que se mueven aleatoriamente. Esta teoría fue propuesta por Daniel Bernoulli en 1738, y se encontró con considerable oposición porque parecía que las moléculas en un gas eventualmente se calmarían y se asentarían en una fina película en el suelo. No había precedente para este tipo de moción perpetua. Ninguna bola de goma, por elástica que sea, rebota de una pared con exactamente tanta energía como originalmente tenía, ni jamás observamos una colisión entre bolas en la que ninguna de la energía cinética se convierta en calor y sonido. La analogía es falsa, sin embargo. Una bola de goma consiste en átomos, y cuando se calienta en una colisión, el calor es una forma de movimiento de esos átomos. Una molécula individual, sin embargo, no puede poseer calor. Del mismo modo, el sonido es una forma de movimiento masivo de moléculas, por lo que las moléculas colisionadas en un gas no pueden convertir su energía cinética en sonido. De hecho, las moléculas pueden inducir vibraciones como las ondas sonoras cuando chocan contra las paredes de un contenedor, pero las vibraciones de las paredes tienen la misma probabilidad de impartir energía a una molécula de gas como para tomar energía de ella. En efecto, este tipo de intercambio de energía es el mecanismo por el cual se equilibran las temperaturas del gas y su contenedor.
5.2.2 Presión, volumen y temperatura
Un gas ejerce presión sobre las paredes de su contenedor, y en la teoría cinética interpretamos esta presión aparentemente constante como el resultado promedio de un gran número de colisiones que ocurren cada segundo entre las moléculas de gas y las paredes. Los hechos empíricos sobre los gases pueden resumirse por la relación
que realmente solo se sostiene exactamente para un gas ideal. Aquí\(n\) está el número de moléculas en la muestra de gas.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Volume related to temperature
La proporcionalidad del volumen a la temperatura a presión fija fue la base para nuestra definición de temperatura.
| Ejemplo 8: Presión relacionada con la temperatura |
|---|
| La presión es proporcional a la temperatura cuando el volumen se mantiene constante. Un ejemplo es el aumento de la presión en las llantas de un automóvil cuando el automóvil ha sido conducido por la autopista por un tiempo y las llantas y el aire se han calentado. |
Ahora conectamos estos hechos empíricos con la teoría cinética de un gas ideal clásico. Por simplicidad, asumimos que el gas es monoatómico (es decir, cada molécula tiene un solo átomo), y que está confinado a una caja cubica de volumen\(V\),\(L\) siendo la longitud de cada borde y\(A\) el área de cualquier pared. Un átomo cuya velocidad tiene un\(x\) componente\(v_x\) colisionará regularmente con la pared izquierda, recorriendo una distancia\(2L\) paralela al\(x\) eje entre colisiones con esa pared. El tiempo entre colisiones es\(\Delta t=2L/v_x\), y en cada colisión el\(x\) componente del impulso del átomo se invierte de\(-mv_x\) a\(mv_x\). La fuerza total en la pared es
donde el índice\(i\) se refiere a los átomos individuales. Sustituyendo\(\Delta p_{x,i}=2mv_{x,i}\) y\(\Delta t_i=2L/v_{x,i}\), tenemos
La cantidad\(mv_{x,i}^2\) es el doble de la contribución a la energía cinética de la parte del movimiento del centro de masa de los átomos que es paralela al\(x\) eje. Como estamos asumiendo un gas monoatómico, el movimiento del centro de masa es el único tipo de movimiento que da lugar a la energía cinética. (Una molécula más compleja podría rotar y vibrar también.) Si la cantidad dentro de la suma incluyera\(z\) los componentes\(y\) y, sería el doble de la energía cinética total de todas las moléculas. Ya que esperamos que la energía sea igualmente compartida entre\(x\),, y\(z\) movimiento\(y\), 1 la cantidad dentro de la suma debe por lo tanto ser igual a 2/3 de la energía cinética total, por lo que
Dividiendo por\(A\) y usando\(AL=V\), tenemos
Esto se puede conectar a la relación empírica\(PV \propto nT\) si multiplicamos por ambos\(V\) lados y reescribimos\(K_{total}\) como\(n\bar{K}\), donde\(\bar{K}\) está la energía cinética promedio por molécula:
Por primera vez tenemos una interpretación de la temperatura basada en una descripción microscópica de la materia: en un gas ideal monoatómico, la temperatura es una medida de la energía cinética promedio por molécula. La proporcionalidad entre los dos es\(\bar{K}=(3/2)kT\), donde la constante de proporcionalidad\(k\), conocida como constante de Boltzmann, tiene un valor numérico de\(1.38\times10^{-23}\ \text{J}/\text{K}\). En términos de la constante de Boltzmann, la relación entre las cantidades a granel para un gas ideal se convierte
que se conoce como la ley de gas ideal. Aunque no lo probaré aquí, esta ecuación se aplica a todos los gases ideales, a pesar de que la derivación asumió un gas ideal monoatómico en una caja cubica. (Es posible que lo hayas visto escrito en otra parte como\(PV=NRT\), donde\(N=n/N_A\) está el número de moles de átomos\(R=kN_A\),\(N_A=6.0\times10^{23}\), y, llamado número de Avogadro, es esencialmente el número de átomos de hidrógeno en 1 g de hidrógeno.)
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Pressure in a car tire
\(\triangleright\)Después de conducir por la autopista por un tiempo, el aire en las llantas de su automóvil se calienta de\(10°\text{C}\) a\(35°\text{C}\). ¿Cuánto aumenta la presión?
\(\triangleright\)Las llantas pueden expandirse un poco, pero suponemos que este efecto es pequeño, por lo que el volumen es casi constante. De la ley de gas ideal, la relación de las presiones es la misma que la relación de las temperaturas absolutas,
o un incremento del 9%.
Preguntas de Discusión
◊ Compara la cantidad de energía necesaria para calentar 1 litro de helio en 1 grado con la energía necesaria para calentar 1 litro de xenón. En ambos casos, el calentamiento se realiza en un recipiente sellado que no permite que el gas se expanda. (El recipiente también está bien aislado.)
◊ Repetir la pregunta de discusión A si la comparación es de 1 kg de helio versus 1 kg de xenón (masas iguales, en lugar de volúmenes iguales).
◊ Repita la pregunta de discusión A, pero ahora compare 1 litro de helio en un recipiente de volumen constante con la misma cantidad de helio en un recipiente que permita la expansión más allá del volumen inicial de 1 litro. (Esto podría ser un pistón o un globo).