5.4: Expresar la Solución en Términos de Condiciones Iniciales

La solución general para la ecuación del oscilador armónico amortiguado complejo, Ec. (5.3.3), contiene dos parámetros indeterminados que son las amplitudes complejas de las oscilaciones complejas “en sentido horario” y “antihorario”:\[z(t) = \psi_+ e^{-i\omega_+ t} + \psi_- e^{-i\omega_- t}, \quad\mathrm{where} \;\; \omega_\pm = -i\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.\] Sin embargo, los problemas mecánicos a menudo se expresan en términos de una inicial problema de valor, especificando el estado del sistema en algún momento inicial\(t = 0\). En otras palabras, dado\(z(0) \equiv x_0\) y\(\dot{z}(0) \equiv v_0\), ¿qué es\(z(t)\) en términos de\(x_0\) y\(v_0\)?

Podemos resolver el problema del valor inicial encontrando\(z(0)\) y\(\dot{z}(0)\) en términos de la solución general anterior para\(z(t)\). Los resultados son\[\begin{align} z(0) &= \quad \psi_+ + \psi_- &= x_0& \\ \dot{z}(0) &= -i\omega_+ \psi_+ - i \omega_- \psi_- &= v_0&.\end{align}\] Estas dos ecuaciones se pueden combinar en una ecuación matricial de 2x2:\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ -i\omega_+ & -i\omega_-\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\psi_+ \\ \psi_-\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_0 \\ v_0\end{bmatrix}.\] Siempre y cuando el sistema no esté en el punto crítico (es decir,\(\omega_+ \ne \omega_-\)), la matriz no es singular, y podemos invertirla para obtener\(\psi_\pm\):\[\begin{bmatrix}\psi_+ \\ \psi_-\end{bmatrix} = \frac{1}{i(\omega_+-\omega_-)}\begin{bmatrix}-i\omega_-x_0 - v_0 \\ i\omega_+x_0 + v_0 \end{bmatrix}.\] Podemos tapar estas coeficientes de vuelta a la solución general. Después de algo de álgebra, el resultado se simplifica a\[z(t) = e^{-\gamma t} \left[x_0 \cos(\Omega t) + \frac{\gamma x_0 + v_0}{\Omega} \, \sin(\Omega t)\right], \;\; \mathrm{where}\;\; \Omega \equiv \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.\] Para el caso poco amortiguado,\(\Omega\) es real, y esta solución es consistente con la que se encuentra en la Sección 5.3, salvo que ahora se expresa explícitamente en términos nuestras condiciones iniciales\(x_0\) y \(v_0\). En cuanto al caso sobreamortiguado, podemos realizar el reemplazo\[\Omega \rightarrow i \Gamma = i \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}.\] Luego, utilizando las relaciones entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas discutidas en la Sección 4.5, la solución puede ser reescrita como\[\begin{align} z(t) &= e^{-\gamma t} \left[x_0 \cosh(\Gamma t) + \frac{\gamma x_0 + v_0}{i\Gamma} \, i \sinh(\Gamma t)\right] \\ &= \left(\frac{x_0}{2} + \frac{\gamma x_0 + v_0}{2\Gamma}\right) e^{-(\gamma - \Gamma) t} + \left(\frac{x_0}{2} - \frac{\gamma x_0 + v_0}{2\Gamma}\right) e^{-(\gamma+\Gamma)t},\end{align}\] lo cual es consistente con la solución que se encuentra en la Sección 5.3.

En cualquier caso, siempre y cuando conectemos valores reales para\(x_0\) y\(v_0\), se garantiza que la solución sea real para todos\(t\). Eso es de esperar, ya que la solución real es también una de las soluciones específicas para la ecuación del oscilador armónico complejo.