14.2: La luz como una partícula

Lo único que interfiere con mi aprendizaje es mi educación. — Albert Einstein

La radiactividad es aleatoria, pero ¿las leyes de la física exhiben aleatoriedad en otros contextos además de la radiactividad? Sí. La desintegración radiactiva no fue más que un buen parque infantil para comenzar con conceptos de aleatoriedad, porque todos los átomos de un isótopo dado son idénticos. Al abastecer el parque infantil con un suministro ilimitado de juguetes átomos idénticos, la naturaleza nos ayudó a darnos cuenta de que su comportamiento futuro podría ser diferente independientemente de su identicalidad original. Ahora estamos listos para dejar el corralito, y ver cómo la aleatoriedad encaja en la estructura de la física en el nivel más fundamental.

Las leyes de la física describen la luz y la materia, y la revolución cuántica reescribió ambas descripciones. La radiactividad fue un buen ejemplo del comportamiento de la materia de una manera inconsistente con la física clásica, pero si queremos meternos bajo el capó y entender cómo suceden las cosas no clásicas, será más fácil enfocarnos en la luz que en la materia. Un átomo radiactivo como el uranio-235 es después de todo un sistema extremadamente complejo, que consta de 92 protones, 143 neutrones y 92 electrones. La luz, sin embargo, puede ser una simple onda sinusoidal.

Por muy exitosa que hubiera sido la teoría clásica de ondas de la luz —permitiendo la creación de radio y radar, por ejemplo—, todavía no pudo describir muchos fenómenos importantes. Un ejemplo que actualmente es de gran interés es la forma en que la capa de ozono nos protege de la peligrosa parte ultravioleta de longitud de onda corta del espectro solar. En la descripción clásica, la luz es una onda. Cuando una onda entra y vuelve a salir de un medio, su frecuencia no cambia, y aunque su longitud de onda se altera mientras está en el medio, vuelve a su valor original cuando la onda resurge. Por suerte para nosotros, esto no es en absoluto lo que hace la luz ultravioleta cuando pasa a través de la capa de ozono, ¡o la capa no ofrecería ninguna protección en absoluto!

13.2.1 Evidencia de luz como partícula

Durante mucho tiempo, los físicos trataron de explicar los problemas con la teoría clásica de la luz como derivados de una comprensión imperfecta de los átomos y la interacción de la luz con átomos y moléculas individuales. La paradoja del ozono, por ejemplo, podría haberse atribuido a la suposición incorrecta de que se podría pensar en la capa de ozono como una sustancia suave y continua, cuando en realidad estaba hecha de moléculas de ozono individuales. No fue hasta 1905 que Albert Einstein tiró el guante, proponiendo que el problema no tenía nada que ver con los detalles de la interacción de la luz con los átomos y todo que ver con la naturaleza fundamental de la luz misma.

a/Imágenes de cámara digital de dimmer y dimmer fuentes de luz. Los puntos son registros de fotones individuales.

En aquellos días los datos eran incompletos, las ideas vagas y los experimentos difíciles de interpretar; se necesitó un genio como Einstein para atravesar la espesura de la confusión y encontrar una solución simple. Hoy, sin embargo, podemos llegar directo al meollo del asunto con una pieza de electrónica de consumo común, la cámara digital. En lugar de película, una cámara digital tiene un chip de computadora con su superficie dividida en una cuadrícula de cuadrados sensibles a la luz, llamados “píxeles”. En comparación con un grano del compuesto de plata utilizado para hacer película fotográfica regular, un píxel de cámara digital se activa por una cantidad de energía luminosa de órdenes de magnitud menor. Podemos aprender algo nuevo sobre la luz usando una cámara digital para detectar cantidades cada vez más pequeñas de luz, como se muestra en la figura a. La figura a /1 es falsa, pero a /2 y a /3 son imágenes reales de cámara digital hechas por el profesor Lyman Page de la Universidad de Princeton como demostración en el aula. La figura a /1 es lo que veríamos si usáramos la cámara digital para tomar una foto de una fuente de luz bastante tenue. En las figuras a /2 y a /3, la intensidad de la luz se redujo drásticamente al insertar absorbentes semitransparentes como el plástico tintado utilizado en las gafas de sol. Al pasar de una /1 a una /2 a una /3, cada vez más energía luminosa está siendo desechada por los absorbedores.

b/Una onda es absorbida parcialmente.

Los resultados son drásticamente diferentes de lo que esperaríamos con base en la teoría de ondas de la luz. Si la luz fuera una onda y nada más que una onda, b, entonces los absorbedores simplemente reducirían la amplitud de la onda a través de todo el frente de onda. Todo el chip de la cámara digital se iluminaría de manera uniforme, y debilitar la onda con un absorbedor solo significaría que cada píxel tardaría mucho en absorber suficiente energía para registrar una señal.

c/Una corriente de partículas se absorbe parcialmente.

Pero las cifras a /2 y a /3 muestran que algunos píxeles reciben golpes fuertes mientras que otros no captan energía en absoluto. En lugar de la imagen de onda, la imagen que naturalmente es evocada por los datos es algo más como una lluvia de balas de una ametralladora, c. Cada “bala” de luz aparentemente lleva solo una pequeña cantidad de energía, razón por la cual detectarlas individualmente requiere una cámara digital sensible en lugar de un ojo o un trozo de película.

Aunque Einstein estaba interpretando diferentes observaciones, esta es la conclusión a la que llegó en su artículo de 1905: que la teoría de onda pura de la luz es una simplificación excesiva, y que la energía de un haz de luz viene en trozos finitos en lugar de extenderse suavemente por una región del espacio.

Ahora pensamos en estos trozos como partículas de luz, y los llamamos “fotones”, aunque Einstein evitó la palabra “partícula”, y la palabra “fotón” se inventó más tarde. Independientemente de las palabras, el problema era que las ondas y las partículas parecían categorías inconsistentes. La reacción al artículo de Einstein podría describirse amablemente como vigorosamente escéptica. Incluso veinte años después, Einstein escribió: “Por lo tanto, ahora hay dos teorías de la luz, ambas indispensables, y —como hay que admitir hoy a pesar de veinte años de tremendo esfuerzo por parte de los físicos teóricos— sin ninguna conexión lógica”. En lo que resta de este capítulo aprenderemos cómo finalmente se resolvió la aparente paradoja.

d/Einstein y Seurat: ¿gemelos separados al nacer? Sena Grande Jatte de Georges Seurat (siglo XIX).

Preguntas de Discusión

◊ Supongamos que alguien rechaza los datos de la cámara digital en la figura a, alegando que el patrón aleatorio de puntos ocurre no por nada fundamental sobre la naturaleza de la luz sino simplemente porque los píxeles de la cámara no son todos exactamente iguales —algunos son simplemente más sensibles que otros. ¿Cómo podríamos probar esta interpretación?

◊ Discutir cómo se aplica el principio de correspondencia a las observaciones y conceptos discutidos en esta sección.

13.2.2 ¿Cuánta luz es un fotón?

El efecto fotoeléctrico

Hemos visto evidencias de que la energía luminosa viene en pequeños trozos, por lo que la siguiente pregunta que se debe hacer es naturalmente cuánta energía hay en un trozo. La vía experimental más directa para abordar esta cuestión es un fenómeno conocido como el efecto fotoeléctrico. El efecto fotoeléctrico ocurre cuando un fotón golpea la superficie de un objeto sólido y noquea un electrón. Ocurre continuamente a tu alrededor. Está sucediendo ahora mismo en la superficie de tu piel y en la pantalla de papel o computadora desde la que estás leyendo estas palabras. Normalmente no conduce a ningún efecto eléctrico observable, sin embargo, porque en promedio los electrones libres están vagando de regreso con la misma frecuencia que están siendo expulsados. (Si un objeto perdiera de alguna manera un número significativo de electrones, su creciente carga positiva neta comenzaría a atraer a los electrones de nuevo cada vez más fuertemente).

e/Aparato para observar el efecto fotoeléctrico. Un haz de luz golpea una placa de condensador dentro de un tubo de vacío, y los electrones son expulsados (flechas negras).

La Figura e muestra un método práctico para detectar el efecto fotoeléctrico. Dos placas de metal paralelas muy limpias (los electrodos de un condensador) están selladas dentro de un tubo de vacío, y solo una placa está expuesta a la luz. Debido a que existe un buen vacío entre las placas, cualquier electrón expulsado que pase a dirigirse en la dirección correcta casi seguramente llegará a la otra placa del condensador sin chocar con ninguna molécula de aire.

La placa iluminada (inferior) se deja con una carga positiva neta, y la placa no iluminada (superior) adquiere una carga negativa de los electrones depositados sobre ella. Existe así un campo eléctrico entre las placas, y es por este campo que los caminos de los electrones son curvos, como se muestra en el diagrama. Sin embargo, dado que el vacío es un buen aislante, se evita que cualquier electrón que llegue a la placa superior responda a la atracción eléctrica saltando de nuevo a través del hueco. En cambio se ven obligados a recorrer el circuito, pasando por un amperímetro. El amperímetro permite una medición de la fuerza del efecto fotoeléctrico.

Una dependencia inesperada de la frecuencia

El efecto fotoeléctrico fue descubierto fortuitamente por Heinrich Hertz en 1887, mientras experimentaba con ondas de radio. No estaba particularmente interesado en el fenómeno, pero sí notó que el efecto fue producido fuertemente por la luz ultravioleta y más débilmente por frecuencias más bajas. La luz cuya frecuencia era inferior a cierto valor crítico no expulsó ningún electrón en absoluto. (De hecho, todo esto fue previo al descubrimiento del electrón por parte de Thomson, por lo que Hertz no habría descrito el efecto en términos de electrones — estamos discutiendo todo con el beneficio de la retrospectiva). Esta dependencia de la frecuencia no tenía ningún sentido en términos de la teoría clásica de ondas de la luz. Una onda de luz consiste en campos eléctricos y magnéticos. Cuanto más fuertes sean los campos, es decir, cuanto mayor sea la amplitud de la onda, mayores serán las fuerzas que se ejercerían sobre los electrones que se encontraban bañados en la luz. Debería haber sido la amplitud (brillo) lo que fue relevante, no la frecuencia. La dependencia de la frecuencia no sólo demuestra que el modelo de onda de la luz necesita ser modificado, sino que con la interpretación adecuada nos permite determinar cuánta energía hay en un fotón, y también conduce a una conexión entre los modelos de onda y partículas que necesitamos para conciliarlos.

Para hacer algún progreso, necesitamos considerar el proceso físico por el cual un fotón expulsaría un electrón del electrodo metálico. Un metal contiene electrones que son libres de moverse. Ordinariamente, en el interior del metal, tal electrón siente fuerzas atractivas de los átomos en todas las direcciones que lo rodean. Las fuerzas cancelan. Pero si el electrón pasa a encontrarse en la superficie del metal, la atracción desde el lado interior no se equilibra con ninguna atracción del exterior. Al salir a través de la superficie el electrón pierde por lo tanto cierta cantidad de energía\(E_s\), que depende del tipo de metal utilizado.

f/El hámster en su bola de hámster es como un electrón que emerge del metal (suelo de baldosas de cocina) hacia el vacío circundante (piso de madera). El piso de madera es más alto que el suelo de baldosas, por lo que a medida que enrolla el escalón, el hámster perderá cierta cantidad de energía cinética, análoga a\(E_s\). Si su energía cinética es demasiado pequeña, ni siquiera lo hará subir el escalón.

Supongamos que un fotón golpea un electrón, aniquilándose a sí mismo y entregando toda su energía al electrón. (Ahora sabemos que esto es lo que siempre sucede en el efecto fotoeléctrico, aunque aún no se había establecido en 1905 si el fotón estaba completamente aniquilado o no). El electrón (1) perderá energía cinética a través de colisiones con otros electrones a medida que atraviesa el metal en su camino hacia la superficie; (2) perderá una cantidad de energía cinética igual a\(E_s\) como emerge a través de la superficie; y (3) perderá más energía en su camino a través del hueco entre las placas, debido a la campo eléctrico entre las placas. Incluso si el electrón pasa a estar justo en la superficie del metal cuando absorbe el fotón, e incluso si el campo eléctrico entre las placas aún no se ha acumulado mucho,\(E_s\) es la cantidad mínima desnuda de energía que debe recibir del fotón si va a contribuir a una corriente medible. La razón para usar electrodos muy limpios es minimizar\(E_s\) y hacer que tenga un valor definido característico de la superficie metálica, no una mezcla de valores debido a los diversos tipos de suciedad y suciedad que están presentes en pequeñas cantidades en todas las superficies en la vida cotidiana.

Ahora podemos interpretar la dependencia de frecuencia del efecto fotoeléctrico de una manera sencilla: aparentemente la cantidad de energía que posee un fotón está relacionada con su frecuencia. Un fotón rojo o infrarrojo de baja frecuencia tiene una energía menor que\(E_s\), por lo que un haz de ellos no producirá ninguna corriente. Un fotón azul o violeta de alta frecuencia, por otro lado, embala suficiente punzón para permitir que un electrón llegue a la otra placa. A frecuencias superiores a la mínima, la corriente fotoeléctrica continúa aumentando con la frecuencia de la luz debido a los efectos (1) y (3).

Relación numérica entre energía y frecuencia

Impulsado por el papel fotónico de Einstein, Robert Millikan (a quien nos encontramos por primera vez en el capítulo 8) descubrió cómo usar el efecto fotoeléctrico para sondear con precisión el vínculo entre la frecuencia y la energía fotónica. En lugar de entrar en los detalles históricos de los experimentos reales de Millikan (un extenso programa experimental que ocupó gran parte de su carrera profesional) describiremos una versión simple, mostrada en la figura g, que se utiliza a veces en cursos universitarios de laboratorio. ² La idea es simplemente iluminar una placa del tubo de vacío con luz de una sola longitud de onda y monitorear la diferencia de voltaje entre las dos placas a medida que se cargan. Dado que la resistencia de un voltímetro es muy alta (mucho mayor que la resistencia de un amperímetro), podemos suponer a una buena aproximación que los electrones que llegan a la placa superior están pegados ahí permanentemente, por lo que el voltaje seguirá aumentando mientras los electrones lo estén haciendo a través del tubo de vacío.

g/Una forma diferente de estudiar el efecto fotoeléctrico.

En un momento en que la diferencia de voltaje ha alcanzado un valor\(\Delta \) V, la energía mínima requerida por un electrón para salir de la placa inferior y a través del hueco a la otra placa es\(E_s+e\Delta \) V. A medida que\(\Delta V\) aumenta, eventualmente llegamos a un punto en el que\(E_s+e\Delta V\) es igual a la energía de un fotón. No más electrones pueden cruzar la brecha, y la lectura en el voltímetro deja de subir. La cantidad\(E_s+e\Delta V\) ahora nos dice la energía de un fotón. Si determinamos esta energía para una variedad de longitudes de onda, h, encontramos la siguiente relación simple entre la energía de un fotón y la frecuencia de la luz:

\[\begin{equation*} E = hf , \end{equation*}\]

donde\(h\) es una constante con el valor\(6.63\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}\). Observe cómo la ecuación lleva los modelos de onda y partículas de luz bajo un mismo techo: el lado izquierdo es la energía de una partícula de luz, mientras que el lado derecho es la frecuencia de la misma luz, interpretada como una onda. La constante\(h\) se conoce como la constante de Planck, por razones históricas explicadas en la nota al pie de página que comienza en la página anterior.

h/La cantidad\(E_s+e\Delta V\) indica la energía de un fotón. Se encuentra que es proporcional a la frecuencia de la luz.

autocomprobación:

¿Cómo extraerías\(h\) de la gráfica en la figura h? ¿Y si ni siquiera lo supieras de\(E_s\) antemano, y solo pudieras graficar\(e\Delta V\) versus\(f\)?

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

Como la energía de un fotón es\(hf\), un haz de luz sólo puede tener energías de\(hf\)\(2hf\),\(3hf\),, etc. Su energía se cuantifica —no existe tal cosa como una fracción de un fotón. La física cuántica recibe su nombre por el hecho de que cuantifica cantidades como energía, impulso e impulso angular que anteriormente se había pensado que eran suaves, continuas e infinitamente divisibles.

Ejemplo 7: Número de fotones emitidos por una bombilla por segundo

\(\triangleright\)¿Aproximadamente cuántos fotones emite una bombilla de 100 W en 1 segundo? \(\triangleright\)La gente tiende a recordar longitudes de onda en lugar de frecuencias para la luz visible. La bombilla emite fotones con un rango de frecuencias y longitudes de onda, pero tomemos 600 nm como longitud de onda típica para fines de estimación. La energía de un solo fotón es \[\begin{align*} E_{photon} &= hf \\ &= hc/\lambda \end{align*}\] Una potencia de 100 W significa 100 julios por segundo, por lo que el número de fotones es \[\begin{align*} (100\ \text{J})/E_{photon} &= (100\ \text{J}) / (hc/\lambda ) \\ &\approx 3\times10^{20} \end{align*}\] Esta inmensidad de este número es congruente con el principio de correspondencia. Los experimentos que establecieron la teoría clásica de la óptica no se equivocaron. Tenían razón, dentro de su dominio de aplicabilidad, en el que el número de fotones era tan grande como para ser indistinguible de un haz continuo.

Ejemplo 8: Medición de la ola

Cuando los surfistas están afuera en el agua esperando su oportunidad de atrapar una ola, están interesados tanto en la altura de las olas como en cuándo van a llegar las olas. Es decir, observan tanto la amplitud como la fase de las olas, y no les importa que el agua sea granular a nivel molecular. El principio de correspondencia requiere que seamos capaces de hacer lo mismo para las ondas electromagnéticas, ya que la teoría clásica de la electricidad y el magnetismo fue toda declarada y verificada experimentalmente en términos de los campos\(\mathbf{E}\) y\(\mathbf{B}\), que son la amplitud de una onda electromagnética. La fase también es necesaria, ya que los efectos de inducción predichos por la ecuación de Maxwell voltearían sus signos dependiendo de si un campo oscilante está en su camino hacia arriba o en su camino hacia abajo. Esta es una aplicación más exigente del principio de correspondencia que la del ejemplo 7, ya que las amplitudes y fases constituyen información más detallada que la intensidad general de un haz de luz. Las mediciones del globo ocular no pueden detectar este tipo de información, ya que el ojo es mucho mayor que una longitud de onda, pero por ejemplo un receptor de radio AM puede hacerlo con ondas de radio, ya que la longitud de onda para una estación a 1000 kHz es de unos 300 metros, que es mucho mayor que la antena. El principio de correspondencia exige que podamos explicar esto en términos de la teoría de los fotones, y esto requiere no sólo que tengamos una gran cantidad de fotones emitidos por el transmisor por segundo, como en el ejemplo 7, sino que incluso en el momento en que se extiendan y lleguen a la antena receptora, debería haber muchos fotones superpuestos entre sí dentro de un espacio de una longitud de onda cúbica. El problema 47 en la p. 903 verifica que el número es de hecho extremadamente grande.

Ejemplo 9: Momentum de un fotón

\(\triangleright\)Según la teoría de la relatividad, el impulso de un haz de luz viene dado por\(p=E/c\). Aplica esto para encontrar el impulso de un solo fotón en términos de su frecuencia, y en términos de su longitud de onda. \(\triangleright\)Combinando las ecuaciones\(p=E/c\) y\(E=hf\), encontramos \[\begin{align*} p &= E/c \\ &= \frac{h}{c}f . \end{align*}\] Para reexpresar esto en términos de longitud de onda, utilizamos\(c=f\lambda \): \[\begin{align*} p &= \frac{h}{c}\cdot\frac{c}{\lambda} \\ &= \frac{h}{\lambda} \end{align*}\] La segunda forma resulta ser más sencilla.

Preguntas de Discusión

◊ El efecto fotoeléctrico solo expulsa un porcentaje muy pequeño de los electrones disponibles cerca de la superficie de un objeto. ¿Qué tan bien concuerda esto con el modelo de onda de la luz, y qué tan bien con el modelo de partículas? Considere las dos escalas de distancia diferentes involucradas: la longitud de onda de la luz, y el tamaño de un átomo, que es del orden de\(10^{-10}\) o\(10^{-9}\) m.

◊ ¿Cuál es el significado del hecho de que la constante de Planck sea numéricamente muy pequeña? ¿Cómo sería diferente nuestra experiencia cotidiana de la luz si no fuera tan pequeña?

◊ ¿Cómo afectarían los experimentos descritos anteriormente si un solo electrón pudiera ser alcanzado por más de un fotón?

◊ Dibujar algunas trayectorias representativas de electrones para\(\Delta V=0\),\(\Delta V\) menor que el valor máximo, y\(\Delta V\) mayor que el valor máximo.

◊ Explicar con base en la teoría fotónica de la luz por qué la luz ultravioleta sería más probable que la luz visible o infrarroja de causar cáncer al dañar las moléculas de ADN. ¿Cómo se relaciona esto con la pregunta de discusión C?

◊ ¿\(E=hf\)Implica que un fotón cambia su energía cuando pasa de un material transparente a otra sustancia con un índice de refracción diferente?

13.2.3 Dualidad onda-partícula

¿Cómo puede la luz ser tanto una partícula como una onda? Ahora estamos listos para resolver esta aparente contradicción. A menudo en la ciencia cuando algo parece paradójico, es porque (1) no definimos nuestros términos cuidadosamente, o (2) no probamos nuestras ideas contra ninguna situación específica del mundo real. Definamos partículas y ondas de la siguiente manera:

• Las ondas exhiben superposición, y específicamente fenómenos de interferencia.
• Las partículas solo pueden existir en números enteros, no en fracciones.

Como un control del mundo real sobre nuestra filosofación, hay un experimento en particular que funciona perfectamente. Establecimos un experimento de interferencia de doble rendija que sabemos que producirá un patrón de difracción si la luz es una onda honesta a la bondad, pero detectamos la luz con un detector que es capaz de detectar fotones individuales, por ejemplo, una cámara digital. Para que sea posible seleccionar puntos individuales debido a fotones individuales, debemos usar filtros para reducir la intensidad de la luz a un nivel muy bajo, al igual que en las fotos del Prof. Page on p. 837. Todo está sellado dentro de una caja hermética a la luz. Los resultados se muestran en la figura i. (De hecho, las cifras similares en la página 837 son simplemente recortes de estas cifras).

i/Patrones de interferencia de onda fotografiados por el Prof. Lyman Page con una cámara digital. La luz láser con una sola longitud de onda bien definida pasó a través de una serie de absorbentes para reducir su intensidad, luego a través de un conjunto de ranuras para producir interferencia, y finalmente a un chip de cámara digital. (En realidad se utilizó una triple hendidura, pero por simplicidad conceptual discutimos los resultados en el texto principal como si se tratara de una hendidura doble). En el panel 2 la intensidad se ha reducido con relación a 1, y más aún para el panel 3.

Ni la teoría de onda pura ni la teoría de partículas puras pueden explicar los resultados. Si la luz fuera sólo una partícula y no una onda, no habría efecto de interferencia. El resultado del experimento sería como disparar una lluvia de balas a través de una doble rendija, j. Sólo se golpearían dos spots directamente detrás de las rendijas.

j/Las balas pasan por una doble rendija.

Si, por otro lado, la luz fuera solo una onda y no una partícula, obtendríamos el mismo tipo de patrón de difracción que sucedería con una ola de agua, k. No habría puntos discretos en la foto, solo un patrón de difracción que sombreaba suavemente entre la luz y la oscuridad.

k/Una ola de agua pasa a través de una doble rendija.

Aplicando las definiciones a este experimento, la luz debe ser tanto una partícula como una onda. Es una onda porque exhibe efectos de interferencia. Al mismo tiempo, el hecho de que las fotografías contengan puntos discretos es una demostración directa de que la luz se niega a dividirse en unidades de menos de un solo fotón. Sólo puede haber números enteros de fotones: cuatro fotones en la figura i /3, por ejemplo.

Una interpretación equivocada: los fotones interfiriendo entre sí

Una posible interpretación de la dualidad onda-partícula que se le ocurrió a los físicos al principio del juego fue que quizás los efectos de interferencia provenían de fotones que interactuaban entre sí. Por analogía, una ola de agua consiste en mover moléculas de agua, y la interferencia de las olas de agua resulta en última instancia de todos los empujones y tirones mutuos de las moléculas. Esta interpretación fue desmentida de manera concluyente por G.I. Taylor, estudiante de Cambridge. La demostración del Prof. Page que acabamos de discutir es esencialmente una versión modernizada de la obra de Taylor. Taylor razonó que si los efectos de interferencia provenían de fotones que interactúan entre sí, un mínimo de dos fotones tendrían que estar presentes al mismo tiempo para producir interferencia. Al hacer que la fuente de luz sea extremadamente tenue, podemos estar prácticamente seguros de que nunca hay dos fotones en la caja al mismo tiempo. En la figura i /3, sin embargo, la intensidad de la luz ha sido tan reducida por los absorbentes que si estuviera a la intemperie, ¡la separación promedio entre fotones sería del orden de un kilómetro! En cualquier momento dado, el número de fotones en la caja es más probable que sea cero. Es prácticamente seguro que nunca hubo dos fotones en la caja a la vez.

l/Un solo fotón puede pasar por ambas rendijas.

El concepto de trayectoria de un fotón es indefinido.

Si un solo fotón puede demostrar interferencia de doble rendija, ¿entonces por qué hendidura pasó? ¡La respuesta inevitable debe ser que pase por ambos! Esto puede no parecer tan extraño si pensamos en el fotón como una onda, pero es altamente contradictorio si tratamos de visualizarlo como una partícula. La moraleja es que no debemos pensar en términos del camino de un fotón. Al igual que el Jesús completamente humano y completamente divino de la teología cristiana, se supone que un fotón es 100% onda y 100% partícula. Si un fotón tuviera una trayectoria bien definida, entonces no demostraría superposición de onda y efectos de interferencia, contradiciendo su naturaleza ondulatoria. (En la subsección 13.3.4 discutiremos el principio de incertidumbre de Heisenberg, que da una forma numérica de abordar este tema).

Otra interpretación equivocada: la hipótesis de la onda piloto

Una segunda posible explicación de la dualidad onda-partícula se tomó en serio en la historia temprana de la mecánica cuántica. ¿Y si la partícula fotónica es como un surfista montando encima de su ola acompañante? A medida que la ola viaja, la partícula es empujada, o “pilotada” por ella. Imaginar la partícula y la onda como dos entidades separadas nos permite evitar la idea aparentemente paradójica de que un fotón es a la vez. La ola felizmente hace sus trucos de onda, como superposición e interferencia, y la partícula actúa como una partícula respetable, negándose resueltamente a estar en dos lugares diferentes a la vez. Si la onda, por ejemplo, sufre interferencias destructivas, llegando a ser casi cero en una región particular del espacio, entonces la partícula simplemente no es guiada a esa región.

El problema con la interpretación de la onda piloto es que la única manera de probarla o verificarla experimentalmente es si alguien logra separar la partícula de la onda, y demostrar que realmente hay dos entidades involucradas, no solo una. Parte del método científico es que se supone que las hipótesis son probables experimentalmente. Como nunca nadie ha logrado separar la parte ondulada de un fotón de la parte de partícula, la interpretación no es útil ni significativa en un sentido científico.

La interpretación de probabilidad

La interpretación correcta de la dualidad onda-partícula se sugiere por la naturaleza aleatoria del experimento que hemos estado discutiendo: aunque cada onda/partícula de fotones se prepara y libera de la misma manera, la ubicación en la que finalmente es detectada por la cámara digital es diferente cada vez. La idea de la interpretación de probabilidad de la dualidad onda-partícula es que la ubicación de la partícula fotón es aleatoria, pero la probabilidad de que se encuentre en una ubicación determinada es mayor donde la amplitud de la onda fotónica es mayor.

Más específicamente, la distribución de probabilidad de la partícula debe ser proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda,

\[\begin{equation*} (\text{probability distribution}) \propto (\text{amplitude})^2 . \end{equation*}\]

Esto se desprende del principio de correspondencia y del hecho de que la densidad de energía de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud. Si ejecutamos el experimento de doble hendidura durante el tiempo suficiente, el patrón de puntos se rellena y se vuelve muy suave como se habría esperado en la física clásica. Para preservar la correspondencia entre la física clásica y la cuántica, la cantidad de energía depositada en una región dada de la imagen a largo plazo debe ser proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. La cantidad de energía depositada en un área determinada depende del número de fotones captados, lo cual es proporcional a la probabilidad de encontrar allí algún fotón dado.

Ejemplo 10: Un horno microondas

\(\triangleright\)La figura muestra representaciones bidimensionales (arriba) y unidimensionales (abajo) de la onda estacionaria dentro de un horno de microondas. El gris representa el campo cero, y el blanco y el negro significan los campos más fuertes, siendo el blanco un campo que está en la dirección opuesta en comparación con el negro. Compare las probabilidades de detectar un fotón de microondas en los puntos A, B y C. m/Ejemplo 10. \(\triangleright\)A y C son ambos extremos de la onda, por lo que las probabilidades de detectar un fotón en A y C son iguales. No importa que hayamos representado C como negativo y A como positivo, porque es el cuadrado de la amplitud lo que es relevante. La amplitud en B es aproximadamente 1/2 tanto como las demás, por lo que la probabilidad de detectar un fotón ahí es de aproximadamente 1/4 más.

La interpretación de probabilidad fue perturbadora para los físicos que habían pasado sus carreras anteriores trabajando en el mundo determinista de la física clásica, e irónicamente las objeciones más extenuantes en su contra las planteó Einstein, quien había inventado el concepto de fotones en primer lugar. Sin embargo, la interpretación de probabilidad ha superado todas las pruebas experimentales, y ahora está tan bien establecida como cualquier parte de la física.

Un aspecto de la interpretación de probabilidad que ha hecho que muchas personas se sientan incómodos es que el proceso de detectar y registrar la posición del fotón parece tener una capacidad mágica para deshacerse del lado ondulante de la personalidad del fotón y obligarlo a decidir de una vez por todas dónde quiere estar realmente. Pero la detección o medición es después de todo sólo un proceso físico como cualquier otro, regido por las mismas leyes de la física. Pospondremos una discusión detallada de este tema hasta la p. 864, ya que un dispositivo de medición como una cámara digital está hecho de materia, pero hasta ahora solo hemos discutido cómo la mecánica cuántica se relaciona con la luz.

Ejemplo 11: ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

\(\triangleright\)¿Cuál es la constante de proporcionalidad que haría una ecuación real a partir de\((\text{probability distribution})\propto(\text{amplitude})^2\)? \(\triangleright\)La probabilidad de que el fotón se encuentre en cierta pequeña región de volumen\(v\) debería ser igual a la fracción de la energía de la onda que se encuentra dentro de ese volumen. Para una onda sinusoidal, que tiene una frecuencia única y bien definida\(f\), esto da \[\begin{align*} P &= \frac{\text{energy in volume $v$}}{\text{energy of photon}} \\ &= \frac{\text{energy in volume $v$}}{hf} . \end{align*}\] Asumimos que\(v\) es lo suficientemente pequeño como para que los campos eléctricos y magnéticos sean casi constantes a lo largo de él. Entonces tenemos \[\begin{equation*} P = \frac{\left(\frac{1}{8\pi k}|\mathbf{E}|^2 +\frac{c^2}{8\pi k}|\mathbf{B}|^2\right)v}{hf} . \end{equation*}\] Podemos simplificar esta formidable expresión mirando reconociendo que en una onda plana,\(|\mathbf{E}|\) y\(|\mathbf{B}|\) están relacionados por\(|\mathbf{E}|=c|\mathbf{B}|\). Esto implica (problema 40, p. 725), que los campos eléctrico y magnético aportan cada uno la mitad de la energía total, por lo que podemos simplificar el resultado para \[\begin{align*} P &= 2\frac{\left(\frac{1}{8\pi k}|\mathbf{E}|^2\right)v}{hf} \\ &= \frac{v}{4\pi khf}|\mathbf{E}|^2 . \end{align*}\] La probabilidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, como se anuncia. ^3

Preguntas de Discusión

◊ Refiriéndose de nuevo al ejemplo de la zanahoria en el horno microondas, mostrar que sería absurdo tener probabilidad proporcional al campo mismo, más que al cuadrado del campo.

◊ Einstein no intentó conciliar las teorías de onda y partículas de la luz, y no dijo mucho sobre su aparente inconsistencia. Einstein básicamente visualizó un haz de luz como una corriente de balas provenientes de una ametralladora. En el efecto fotoeléctrico, una “bala” fotónica sólo golpearía un átomo, así como una bala real sólo golpearía a una persona. Supongamos que alguien que lee su artículo de 1905 quisiera interpretarlo diciendo que las llamadas partículas de luz de Einstein son simplemente trenes de onda cortos que solo ocupan una pequeña región del espacio. Al comparar la longitud de onda de la luz visible (unos pocos cientos de nm) con el tamaño de un átomo (del orden de 0.1 nm), se explica por qué esto plantea una dificultad para conciliar las teorías de partículas y ondas.

◊ ¿Puede existir un fotón blanco?

◊ En la difracción de fotones de doble hendidura, ¿obtendrías el mismo patrón de puntos en la imagen de la cámara digital si cubrieras una hendidura? ¿Por qué debería importar si le das al fotón dos opciones o solo una?

13.2.4 Fotones en tres dimensiones

Hasta ahora he sido astuto y evité una discusión completa de los aspectos tridimensionales de la interpretación de probabilidad. El ejemplo de la zanahoria en el horno microondas, por ejemplo, se redujo a una situación unidimensional porque estábamos considerando tres puntos a lo largo de la misma línea y porque solo estábamos comparando proporciones de probabilidades. El propósito de sacarlo a colación ahora es evitar cualquier sentimiento de que te hayan engañado conceptualmente más que prepararte para la resolución matemática de problemas en tres dimensiones, lo que no sería apropiado para el nivel de este curso.

Un ejemplo típico de una distribución de probabilidad en la sección 13.1 fue la distribución de alturas de los seres humanos. Lo que variaba aleatoriamente, altura,\(h\), tenía unidades de metros, y la distribución de probabilidad era una gráfica de una función\(D(h)\). Las unidades de la distribución de probabilidad tenían que ser\(\text{m}^{-1}\) (metros inversos) para que las áreas bajo la curva, interpretadas como probabilidades, no fueran unitless:\((\text{area})=(\text{height})(\text{width})=\text{m}^{-1}\cdot\text{m}\).

Ahora supongamos que tenemos un problema bidimensional, por ejemplo, la distribución de probabilidad para el lugar en la superficie de un chip de cámara digital donde se detectará un fotón. El punto donde se detecta se describiría con dos variables,\(x\) y\(y\), cada una con unidades de metros. La distribución de probabilidad será una función de ambas variables,\(D(x,y)\). Ahora se visualiza una probabilidad como el volumen bajo la superficie descrito por la función\(D(x,y)\), como se muestra en la figura n. Las unidades de\(D\) deben ser\(\text{m}^{-2}\) para que las probabilidades sean sin unidades:\((\text{probability})=(\text{depth})(\text{length})(\text{width}) =\text{m}^{-2}\cdot\text{m}\cdot\text{m}\). En cuanto al cálculo, tenemos\(P\:=\:\int Ddx dy\).

n/Probabilidad es el volumen bajo una superficie definida por\(D(x,y)\).

Generalizando finalmente a tres dimensiones, encontramos por analogía que la distribución de probabilidad será una función de las tres coordenadas\(D(x,y,z)\),, y tendrá unidades de\(\text{m}^{-3}\). Desafortunadamente es imposible visualizar la gráfica a menos que seas un mutante con una sensación natural de vida en cuatro dimensiones. Si la distribución de probabilidad es casi constante dentro de un cierto volumen de espacio\(v\), la probabilidad de que el fotón esté en ese volumen es simplemente\(vD\). Si no, entonces podemos usar una integral,\(P\:=\:\int Ddx dydz\).

Colaboradores

Template:ContribCrowell