6.6: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Considere la ecuación de onda 1D en una caja cerrada de longitud\(L\) e índice de refracción uniforme\(n\in\mathbb{R}\). Las paredes de la caja están en\(x = -L/2\) y\(x = L/2\), y la función de onda va a cero en estos puntos:\(\psi(\pm L/2) = 0\) (es decir, condiciones de contorno de Dirichlet). Mostrar eso\(\psi(x) = 0\) para todos\(x\), excepto ciertos valores discretos de la frecuencia\(\omega\). Encuentra estas frecuencias, y las correspondientes soluciones distintas de cero\(\psi(x)\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Como se discute en la Sección 6.5, una onda viajera armónica en un medio no conservador de energía se describe por\[\left[\frac{d^2}{d x^2} + n^2\, \left(\frac{\omega}{c}\right)^2\right] \, \psi(x) = 0,\] donde\(n\) es un número complejo. (Como de costumbre,\(\omega\) y\(c\) se supone que son números reales positivos.) Mostrar que el signo relativo de\(\mathrm{Re}(n)\) y\(\mathrm{Im}(n)\) determina si la onda experimenta amplificación o disipación, y que el resultado no depende de la dirección de propagación de la onda.

Responder

Escribiendo\(n = n' + i n''\), donde\(n'\) y\(n''\) son reales, las soluciones de onda viajera son\[\psi(x) = A \exp\left[\pm i (n'+in'')\frac{\omega}{c} x\right].\] La magnitud y el argumento son:\[\begin{align} \big|\psi(x)\big| &= |A| \exp\left[\mp n'' \frac{\omega}{c} x \right] \\ \mathrm{arg}\big[\psi(x)\big] &= \mathrm{arg}(A) \pm n' \frac{\omega}{c} x.\end{align}\] La dirección de propagación de la onda está determinada por el argumento: si el argumento aumenta con\(x\) entonces se mueve a la derecha, y si el argumento disminuye con\(x\) él se mueve a la izquierda. Además, se dice que la onda experimenta amplificación si su amplitud crece a lo largo de la dirección de propagación, y amortiguando si su amplitud disminuye a lo largo de la dirección de propagación.

Considere la elección superior del signo (es decir,\(+\) para el\(\pm\) símbolo y\(-\) para el\(\mp\) símbolo). A partir de la magnitud, vemos que la amplitud de la onda disminuye con\(x\) si\(n'' > 0\), y aumenta con\(x\) si\(n'' < 0\). A partir del argumento, la onda se mueve a la derecha si\(n' >0\), y a la izquierda si\(n' < 0\). De ahí que la onda sea amortiguada si\(n' n'' >0\) y amplificada si\(n' n'' < 0\).

(Por ejemplo, considere el caso\(n' < 0\) y\(n'' < 0\). La amplitud aumenta con\(x\) pero la onda se mueve en la\(-x\) dirección; esto significa que la amplitud crece en la dirección opuesta a la dirección de propagación, por lo que la onda es amortiguada).

Para la menor elección de signo, vemos a partir de la magnitud que la amplitud aumenta con\(x\) si\(n'' > 0\), y disminuye con\(x\) si\(n'' < 0\). A partir del argumento, vemos que la onda se mueve a la izquierda si\(n' >0\) y a la derecha si\(n' < 0\). De ahí que la onda sea amortiguada si\(n' n'' >0\) y amplificada si\(n' n'' < 0\), exactamente igual que en el caso anterior.

Por lo tanto, si la onda es amplificada o amortiguada solo depende de los signos relativos de\(n'\) y\(n''\), y es independiente de la dirección de propagación.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Cuando el índice de refracción es complejo, ¿se puede considerar la parte real de la función de onda compleja como la solución a la misma ecuación de onda? Si no, derivar una ecuación diferencial real cuya solución es la parte real de la Ec. (6.5.6).