7.2: Ondas acotadas

El habla es lo que separa más decididamente a los humanos de los animales. Ninguna otra especie puede dominar la sintaxis, y aunque los chimpancés pueden aprender un vocabulario de signos de manos, existe una diferencia inconfundible entre un bebé humano y un chimpancé bebé: a partir del nacimiento, el humano experimenta con la producción de sonidos complejos del habla.

Dado que los sonidos del habla son instintivos para nosotros, rara vez pensamos en ellos conscientemente. ¿Cómo controlamos tan hábilmente las ondas sonoras? Principalmente lo hacemos cambiando la forma de un conjunto conectado de cavidades huecas en nuestro pecho, garganta y cabeza. De alguna manera moviendo los límites de este espacio dentro y fuera, podemos producir todos los sonidos vocales. Hasta ahora, hemos estado estudiando únicamente aquellas propiedades de las olas que pueden entenderse como si existieran en un espacio infinito, abierto y sin límites. En este capítulo abordamos lo que sucede cuando una ola está confinada dentro de un cierto espacio, o cuando un patrón de onda encuentra el límite entre dos medios diferentes, como cuando una onda de luz que se mueve a través del aire se encuentra con un cristal de ventana.

a/Una vista transversal de un cuerpo humano, mostrando el tracto vocal.

6.2.1 Reflexión, transmisión y absorción

Reflexión y transmisión

Las ondas sonoras pueden retroceder desde un acantilado, y las ondas de luz se reflejan desde la superficie de un estanque. Utilizamos la palabra reflexión, normalmente aplicada únicamente a las ondas de luz en el habla ordinaria, para describir cualquier caso de una onda que rebota de una barrera. La figura (a) muestra una onda circular de agua reflejada desde una pared recta. En este capítulo, nos concentraremos principalmente en la reflexión de las olas que se mueven en una dimensión, como en la figura c/1.

b/Las ondas circulares de agua se reflejan desde un límite a la izquierda. (PSSC Física)

La reflexión de olas no nos sorprende. Después de todo, un objeto material como una bola de goma rebotaría de la misma manera. Pero las olas no son objetos, y hay algunas sorpresas en la tienda.

En primer lugar, solo se suele reflejar una parte de la onda. Al mirar por una ventana, vemos ondas de luz que la atraviesan, pero una persona parada afuera también podría ver su reflejo en el cristal. Una onda de luz que golpea el vidrio se refleja parcialmente y en parte se transmite (pasa) por el vidrio. La energía de la onda original se divide entre las dos. Esto es diferente al comportamiento de la bola de goma, que debe ir de una manera u otra, no de ambas.

Segundo, considera lo que ves si estás nadando bajo el agua y miras hacia la superficie. Ves tu propio reflejo. Esto es completamente contradictorio, ya que esperaríamos que las ondas de luz estallaran a la libertad al aire libre. ¡Un proyectil material disparado hacia la superficie nunca rebotaría desde el límite agua-aire!

¿Qué tiene la diferencia entre dos medios que hace que las ondas se reflejen parcialmente en el límite entre ellos? ¿Es su densidad? ¿Su composición química? En definitiva, lo único que importa es la velocidad de la ola en los dos medios. Una onda se refleja parcialmente y se transmite parcialmente en el límite entre medios en los que tiene diferentes velocidades. Por ejemplo, la velocidad de las ondas de luz en el vidrio de las ventanas es aproximadamente 30% menor que en el aire, lo que explica por qué las ventanas siempre hacen reflejos. La Figura c muestra ejemplos de pulsos de onda reflejados en el límite entre dos resortes helicoidales de diferentes pesos, en los que la velocidad de onda es diferente.

c/1. Una onda sobre un muelle en espiral, inicialmente viajando hacia la izquierda, se refleja desde el extremo fijo. 2. Una ola en el resorte más ligero, donde la velocidad de ola es mayor, viaja hacia la izquierda y luego se refleja parcialmente y se transmite parcialmente en el límite con el resorte espiral más pesado, que tiene una velocidad de onda más baja. El reflejo se invierte. 3. Una ola que se mueve hacia la derecha en el resorte más pesado se refleja parcialmente en el límite con el resorte más ligero. El reflejo no está invertido. (PSSC Física)

Reflexiones como b y c//1, donde una onda se encuentra con un objeto fijo masivo, suelen entenderse sobre la misma base que casos como c /2 y c/3 donde dos medios se encuentran. El ejemplo c /1, por ejemplo, es como una versión más extrema del ejemplo c/2. Si el resorte espiral pesado en c /2 se hiciera cada vez más pesado, terminaría actuando como la pared fija a la que se ha unido el resorte ligero en c /1.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En la figura c/1, el pulso reflejado está al revés, pero su profundidad es tan grande como la altura del pulso original. ¿Cómo se compara la energía del pulso reflejado con la del original?

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

Ejemplo 8: Los peces tienen orejas internas.
¿Por qué los peces no tienen agujeros para las orejas? La velocidad de las ondas sonoras en el cuerpo de un pez no es muy diferente de su velocidad en el agua, por lo que las ondas sonoras no se reflejan fuertemente desde la piel de un pez. Pasan justo a través de su cuerpo, por lo que los peces pueden tener orejas internas.

Ejemplo 9: Canciones de ballenas viajando largas distancias

Las ondas sonoras viajan a velocidades drásticamente diferentes a través de la roca, el agua y el aire. Así, los cantos de ballenas se reflejan fuertemente tanto en la parte inferior como en la superficie. Las ondas sonoras pueden viajar cientos de millas, rebotando repetidamente entre el fondo y la superficie, y aún así ser detectables. Lamentablemente, la contaminación acústica de los barcos casi ha cerrado esta versión cetácea de internet.

Ejemplo 10: Comunicación por radio de larga distancia
La comunicación por radio puede ocurrir entre estaciones en lados opuestos del planeta. El mecanismo es totalmente similar al explicado en el ejemplo anterior, pero los tres medios involucrados son la tierra, la atmósfera y la ionosfera.

autocomprobación:

El sonar es un método para que barcos y submarinos se detecten entre sí produciendo ondas sonoras y escuchando ecos. ¿Qué propiedades tendría que tener un objeto submarino para ser invisible al sonar?

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

El uso de la palabra “reflexión” trae naturalmente a la mente la creación de una imagen por un espejo, pero esto puede resultar confuso, porque normalmente no nos referimos a “reflexión” cuando miramos superficies que no son brillantes. Sin embargo, la reflexión es cómo vemos las superficies de todos los objetos, no solo los pulidos. Cuando miramos una acera, por ejemplo, en realidad estamos viendo el reflejo del sol desde el concreto. La razón por la que no vemos una imagen del sol a nuestros pies es simplemente que la superficie rugosa difumina la imagen tan drásticamente.

Reflejos invertidos y no invertidos

Observe cómo el pulso reflejado de vuelta a la derecha en el ejemplo c /2 vuelve al revés, mientras que el reflejado de nuevo a la izquierda en c/3 regresa en su forma vertical original. Esto también es cierto para otras olas. En general, hay dos posibles tipos de reflexiones, una reflexión de vuelta a un medio más rápido y una reflexión de vuelta a un medio más lento. Un tipo siempre será una reflexión inversora y otra no inversora.

d/Una reflexión no invertida. El pulso reflejado se invierte de adelante hacia atrás, pero no está al revés.

e/Una reflexión invertida. El pulso reflejado se invierte tanto de adelante hacia atrás como de arriba a abajo.

Es importante darse cuenta de que cuando discutimos reflexiones invertidas y no invertidas sobre una cuerda, estamos hablando de si la onda se voltea a través de la dirección del movimiento (es decir, al revés en estos dibujos). El pulso reflejado siempre se invertirá de adelante hacia atrás, como se muestra en las figuras d y e. Esto se debe a que está viajando en la otra dirección. El borde de avance del pulso es lo que se refleja primero, por lo que sigue adelante cuando comienza de nuevo a la izquierda —es solo que “adelante” está ahora en sentido contrario.

Absorción

Hasta ahora hemos asumido tácitamente que la energía de las olas permanece como energía de las olas, y no se convierte a ninguna otra forma. Si esto fuera cierto, entonces el mundo se llenaría cada vez más de ondas sonoras, que nunca podrían escapar al vacío del espacio exterior. En realidad, cualquier onda mecánica consiste en un patrón viajante de vibraciones de algún medio físico, y las vibraciones de la materia siempre producen calor, como cuando uno dobla un coathangar de un lado a otro y se calienta. Por lo tanto, podemos esperar que en ondas mecánicas como ondas de agua, ondas de sonido, u ondas en una cuerda, la energía de las olas se convierta gradualmente en calor. Esto se conoce como absorción. La reducción en la energía de la ola también puede describirse como una reducción en la amplitud, siendo la relación entre ellas, como con un objeto vibrante,\(E\propto A^2\).

f/Un pulso que viaja a través de un medio altamente absortivo.

La onda sufre una disminución en la amplitud, como se muestra en la figura f. La disminución de la amplitud equivale al mismo cambio fraccionario para cada unidad de distancia recorrida. Por ejemplo, si una onda disminuye de amplitud 2 a amplitud 1 sobre una distancia de 1 metro, entonces después de viajar otro metro tendrá una amplitud de 1/2. Es decir, la reducción de amplitud es exponencial. Esto se puede probar de la siguiente manera. Por el principio de superposición, sabemos que una onda de amplitud 2 debe comportarse como la superposición de dos ondas idénticas de amplitud 1. Si una sola onda de amplituda-1 moriría hasta la amplitud 1/2 en una cierta distancia, entonces dos ondas de amplituda-1 superpuestas una encima de la otra para hacer que la amplitud 1+1=2 debe morir hasta la amplitud 1/2+1/2=1 sobre la misma distancia.

Nota

A medida que una ola sufre absorción, pierde energía. ¿Significa esto que se ralentiza?

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

En muchos casos, este efecto de calentamiento por fricción es bastante débil. Las ondas sonoras en el aire, por ejemplo, se disipan en calor extremadamente lentamente, y el sonido de la música de la iglesia en una catedral puede reverberar hasta 3 o 4 segundos antes de que se vuelva inaudible. ¡Durante este tiempo ha recorrido más de un kilómetro! Incluso esta disipación muy gradual de la energía ocurre principalmente como calentamiento de las paredes de la iglesia y por la fuga de sonido hacia el exterior (donde eventualmente terminará como calor). En las condiciones adecuadas (aire húmedo y baja frecuencia), una onda sonora en una tubería recta teóricamente podría recorrer cientos de kilómetros antes de ser perceptible atenuada.

En general, la absorción de ondas mecánicas depende en gran medida de la composición química y de la estructura microscópica del medio. Las ondas en la superficie del anticongelante, por ejemplo, mueren extremadamente rápido en comparación con las ondas en el agua. Para las ondas sonoras y las ondas superficiales en líquidos y gases, lo que importa es la viscosidad de la sustancia, es decir, si fluye fácilmente como agua o mercurio o más lentamente como melaza o anticongelante. Esto explica por qué nuestra expectativa intuitiva de una fuerte absorción del sonido en el agua es incorrecta. El agua es un absorbedor muy débil del sonido (ver. canciones de ballenas y sonar), y nuestra intuición incorrecta surge de enfocarnos en la propiedad equivocada de la sustancia: la alta densidad del agua, que es irrelevante, más que su baja viscosidad, que es lo que importa.

La luz es un caso interesante, ya que aunque puede viajar a través de la materia, no es en sí misma una vibración de ninguna sustancia material. Así podemos mirar a la estrella Sirio, a\(10^{14}\) km de nosotros, y estar seguros de que ninguna de su luz fue absorbida en el vacío del espacio exterior durante su viaje de nueve años hacia nosotros. El Telescopio Espacial Hubble observa rutinariamente la luz que ha estado en camino hacia nosotros desde la historia temprana del universo, hace miles de millones de años. Por supuesto, la energía de la luz se puede disipar si pasa a través de la materia (y la luz de galaxias distantes suele ser absorbida si sucede que hay nubes de gas o polvo en el medio).

Ejemplo 11: Insonorización

Los músicos aficionados típicos que se proponen insonorizar sus garajes tienden a pensar que simplemente deberían cubrir las paredes con la sustancia más densa posible. De hecho, el sonido no se absorbe muy fuertemente incluso al pasar por varias pulgadas de madera. Una mejor estrategia para la insonorización es crear un sándwich de capas alternas de materiales en el que la velocidad del sonido sea muy diferente, para fomentar la reflexión. El diseño clásico es alternar capas de fibra de vidrio y contrachapado. La velocidad del sonido en la madera contrachapada es muy alta, debido a su rigidez, mientras que su velocidad en fibra de vidrio es esencialmente la misma que su velocidad en el aire. Ambos materiales son bastante buenos absorbentes de sonido, pero las ondas sonoras que pasan por unas pocas pulgadas de ellos todavía no van a ser absorbidas suficientemente. El punto de combinarlos es que una onda sonora que intenta salir se reflejará fuertemente en cada uno de los límites de fibra de vidrio-contrachapado, y rebotará muchas veces de un lado a otro como una pelota de ping pong. Debido a todo el movimiento de ida y vuelta, el sonido puede terminar viajando una distancia total igual a diez veces el grosor real de la insonorización antes de que se escape. Esto equivale a tener diez veces el grosor del material fonoabsorbente.

Ejemplo 12: Transmisión por radio

Una estación transmisora de radio debe tener un largo de cable o cable que conecte el amplificador a la antena. El cable y la antena actúan como dos medios diferentes para las ondas de radio, y por lo tanto habrá reflexión parcial de las ondas a medida que vienen del cable a la antena. Si las ondas rebotan de un lado a otro muchas veces entre el amplificador y la antena, gran parte de su energía será absorbida. Hay dos formas de atacar el problema. Una posibilidad es diseñar la antena para que la velocidad de las ondas en ella sea lo más cercana posible a la velocidad de las ondas en el cable; esto minimiza la cantidad de reflexión. El otro método es conectar el amplificador a la antena usando un tipo de cable o cable que no absorba fuertemente las ondas. La reflexión parcial entonces se vuelve irrelevante, ya que toda la energía de las olas eventualmente saldrá a través de la antena.

Preguntas de Discusión

◊ Una onda sonora que sufrió una reflexión de inversión de presión tendría sus compresiones convertidas en expansiones y viceversa. ¿Cómo se compararían su energía y frecuencia con las del sonido original? ¿Suena diferente? ¿Qué pasa si intercambias los dos cables donde se conectan a un altavoz estéreo, dando como resultado ondas que vibran de manera opuesta?

6.2.2 Tratamiento cuantitativo de la reflexión

En esta subsección analizamos las razones por las que las reflexiones ocurren en un límite que cambia de velocidad, predicen cuantitativamente las intensidades de reflexión y transmisión, y discutimos cómo predecir para cualquier tipo de onda qué reflexiones están invirtiendo y cuáles están ininvirtiendo.

Por qué ocurre la reflexión

Para entender las razones fundamentales de lo que ocurre en la frontera entre medios, primero discutamos lo que no sucede. En aras de la concreción, considera una onda sinusoidal en una cuerda. Si la onda progresa de una porción más pesada de la cuerda, en la que su velocidad es baja, a una parte más ligera, en la que es alta, entonces la ecuación nos\(v=f\lambda\) dice que debe cambiar su frecuencia, o su longitud de onda, o ambas. Si tan solo cambiara la frecuencia, entonces las partes de la onda en las dos porciones diferentes de la cuerda saldrían rápidamente de paso entre sí, produciendo una discontinuidad en la onda, g /1. Esto no es físico, por lo que sabemos que la longitud de onda debe cambiar mientras la frecuencia permanece constante, g/2.

g/1. Un cambio en la frecuencia sin un cambio en la longitud de onda produciría una discontinuidad en la onda.\ 2. Un simple cambio en la longitud de onda sin una reflexión resultaría en una fuerte torcedura en la onda.

Pero todavía hay algo poco físico en la figura g /2. El cambio repentino en la forma de la ola ha resultado en un fuerte torcedura en el límite. Esto realmente no puede suceder, porque el medio tiende a acelerar de tal manera que elimina la curvatura. Un retorcimiento agudo corresponde a una curvatura infinita en un punto, lo que produciría una aceleración infinita, que no sería consistente con el patrón suave del movimiento de las olas previsto en la fig. g /2. Las olas pueden tener torceduras, pero no torceduras estacionarias.

Concluimos que sin postular reflexión parcial de la ola, no podemos satisfacer simultáneamente los requisitos de (1) continuidad de la onda, y (2) no cambios repentinos en la pendiente de la ola. En otras palabras, asumimos que tanto la onda como su derivada son funciones continuas).

¿Esto equivale a una prueba de que se produce la reflexión? No del todo. Solo hemos demostrado que ciertos tipos de movimiento de las olas no son soluciones válidas. En el siguiente subapartado, demostramos que siempre se puede encontrar una solución válida en la que se produce una reflexión. Ahora en física, normalmente asumimos (pero rara vez probamos formalmente) que las ecuaciones del movimiento tienen una solución única, ya que de lo contrario un conjunto dado de condiciones iniciales podría conducir a un comportamiento diferente más adelante, pero se supone que el universo newtoniano es determinista. Dado que la solución debe ser única, y derivamos a continuación una solución válida que implique un pulso reflejado, habremos terminado con lo que equivale a una prueba de reflexión.

Intensidad de reflexión

Ahora voy a mostrar, en el caso de las ondas en una cuerda, que es posible satisfacer los requisitos físicos dados anteriormente construyendo una onda reflejada, y como bono esto producirá una ecuación para las proporciones de reflexión y transmisión y una predicción de qué condiciones conducirán a la inversión y que a la reflexión no invertida. Solo asumimos que se mantiene el principio de superposición, que es una buena aproximación para las ondas en una cadena de amplitud suficientemente pequeña.

h/Un pulso que se refleja parcialmente y se transmite parcialmente en el límite entre dos cadenas en las que la velocidad de onda es diferente. El dibujo superior muestra el pulso dirigiéndose a la derecha, hacia la cuerda más gruesa. Para mayor claridad, todos menos el primer y último dibujos son esquemáticos. Una vez que el pulso reflejado comienza a emerger del límite, se suma junto con las partes finales del pulso incidente. Su suma, mostrada como una línea más amplia, es lo que realmente se observa.

Que las amplitudes desconocidas de las ondas reflejadas y transmitidas sean\(R\) y\(T\), respectivamente. Una reflexión invertida estaría representada por un valor negativo de\(R\). Podemos sin pérdida de generalidad tomar la onda incidente (original) para tener amplitud unitaria. La superposición nos dice que si, por ejemplo, la onda incidente tuviera el doble de esta amplitud, inmediatamente podríamos encontrar una solución correspondiente simplemente duplicando\(R\) y\(T\).

Justo a la izquierda del límite, la altura de la ola viene dada por la altura 1 de la ola incidente, más la altura\(R\) de la parte de la ola reflejada que acaba de ser creada y comenzó a dirigirse hacia atrás, para una altura total de\(1+R\). En el lado derecho inmediatamente al lado del límite, la onda transmitida tiene una altura\(T\). Para evitar una discontinuidad, debemos tener

\[\begin{equation*} 1+R = T . \end{equation*}\]

A continuación pasamos al requisito de pendientes iguales a ambos lados del límite. Que la pendiente de la onda entrante sea s inmediatamente a la izquierda del cruce. Si la onda se reflejara al 100%, y sin inversión, entonces la pendiente de la onda reflejada sería\(-s\), ya que la onda se ha invertido en dirección. En general, la pendiente de la onda reflejada es igual\(-sR\), y las pendientes de las olas superpuestas del lado izquierdo suman\(s-sR\). A la derecha, la pendiente depende de la amplitud\(T\), pero también se cambia por el estiramiento o compresión de la ola debido al cambio de velocidad. Si, por ejemplo, la velocidad de ola es el doble de grande en el lado derecho, entonces la pendiente se corta a la mitad por este efecto. La pendiente de la derecha es por lo tanto\(s(v_1/v_2)T\), donde\(v_1\) está la velocidad en el medio original y\(v_2\) la velocidad en el nuevo medio. Igualdad de pendientes da\(s-sR = s(v_1/v_2)T\), o

\[\begin{equation*} 1-R = \frac{v_1}{v_2}T . \end{equation*}\]

Resolviendo las dos ecuaciones para las incógnitas\(R\) y\(T\) da

\[\begin{align*} R &= \frac{v_2-v_1}{v_2+v_1} \ \text{and} T &= \frac{2v_2}{v_2+v_1} . \end{align*}\]

La primera ecuación muestra que no hay reflexión a menos que las dos velocidades de onda sean diferentes, y que la reflexión se invierte en reflexión de nuevo en un medio rápido.

Las energías de los vacilantes transmitidos y reflejados siempre suman lo mismo que la energía de la onda original. Nunca hay ninguna pérdida (o ganancia) abrupta de energía cuando una ola cruza un límite; la conversión de la energía de las olas en calor ocurre para muchos tipos de olas, pero ocurre a lo largo del medio. La ecuación para\(T\), sorprendentemente, permite que la amplitud de la onda transmitida sea mayor que 1, es decir, mayor que la de la onda incidente. Esto no viola la conservación de energía, porque esto ocurre cuando la segunda cadena es menos masiva, reduciendo su energía cinética, y el pulso transmitido es más amplio y menos fuertemente curvado, lo que disminuye su energía potencial.

Reflejos invertidos y no invertidos en general (opcional)

Para las ondas en una cuerda, los reflejos que vuelven a un medio más rápido se invierten, mientras que los que vuelven a un medio más lento no se invierten. ¿Esto es cierto para todo tipo de olas? La respuesta bastante sutil es que depende de qué propiedad de la ola estés discutiendo.

Empecemos por considerar las perturbaciones de las olas del tráfico de la autopista. Cualquiera que haya conducido frecuentemente por autopistas abarrotadas ha observado el fenómeno en el que un conductor toca los frenos, iniciando una reacción en cadena que viaja hacia atrás por la autopista ya que cada persona a su vez ejerce cautela para evitar acabar con alguien por detrás. La razón por la que este tipo de onda es relevante es que da un ejemplo simple y fácilmente visualizado de cómo nuestra descripción de una onda depende de qué aspecto de la onda tenemos en mente. En el tráfico de autopista que fluye constantemente, tanto la densidad de los automóviles como su velocidad son constantes a lo largo de toda la carretera. Como no hay perturbación en este patrón de velocidad y densidad constantes, decimos que no hay onda. Ahora bien, si una ola es tocada por una persona que toca los frenos, podemos describirla como una región de alta densidad o como una región de velocidad decreciente.

i/Un patrón de onda en el tráfico de la autopista.

La onda de tráfico de la autopista es de hecho un buen modelo de onda sonora, y una onda de sonido también puede describirse ya sea por la densidad (o presión) del aire o por su velocidad. De igual manera muchos otros tipos de ondas pueden describirse por cualquiera de dos funciones, una de las cuales suele ser derivada de la otra con respecto a la posición.

Ahora consideremos las reflexiones. Si observamos la onda de la autopista en un espejo, el área de alta densidad seguirá apareciendo alta en densidad, pero la velocidad en dirección opuesta ahora será descrita por un número negativo. Una persona que observe la imagen especular dibujará el mismo gráfico de densidad, pero el gráfico de velocidad se volteará a través del\(x\) eje, y su región original de pendiente negativa ahora tendrá pendiente positiva. Aunque no conozco ninguna situación física que corresponda al reflejo de una onda de tráfico, podemos aplicar inmediatamente el mismo razonamiento a las ondas sonoras, que a menudo sí se reflejan, y determinar que una reflexión puede ser densidad-inversora y velocidad-ininversión o densidad-ininversión y inversión de velocidad.

j/En la imagen especular, las áreas de exceso de densidad de tráfico positiva siguen siendo positivas, pero todas las velocidades de los autos se han revertido, por lo que las áreas de exceso de velocidad positiva se han convertido en negativas.

Este mismo tipo de situación ocurrirá una y otra vez a medida que uno encuentre nuevos tipos de ondas, y para aplicar la analogía sólo necesitamos determinar qué cantidades, como la velocidad, se niegan en una imagen especular y cuáles, como la densidad, permanecen iguales.

Una onda de luz, por ejemplo, consiste en un patrón de desplazamiento de campos eléctricos y magnéticos. Todo lo que necesitas saber para analizar el reflejo de las ondas de luz es cómo se comportan los campos eléctricos y magnéticos bajo reflexión; no necesitas conocer ninguna de las físicas detalladas de la electricidad y el magnetismo. Un campo eléctrico se puede detectar, por ejemplo, por la forma en que el cabello se pone de punta. La dirección del cabello indica la dirección del campo eléctrico. En una imagen especular, el cabello apunta hacia otro lado, por lo que el campo eléctrico aparentemente se invierte en una imagen especular. El comportamiento de los campos magnéticos, sin embargo, es un poco complicado. Las propiedades magnéticas de una barra magnética, por ejemplo, son causadas por la rotación alineada de los electrones orbitantes más externos de los átomos. En una imagen especular, se invierte el sentido de rotación, digamos de sentido horario a antihorario, y así el campo magnético se invierte dos veces: una simplemente porque toda la imagen está volteada y otra por la rotación invertida de los electrones. En otras palabras, los campos magnéticos no se revierten en una imagen especular. Así podemos predecir que habrá dos posibles tipos de reflexión de ondas de luz. En una, el campo eléctrico está invertido y el campo magnético no invertido (ejemplo 23, p. 699). En el otro, el campo eléctrico no está invertido y el campo magnético invertido.

6.2.3 Efectos de interferencia

Si miras la parte frontal de un par de prismáticos de alta calidad, notarás un recubrimiento azul verdoso en las lentes. Esto se anuncia como un recubrimiento para evitar la reflexión. Ahora la reflexión es claramente indeseable —queremos que la luz vaya en los binoculares— pero hasta ahora he descrito la reflexión como un hecho inalterable de la naturaleza, dependiendo únicamente de las propiedades de los dos medios de onda. El recubrimiento no puede cambiar la velocidad de la luz en el aire o en el vidrio, entonces, ¿cómo puede funcionar? La clave es que el recubrimiento en sí es un medio de onda. En otras palabras, tenemos un sándwich de tres capas de materiales: aire, recubrimiento y vidrio. Analizaremos la forma en que funciona el recubrimiento, no porque los recubrimientos ópticos sean una parte importante de su educación sino porque proporciona un buen ejemplo del fenómeno general de los efectos de interferencia de ondas.

Hay dos interfaces diferentes entre los medios: un límite de recubrimiento de aire y un límite de vidrio de recubrimiento. La reflexión parcial y la transmisión parcial ocurrirán en cada límite. Para facilitar la visualización, comencemos considerando un sistema equivalente que consta de tres piezas diferentes de cuerda atadas entre sí, y un patrón de onda que consiste inicialmente en un solo pulso.

k/Un pulso encuentra dos límites.

La figura k/1 muestra el pulso incidente que se mueve a través de la cuerda pesada, en la que su velocidad es baja. Cuando se encuentra con la cuerda más ligera en el medio, un medio más rápido, se refleja parcialmente y se transmite parcialmente. (El pulso transmitido es más grande, pero sin embargo solo tiene una parte de la energía original). El pulso transmitido por la primera interfaz es luego parcialmente reflejado y transmitido parcialmente por el segundo límite, k/3. En la figura k/4, dos pulsos están en el camino de regreso a la izquierda, y un solo pulso se dirige hacia la derecha. (Todavía hay un pulso débil atrapado entre los dos límites, y esto sonará de un lado a otro, volviéndose rápidamente demasiado débil para detectarlo ya que filtra energía hacia el exterior con cada reflexión parcial).

Observe cómo, de los dos pulsos reflejados en k/4, uno está invertido y otro no invertido. Uno se sometió a reflexión en el primer límite (una reflexión de vuelta a un medio más lento no se invierte), pero la otra se reflejó en el segundo límite (la reflexión de nuevo en un medio más rápido se invierte).

Ahora imaginemos lo que hubiera pasado si el patrón de ondas entrantes hubiera sido un tren de ondas sinusoidales largas en lugar de un solo pulso. Las dos primeras ondas en resurgir a la izquierda podrían estar en fase, l /1, o fuera de fase, l /2, o en cualquier punto intermedio. La cantidad de retraso entre ellos depende completamente del ancho del segmento medio de la cadena. Si elegimos correctamente el ancho del segmento de cadena medio, entonces podemos organizar que se produzca una interferencia destructiva, l /2, con cancelación dando como resultado una onda reflejada muy débil.

l/Una onda sinusoidal se ha reflejado en dos límites diferentes, y las dos reflexiones interfieren.

Todo este análisis se aplica directamente a nuestro caso original de recubrimientos ópticos. La luz visible de la mayoría de las fuentes consiste en una corriente de trenes de onda sinusoidales cortos como los dibujados arriba. La única diferencia real entre el ejemplo de ondas sobre una cuerda y el caso de un recubrimiento óptico es que el primer y tercer medio son aire y vidrio, en los que la luz no tiene la misma velocidad. Sin embargo, el resultado general es el mismo siempre que el aire y el vidrio tengan velocidades de onda de luz que sean mayores que las del recubrimiento o ambas menores que las del recubrimiento.

El negocio de los recubrimientos ópticos resulta ser muy arcano, con una plétora de secretos comerciales y técnicas de “magia negra” transmitidas de maestro a aprendiz. Sin embargo, las ideas que has aprendido sobre las olas en general son suficientes para permitirte llegar a algunas conclusiones definitivas sin ningún conocimiento técnico adicional. Las preguntas de autoverificación y discusión te dirigirán a lo largo de estas líneas de pensamiento.

autocomprobación:

El color corresponde a la longitud de onda de ondas de luz. ¿Es posible elegir un grosor para un recubrimiento óptico que produzca interferencias destructivas para todos los colores de luz?

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

Este ejemplo fue típico de una amplia variedad de efectos de interferencia de onda. Con un poco de orientación, ya estás listo para descubrir por ti mismo otros ejemplos como el patrón arcoíris hecho por un disco compacto o por una capa de aceite sobre un charco.

Preguntas de Discusión

• ¿Es posible obtener una interferencia destructiva completa en un recubrimiento óptico, al menos para luz de una longitud de onda específica?

• La luz solar consiste en trenes de ondas sinusoidales que contienen del orden de cien ciclos seguidos, para una longitud de algo así como una décima de milímetro. ¿Qué pasa si intentas hacer un recubrimiento óptico más grueso que esto?

• Supongamos que toma dos portaobjetos de microscopio y se coloca uno encima del otro para que uno de sus bordes esté descansando sobre el borde correspondiente del inferior. Si insertas una astilla de papel o un pelo en el extremo opuesto, existirá una capa de aire en forma de cuña en el medio, con un grosor que cambia gradualmente de un extremo a otro. ¿Qué esperarías ver si las diapositivas estuvieran iluminadas desde arriba por luz de un solo color? ¿Cómo cambiaría esto si levantaras gradualmente el borde inferior de la diapositiva superior hasta que las dos diapositivas fueran finalmente paralelas?

• Una observación como la descrita en la pregunta C de discusión fue utilizada por Newton como evidencia contra la teoría de ondas de la luz! Si Newton no supiera de reflexiones inversoras y no inversoras, ¿qué le hubiera parecido inexplicable sobre la región donde la capa de aire tenía espesor cero o casi cero?

6.2.4 Ondas acotadas en ambos lados

En el ejemplo de la sección anterior, teóricamente era cierto que un pulso quedaría atrapado permanentemente en el medio medio, pero ese pulso no era central en nuestra discusión, y en todo caso se debilitaba severamente con cada reflexión parcial. Ahora considera una cuerda de guitarra. En sus extremos está atado al cuerpo del propio instrumento, y como el cuerpo es muy masivo, el comportamiento de las ondas cuando llegan al final de la cuerda se puede entender de la misma manera que si la cuerda de guitarra real estuviera unida en los extremos a cuerdas que eran extremadamente masivas. Las reflexiones son más intensas cuando los dos medios son muy disímiles. Debido a que la velocidad de las olas en el cuerpo es tan radicalmente diferente de la velocidad en la cuerda, deberíamos esperar casi el 100% de reflexión.

n/Modelamos una cuerda de guitarra unida al cuerpo de la guitarra en ambos extremos como una cuerda ligera unida a cuerdas extremadamente pesadas en sus extremos.

Si bien esto puede parecer un modelo físico bastante extraño de la cuerda de guitarra real, ya nos dice algo interesante sobre el comportamiento de una guitarra que de otro modo no hubiéramos entendido. El cuerpo, lejos de ser un marco pasivo para unir las cuerdas, es en realidad el camino de salida para la energía de las olas en las cuerdas. Con cada reflejo, el patrón de onda en la cuerda pierde una pequeña fracción de su energía, que luego se conduce a través del cuerpo y sale al aire. (La cuerda tiene muy poca sección transversal para hacer ondas sonoras de manera eficiente por sí misma). Al cambiar las propiedades del cuerpo, además, debemos esperar tener un efecto sobre la manera en que el sonido se escapa del instrumento. Esto lo demuestra claramente la guitarra eléctrica, que tiene un cuerpo de madera maciza extremadamente masivo. Aquí la disimilitud entre los dos medios de onda es aún más pronunciada, con el resultado de que la energía de las olas se escapa de la cuerda aún más lentamente. Es por esto que una guitarra eléctrica sin pastilla eléctrica difícilmente se puede escuchar en absoluto, y también es la razón por la que las notas en una guitarra eléctrica se pueden sostener por más tiempo que las notas en una guitarra acústica.

m / A pulse bounces back and forth.

If we initially create a disturbance on a guitar string, how will the reflections behave? In reality, the finger or pick will give the string a triangular shape before letting it go, and we may think of this triangular shape as a very broad “dent” in the string which will spread out in both directions. For simplicity, however, let's just imagine a wave pattern that initially consists of a single, narrow pulse traveling up the neck, m/1. After reflection from the top end, it is inverted, m/3. Now something interesting happens: figure m/5 is identical to figure m/1. After two reflections, the pulse has been inverted twice and has changed direction twice. It is now back where it started. The motion is periodic. This is why a guitar produces sounds that have a definite sensation of pitch.

self-check:

Notice that from m/1 to m/5, the pulse has passed by every point on the string exactly twice. This means that the total distance it has traveled equals 2 L, where L is the length of the string. Given this fact, what are the period and frequency of the sound it produces, expressed in terms of L and v, the velocity of the wave?

(answer in the back of the PDF version of the book)

Note that if the waves on the string obey the principle of superposition, then the velocity must be independent of amplitude, and the guitar will produce the same pitch regardless of whether it is played loudly or softly. In reality, waves on a string obey the principle of superposition approximately, but not exactly. The guitar, like just about any acoustic instrument, is a little out of tune when played loudly. (The effect is more pronounced for wind instruments than for strings, but wind players are able to compensate for it.)

p / Any wave can be made by superposing sine waves.

Now there is only one hole in our reasoning. Suppose we somehow arrange to have an initial setup consisting of two identical pulses heading toward each other, as in figure (o). They will pass through each other, undergo a single inverting reflection, and come back to a configuration in which their positions have been exactly interchanged. This means that the period of vibration is half as long. The frequency is twice as high.

o / The period of this double-pulse pattern is half of what we'd otherwise expect.

This might seem like a purely academic possibility, since nobody actually plays the guitar with two picks at once! But in fact it is an example of a very general fact about waves that are bounded on both sides. A mathematical theorem called Fourier's theorem states that any wave can be created by superposing sine waves. Figure p shows how even by using only four sine waves with appropriately chosen amplitudes, we can arrive at a sum which is a decent approximation to the realistic triangular shape of a guitar string being plucked. The one-hump wave, in which half a wavelength fits on the string, will behave like the single pulse we originally discussed. We call its frequency \(f_\text{o}\). The two-hump wave, with one whole wavelength, is very much like the two-pulse example. For the reasons discussed above, its frequency is \(2f_\text{o}\). Similarly, the three-hump and four-hump waves have frequencies of \(3f_\text{o}\) and \(4f_\text{o}\).

Theoretically we would need to add together infinitely many such wave patterns to describe the initial triangular shape of the string exactly, although the amplitudes required for the very high frequency parts would be very small, and an excellent approximation could be achieved with as few as ten waves.

We thus arrive at the following very general conclusion. Whenever a wave pattern exists in a medium bounded on both sides by media in which the wave speed is very different, the motion can be broken down into the motion of a (theoretically infinite) series of sine waves, with frequencies \(f_\text{o},\ 2f_\text{o},\ 3f_\text{o},\ ...\) Except for some technical details, to be discussed below, this analysis applies to a vast range of sound-producing systems, including the air column within the human vocal tract. Because sounds composed of this kind of pattern of frequencies are so common, our ear-brain system has evolved so as to perceive them as a single, fused sensation of tone.

Musical applications

Many musicians claim to be able to pick out by ear several of the frequencies \(2f_\text{o}\), \(3f_\text{o}\), ..., called overtones or harmonics of the fundamental \(f_\text{o}\), but they are kidding themselves. In reality, the overtone series has two important roles in music, neither of which depends on this fictitious ability to “hear out” the individual overtones.

s / Standing waves on a rope. (PSSC Physics.)

First, the relative strengths of the overtones is an important part of the personality of a sound, called its timbre (rhymes with “amber”). The characteristic tone of the brass instruments, for example, is a sound that starts out with a very strong harmonic series extending up to very high frequencies, but whose higher harmonics die down drastically as the attack changes to the sustained portion of the note.

q / Graphs of loudness versus frequency for the vowel “ah,” sung as three different musical notes. G is consonant with D, since every overtone of G that is close to an overtone of D (marked “*”) is at exactly the same frequency. G and C\(\sharp\) are dissonant together, since some of the overtones of G (marked “x”) are close to, but not right on top of, those of C\(\sharp\).

Second, although the ear cannot separate the individual harmonics of a single musical tone, it is very sensitive to clashes between the overtones of notes played simultaneously, i.e., in harmony. We tend to perceive a combination of notes as being dissonant if they have overtones that are close but not the same. Roughly speaking, strong overtones whose frequencies differ by more than 1% and less than 10% cause the notes to sound dissonant. It is important to realize that the term “dissonance” is not a negative one in music. No matter how long you search the radio dial, you will never hear more than three seconds of music without at least one dissonant combination of notes. Dissonance is a necessary ingredient in the creation of a musical cycle of tension and release. Musically knowledgeable people do not usually use the word “dissonant” as a criticism of music, and if they do, what they are really saying is that the dissonance has been used in a clumsy way, or without providing any contrast between dissonance and consonance.

r / If you take a sine wave and make a copy of it shifted over, their sum is still a sine wave. The same is not true for a square wave.

Standing waves

Figure s shows sinusoidal wave patterns made by shaking a rope. I used to enjoy doing this at the bank with the pens on chains, back in the days when people actually went to the bank. You might think that I and the person in the photos had to practice for a long time in order to get such nice sine waves. In fact, a sine wave is the only shape that can create this kind of wave pattern, called a standing wave, which simply vibrates back and forth in one place without moving. The sine wave just creates itself automatically when you find the right frequency, because no other shape is possible.

If you think about it, it's not even obvious that sine waves should be able to do this trick. After all, waves are supposed to travel at a set speed, aren't they? The speed isn't supposed to be zero! Well, we can actually think of a standing wave as a superposition of a moving sine wave with its own reflection, which is moving the opposite way. Sine waves have the unique mathematical property that the sum of sine waves of equal wavelength is simply a new sine wave with the same wavelength. As the two sine waves go back and forth, they always cancel perfectly at the ends, and their sum appears to stand still.

Standing wave patterns are rather important, since atoms are really standing-wave patterns of electron waves. You are a standing wave!

Standing-wave patterns of air columns

The air column inside a wind instrument behaves very much like the wave-on-a-string example we've been concentrating on so far, the main difference being that we may have either inverting or noninverting reflections at the ends.

Some organ pipes are closed at both ends. The speed of sound is different in metal than in air, so there is a strong reflection at the closed ends, and we can have standing waves. These reflections are both density-noninverting, so we get symmetric standing-wave patterns, such as the one shown in figure u/1.

u / Graphs of excess density versus position for the lowest-frequency standing waves of three types of air columns. Points on the axis have normal air density.

t / Surprisingly, sound waves undergo partial reflection at the open ends of tubes as well as closed ones.

Figure t shows the sound waves in and around a bamboo Japanese flute called a shakuhachi, which is open at both ends of the air column. We can only have a standing wave pattern if there are reflections at the ends, but that is very counterintuitive --- why is there any reflection at all, if the sound wave is free to emerge into open space, and there is no change in medium? Recall the reason why we got reflections at a change in medium: because the wavelength changes, so the wave has to readjust itself from one pattern to another, and the only way it can do that without developing a kink is if there is a reflection. Something similar is happening here. The only difference is that the wave is adjusting from being a plane wave to being a spherical wave. The reflections at the open ends are density-inverting, u/2, so the wave pattern is pinched off at the ends. Comparing panels 1 and 2 of the figure, we see that although the wave pattens are different, in both cases the wavelength is the same: in the lowest-frequency standing wave, half a wavelength fits inside the tube. Thus, it isn't necessary to memorize which type of reflection is inverting and which is inverting. It's only necessary to know that the tubes are symmetric.

v / A pan pipe is an asymmetric air column, open at the top and closed at the bottom.

Finally, we can have an asymmetric tube: closed at one end and open at the other. A common example is the pan pipes, v, which are closed at the bottom and open at the top. The standing wave with the lowest frequency is therefore one in which 1/4 of a wavelength fits along the length of the tube, as shown in figure u/3.

w / A concert flute looks like an asymmetric air column, open at the mouth end and closed at the other. However, its patterns of vibration are symmetric, because the embouchure hole acts like an open end.

Sometimes an instrument's physical appearance can be misleading. A concert flute, w, is closed at the mouth end and open at the other, so we would expect it to behave like an asymmetric air column; in reality, it behaves like a symmetric air column open at both ends, because the embouchure hole (the hole the player blows over) acts like an open end. The clarinet and the saxophone look similar, having a moutpiece and reed at one end and an open end at the other, but they act different. In fact the clarinet's air column has patterns of vibration that are asymmetric, the saxophone symmetric. The discrepancy comes from the difference between the conical tube of the sax and the cylindrical tube of the clarinet. The adjustment of the wave pattern from a plane wave to a spherical wave is more gradual at the flaring bell of the saxophone.

self-check:

Draw a graph of pressure versus position for the first overtone of the air column in a tube open at one end and closed at the other. This will be the next-to-longest possible wavelength that allows for a point of maximum vibration at one end and a point of no vibration at the other. How many times shorter will its wavelength be compared to the frequency of the lowest-frequency standing wave, shown in the figure? Based on this, how many times greater will its frequency be?

(answer in the back of the PDF version of the book)

Example 13: The speed of sound

We can get a rough and ready derivation of the equation for the speed of sound by analyzing the standing waves in a cylindrical air column as a special type of Helmholtz resonance (example 25 on page 332), in which the cavity happens to have the same cross-sectional area as the neck. Roughly speaking, the regions of maximum density variation act like the cavity. The regions of minimum density variation, on the other hand, are the places where the velocity of the air is varying the most; these regions throttle back the speed of the vibration, because of the inertia of the moving air. If the cylinder has cross-sectional area \(A\), then the “cavity” and “neck” parts of the wave both have lengths of something like \(\lambda/2\), and the volume of the “cavity” is about \(A\lambda/2\). We get \(v=f\lambda=(...)\sqrt{\gamma P_\text{o}/\rho}\), where the factor \((...)\) represents numerical stuff that we can't possibly hope to have gotten right with such a crude argument. The correct result is in fact \(v=\sqrt{\gamma P_\text{o}/\rho}\). Isaac Newton attempted the same calculation, but didn't understand the thermodynamic effects involved, and therefore got a result that didn't have the correct factor of \(\sqrt{\gamma}\).

Contributors and Attributions

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