5.5: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En la Sección 5.2, nos encontramos con las frecuencias complejas\[\omega_\pm = -i\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.\] Para fijo\(\omega_0\) y\(\omega_0 > \gamma\) (subamortiguamiento), prueban que se\(\omega_\pm\) encuentran a lo largo de un arco circular en el plano complejo.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Derive la solución general para el oscilador armónico amortiguado críticamente, Ec. (5.3.16), siguiendo estos pasos:

1. Consideremos la compleja ODE, en el régimen subamortiguado\(\omega_0 > \gamma\). Vimos en la Sección 5.3 que la solución general tiene la forma\[z(t) = \psi_+ \, \exp\left[\left(-\gamma - i \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\right)t\right] \; +\; \psi_- \, \exp\left[\left(-\gamma +i\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\right)t\right]\] para algunos parámetros complejos\(\psi_+\) y\(\psi_-\). Definir el parámetro positivo\(\varepsilon = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\). Reescribir\(z(t)\) en términos de\(\gamma\) y\(\varepsilon\) (es decir, eliminar\(\omega_0\)).

2. La expresión for\(z(t)\) está actualmente parametrizada por los parámetros independientes\(\psi_+\),\(\psi_-\),\(\varepsilon\), y\(\gamma\). Somos libres de redefinir los parámetros, tomando\[\begin{align} \alpha &= \psi_+ + \psi_- \\ \beta &= -i\varepsilon(\psi_+ - \psi_-). \end{align}\] Usando estas ecuaciones, expresar\(z(t)\) usando un nuevo conjunto de parámetros complejos independientes, uno de los cuales es\(\varepsilon\). Identificar explícitamente los otros parámetros independientes y establecer si son reales o complejos.

3. Expandir los exponenciales\(z(t)\) en términos del parámetro\(\varepsilon\). Luego mostrar que en el límite\(\varepsilon \rightarrow 0\), se\(z(t)\) reduce a la solución general críticamente amortiguada (5.3.16).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Repita la derivación anterior para la solución amortiguada críticamente, pero partiendo del régimen de sobreamortiguamiento\(\gamma > \omega_0\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dejar\(z(t)\) ser una función compleja de una entrada real\(t\), que obedece a la ecuación diferencial\[\frac{dz}{dt} = -i\,(\omega_1 - i \gamma)\; z(t),\] donde\(\omega_1\) y\(\gamma\) son reales. Encuentra la solución general para\(z(t)\), y por lo tanto mostrar que\(z(t)\) satisface la ecuación del oscilador amortiguado\[\left[\frac{d^2}{dt^2} + 2\gamma \frac{d}{dt} + \omega_0^2 \right] z(t) = 0\] para algunos\(\omega_0^2\). Por último, mostrar que este oscilador armónico siempre está subamortiguado.

Contestar

La solución general es\[z(t) = A \exp\left[-i(\omega_1 - i \gamma) t\right].\] Se puede verificar por sustitución directa que esta es una solución a la ecuación diferencial. Contiene un parámetro libre, y la ecuación diferencial es de primer orden, por lo que debe ser una solución general. Siguiente,\[\begin{align} \frac{d^2z}{dt^2} + 2 \gamma \frac{dz}{dt} &= (-i)^2(\omega_1 - i\gamma)^2 z(t) - 2i \gamma (\omega_1 - i \gamma) z(t) \\ &= \left[- \omega_1^2 + \gamma^2 + 2i\gamma\omega_1 - 2i \gamma \omega_1 - 2\gamma^2)\right] z(t) \\ &= -\left(\omega_1^2 + \gamma^2\right)z(t).\end{align}\] Por lo tanto,\(z(t)\) obedece una ecuación de oscilador armónico amortiguado con\(\omega_0^2 = \omega_1^2 + \gamma^2.\) Esta expresión para la frecuencia natural asegura que\(\omega_0^2 > \gamma^2\) (asumiendo los parámetros\(\gamma\) y ambos\(\omega_1\) son reales); de ahí, la oscilador armónico siempre está bajo amortiguado.