3.1: Propiedades Básicas de Integrales Definidas

El valor de una integral definida depende únicamente del integrando y de los dos límites de integración. La variable sobre la que se integra es una variable ficticio, lo que significa que cambiar el símbolo no afecta el valor de la expresión general:\[\int_a^b dx\; f(x) = \int_a^b dy\; f(y).\] Dado que el valor de la integral no depende de la variable ficticio, no tiene sentido escribir algo así como\[\frac{d}{dx}\; \left[\int_a^b dx\; f(x)\right]. \;\;\;(\text{Nonsense expression}!)\]

Dado que una integral se define como la forma limitante de una suma, se puede manipular algebraicamente de la misma manera que una expresión de suma. Por ejemplo, una integral de una combinación lineal es igual a una combinación lineal de dos integrales con los mismos límites:\[\int_a^b dx \;\Big[c_1 \,f_1(x) + c_2\, f_2(x)\Big] = c_1 \int_{a}^{b} dx \; f_1(x)\;\, +\;\, c_2 \int_{a}^{b} dx\; f_2(x).\] Esto es análogo a cómo la suma de una combinación lineal es igual a la combinación lineal de sumaciones separadas:\[\sum_{n = p}^{q} \Big[ c_1 A_n \, + \, c_2 B_n\Big] = c_1 \sum_{n = p}^{q} A_n \, + \, c_2 \sum_{n = p}^{q} B_n.\] Por una razón similar, múltiples integrales pueden ser manipuladas como múltiples sumaciones. Si tenemos una doble integral donde las integrales tienen límites independientes, podemos intercambiar el orden de las integrales:\[\int_{a_1}^{b_1} dx_1 \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \;\; f(x_1, x_2) = \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \int_{a_1}^{b_1} dx_1 \;\; f(x_1, x_2).\] Esto es análogo a cómo podemos intercambiar el orden de dos sumaciones independientes. Tenga en cuenta, sin embargo, que esta manipulación no es válida si los límites de integración no son independientes. Por ejemplo, si el límite superior o inferior de la integral interna depende de la variable de integración de la integral externa, no podemos intercambiar las dos integrales:\[\int_{a_1}^{b_1} dx_1 \int_{a_1}^{x_1} dx_2 \;\; f(x_1, x_2) \ne \int_{a_1}^{x_1} dx_2 \int_{a_1}^{b_1} dx_1 \;\; f(x_1, x_2).\;\; (\text{Nonsense expression}!)\]

Nota

Tenga en cuenta que la expresión de la derecha no tiene sentido:\(x_1\) está destinada a ser una variable ficticio, sin embargo existe fuera de cualquier signo de integración.