3.7: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Considere la función paso\[\Theta(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1, &\;\;\;\textrm{for} \; x \ge 0\\ 0,&\;\;\; \textrm{otherwise.}\end{array}\right.\] Anote una expresión para la antiderivada de\(\Theta(x)\), y esboce su gráfica.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que\[\int_0^{2\pi} dx\, [\sin(x)]^2 = \int_0^{2\pi} dx\, [\cos(x)]^2 = \pi.\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Calcule las siguientes integrales definidas:

1. \(\displaystyle\int_{0}^\pi dx\; x^2 \sin(2x)\)

2. \(\displaystyle\int_{1}^\alpha dx\; x \ln(x)\)

3. \(\displaystyle\int_0^\infty dx\;e^{-\gamma x} \, \cos(x)\)

4. \(\displaystyle\int_0^\infty dx\;e^{-\gamma x} \, x \cos(x)\)

5. \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty dx\;e^{-\gamma |x|}\)

6. \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty dx \;e^{-|x+1|} \sin(x)\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Al diferenciar bajo la integral, resolver\[\int_0^1 dx\; \frac{x^2-1}{\ln(x)}.\] Pista: reemplazar\(x^2\) en el numerador con\(x^\gamma\).

Contestar

Definamos\[I(\gamma) = \int_0^1 \frac{x^\gamma - 1}{\ln(x)},\] así que esa\(I(2)\) es nuestra integral deseada. Para tomar la derivada, primero tenga en cuenta\[\frac{d}{d\gamma}(x^\gamma) = \ln(x)\, x^\gamma,\] lo que se puede probar utilizando la definición generalizada de la operación de potencia. Así,\[\begin{align} \frac{d}{d\gamma} I(\gamma) &= \int_0^1 \frac{\ln(x) x^\gamma}{\ln(x)} \\ &= \int_0^1 x^\gamma \\ &= \frac{1}{1+\gamma}.\end{align}\] Esto se puede integrar de manera directa:\[I(\gamma) = \int \frac{d\gamma}{1+\gamma} = \ln(1+\gamma) + c,\] dónde\(c\) está una constante de integración, que ahora tenemos que determinar. Refiriéndose a la definición original de\(I(\gamma)\), observar que\(I(0) = \int_0^1 (1 - 1)/\ln(x) = 0\). Esto implica que\(c = 0\). Por lo tanto, la respuesta es\[I(2) = \ln(3).\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(f(x,y)\) ser una función que depende de dos entradas\(x\) y\(y\), y definir\[I(x) = \int_0^x f(x,y) dy.\] Demostrar que\[\frac{dI}{dx} = f(x,y) + \int_0^x \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \;dy.\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria\[\frac{dy}{dt} = - \gamma y(t) + f(t),\] donde\(\gamma > 0\) y\(f(t)\) es alguna función de\(t\). La solución se puede escribir en el formulario\[y(t) = y(0) + \int_0^t dt' \, e^{-\gamma(t-t')} \, g(t').\] Encuentra la función adecuada\(g\), en términos de\(f\) y\(y(0)\).

Contestar

Se nos proporciona el siguiente ansatz para la solución a la ecuación diferencial:\[y(t) = y(0) + \int_0^t dt' e^{-\gamma(t-t')} g(t').\] Primero, tenga en cuenta que cuando\(t = 0\), el rango de la integral se contrae a cero, por lo que el resultado es\(y(0)\), como se esperaba. Para determinar la función apropiada\(g\), realizamos una derivada en\(t\). La parte complicada es que\(t\) aparece en dos lugares: en el rango superior de la integral, así como en el integrando. Entonces cuando tomamos la derivada, debería haber dos términos distintos (ver problema\(\PageIndex{5}\)):\[\begin{align} \frac{dy}{dt} &= \left[e^{-\gamma(t-t')} g(t')\right]_{t'=t} + \int_0^t dt'(-\gamma) \, e^{-\gamma(t-t')} \, g(t')\\ &= g(t) - \gamma [y(t) - y(0)].\end{align}\] En el último paso, volvimos a hacer uso del ansatz para\(y(t)\). Finalmente, comparando esto con la ecuación diferencial original para\(y(t)\), encontramos que\[g(t) - \gamma [y(t) - y(0)] = -\gamma y(t) + f(t) \;\;\; \Rightarrow \;\;\; g(t) = f(t) - \gamma y(0).\] Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial es\[\begin{align} y(t) &= y(0) + \int_0^t dt' \, e^{-\gamma(t-t')} \,[f(t') - \gamma y(0)] \\ &= y(0)\,e^{-\gamma t} + \int_0^t dt' \, e^{-\gamma(t-t')} f(t').\end{align}\]