10.3: Método Euler hacia atrás
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En el Método Atrás de Euler, tomamos
\[\vec{y}_{n+1} = \vec{y}_n + h \vec{F}(\vec{y}_{n+1}, t_{n+1}).\]
Comparando esto con la fórmula del Método Forward Euler, vemos que las entradas a la función derivada involucran la solución en el paso\(n+1\), en lugar de la solución en el paso\(n\). Como\(h \rightarrow 0\), ambos métodos alcanzan claramente el mismo límite. Similar al Método Adelante Euler, el error de truncamiento local es\(O(h^{2})\).
Debido a que la cantidad\(\vec{y}_{n+1}\) aparece tanto en el lado izquierdo como en el lado derecho de la ecuación anterior, se dice que el Método Atrás de Euler es un método implícito (a diferencia del Método Adelante Euler, que es un método explícito). Para las funciones derivadas generales\(F\), la solución para\(\vec{y}_{n+1}\) no se puede encontrar directamente, sino que debe obtenerse iterativamente, utilizando una técnica de aproximación numérica como el método de Newton. Esto hace que el Método Atrás Euler sea sustancialmente más complicado de implementar y más lento de ejecutar.
Sin embargo, los métodos implícitos como el Método Retroceso de Euler tienen una poderosa ventaja: resulta que generalmente son estables independientemente del tamaño del paso. Por el contrario, los métodos explícitos, incluso los métodos explícitos que son mucho más sofisticados que el Método Forward Euler, como los métodos Runge-Kutta que se discuten a continuación, son inestables cuando se aplican a problemas rígidos, si el tamaño del paso es demasiado grande. Para ilustrar esto, apliquemos el Método Atrás de Euler a la misma ODA\(dy/dt = -\kappa y(t)\),, discutido anteriormente. Para esta ODE en particular, la ecuación implícita se puede resolver exactamente, sin tener que usar un solucionador iterativo:
\[y_{n+1} = y_n - h \kappa y_{n+1} \quad \Rightarrow \quad y_{n+1} = \frac{y_n}{1+h\kappa}= \frac{y_0}{(1+h\kappa)^n}.\]
A partir de este resultado, podemos ver que la solución numérica no explota para grandes valores de\(h\), como se muestra por ejemplo en la Fig. \(\PageIndex{1}\). A pesar de que la solución numérica en este ejemplo no es precisa (debido al gran valor de\(h\)), el punto clave es que el error no se acumula y provoca una reventón en grandes momentos.