3.2: Integrales como Antiderivados
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Dado que el valor de una integral definida depende de los valores de los límites superior e inferior, podemos preguntarnos qué sucede con el valor de la integral definida cuando se varía cualquiera de los límites. Usando la definición de la derivada del capítulo anterior, podemos mostrar que\[\begin{align} \frac{d}{db} \left[\int_a^b dx\; f(x)\right] &= f(b), \\ \frac{d}{da} \left[\int_a^b dx\; f(x)\right] &= -f(a).\end{align}\] Para probar la primera ecuación, observe que aumentar el límite superior de\(b\) a\(b + \delta b\) aumenta el área bajo la curva en\(f(b) \delta b\) (al orden más bajo en \(\delta b\)). De ahí que la tasa de cambio de la integral definida con\(b\) sea\(f(b)\). De igual manera, aumentar el límite inferior de\(a\) a\(\delta a\) disminuye el área bajo la curva, conduciendo a una tasa de cambio de\(-f(a)\).
A partir del resultado anterior, definimos el concepto de una integral indefinida, o antiderivada, como la inversa de una operación derivada:\[\int^x dx' f(x') \equiv F(x) \;\;\mathrm{such}\;\mathrm{that}\;\; \frac{d}{dx}F(x) = f(x).\] Dado que las derivadas no son uno-a-uno (es decir, dos funciones diferentes pueden tener la misma derivada), una antiderivada no tiene una única, valor bien especificado. Más bien, su valor sólo se define hasta una constante aditiva, llamada constante de integración. Una integral definida, por el contrario, siempre tiene un valor bien definido.
Encontrar antiderivados es mucho más difícil que la diferenciación. Una vez que sabes cómo diferenciar algunas funciones especiales, diferenciar alguna combinación de esas funciones suele implicar una aplicación sencilla (aunque tediosa) de reglas de composición. Por el contrario, no existe un procedimiento sistemático general para la integración simbólica. La integración a menudo requiere pasos creativos, como adivinar una solución y verificar si su derivado produce el integrando deseado.
Algunas técnicas comunes se resumen en las siguientes secciones; otras se introducirán más adelante en este curso.