6.5: Ondas armónicas

A menudo nos interesan las ondas que experimentan oscilación armónica, es decir, que varían sinusoidalmente con una frecuencia constante en\(\omega\) todas partes del espacio. Tales ondas pueden describirse mediante ondulaciones de la forma\[f(x,y,z,t) = \psi(x,y,z) \, e^{-i\omega t}.\] Al escribir la función de onda en esta forma, estamos realizando una separación de variables entre\(\vec{r}\) y\(t\). Este es un método común para simplificar las PDE, y se justifica por la linealidad de la ecuación de onda. Si podemos encontrar soluciones armónicas para cada frecuencia\(\omega\), podemos combinarlas linealmente para construir soluciones más generales que no sean armónicas.

Por sustitución directa en la Ec. (6.4.1), podemos mostrar que\(\psi(x)\) obedece\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + \left(\frac{\omega}{v}\right)^2\right] \, \psi(x,y,z) = 0.\] Esto está relacionado con la ecuación de onda dependiente del tiempo original por el reemplazo de\(\partial/\partial t\) con\(-i\omega\).

Ondas en medios complejos

Hasta el momento, nuestra discusión se ha limitado a las ondas que se propagan en un medio uniforme, conservador de energía con una velocidad de onda fija\(v\). Hay dos generalizaciones importantes de este escenario: (i) medios no uniformes, en los que la velocidad de onda varía con la posición, y (ii) medios no conservadores de energía, en los que las ondas pierden o ganan energía a medida que se propagan. Para capturar estos fenómenos, reemplazamos la constante\(v\) por\[v = \frac{c}{n},\] donde\(n\) se llama el índice de refracción, y la constante\(c\) es la velocidad de onda en el límite\(n = 1\). En el caso de las ondas electromagnéticas,\(c\) es la velocidad de la luz en un vacío.

Si ahora se permite que el índice de refracción varíe con la posición, la ecuación de onda en la representación armónica se convierte en\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + n^2(x,y,z)\, \left(\frac{\omega}{c}\right)^2\right] \, \psi(x,y,z) = 0.\]

Amplificación y atenuación de ondas

Al permitir que el índice\(n\) de refracción sea complejo, la ecuación de onda puede describir los fenómenos de amplificación de onda (que también se llama ganancia) y atenuación de onda (también llamada pérdida). Las ondas amplificadas y atenuadas ocurren en muchos contextos diferentes en física; por ejemplo, la amplificación de ondas de luz es la base subyacente para el láser.

Para estudiar estos fenómenos, volvamos al espacio unidimensional y al escenario simple de un índice de refracción independiente de la posición. Para las ondas armónicas, la ecuación de onda se reduce a Ahora\[\left[\frac{d^2}{d x^2} + n^2\, \left(\frac{\omega}{c}\right)^2\right] \, \psi(x) = 0.\] dejamos\(n\) ser complejos, manteniendo\(\omega\) y\(c\) como números reales positivos. Las soluciones a la ODE tienen la forma\[\psi(x) = A \exp\left(\pm \frac{in\omega}{c}x\right),\;\;\;\mathrm{where}\;\; A \in \mathbb{C}. \label{eq:gainloss-wave}\] Escribamos el índice de refracción complejo como\[n = n' + i n'',\quad \textrm{where}\;\, n',n'' \in \mathbb{R}.\] Entonces\[\psi(x) = A \exp\left[\pm in'(\omega/c)x\right]\, \exp\left[\mp n''(\omega/c)x\right].\] El primer factor exponencial describe la oscilación de la función de onda, con el\(\pm\) signo determinando si la onda armónica se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda. El segundo exponencial describe la amplificación o atenuación de la onda. Si\(n'' \ne 0\), la amplitud varía exponencialmente con\(x\). Así, dependiendo de los signos de los diversos parámetros, la onda podría crecer exponencialmente a lo largo de su dirección de propagación, lo que corresponde a la amplificación, o disminuir exponencialmente a lo largo de su dirección de propagación, que corresponde a la amortiguación.