7.4: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Para cada una de las siguientes funciones\(f(z)\), encuentre las funciones componentes reales e imaginarias\(u(x,y)\) y\(v(x,y)\), y de ahí verificar si satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

1. \(f(z) = z\)

2. \(f(z) = z^2\)

3. \(f(z) = |z|\)

4. \(f(z) = |z|^2\)

5. \(f(z) = \exp(z)\)

6. \(f(z) = \cos(z)\)

7. \(f(z) = 1/z\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que una función\(f(z)\) está bien definida y obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto\(z\), y las derivadas parciales en las ecuaciones de Cauchy-Riemann son continuas en ese punto. Demostrar que la función es compleja diferenciable en ese punto. Pista: considerar un desplazamiento arbitrario\(\Delta z = \Delta x + i \Delta y\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que los productos de las funciones analíticas son analíticos: si\(f(z)\) y\(g(z)\) son analíticos en\(D \subset \mathbb{C}\), entonces\(f(z) g(z)\) es analítico en\(D\).

Contestar

Utilizaremos las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Descomponer\(z\),\(f\), y\(g\) en partes reales e imaginarias de la siguiente manera:\(z = x + i y\),\(f = u + i v\), y\(g = p + i q\). Ya que\(f(z)\) y\(g(z)\) son analíticos en\(D\), satisfacen\[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y},\;\; -\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial x} &= \frac{\partial q}{\partial y},\;\; -\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial q}{\partial x}.\end{align}\] Esto es para todos\(z \in D\). A continuación, expandir el producto\(f(z)\,g(z)\) en partes reales e imaginarias:\[\begin{align}\begin{aligned} f(z)\,g(z) = A(x,y) + i B(x,y),\;\;\mathrm{where}\;\; \begin{cases}A = up - v q \\ B = uq + vp. \end{cases}\end{aligned}\end{align}\] Nuestro objetivo es demostrarlo\(A\) y\(B\) satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann para\(x + i y \in D\), lo que luego implicaría que\(fg\) es analítico en \(D\). Usando la regla del producto para derivados:\[\begin{align} \frac{\partial A}{\partial x} &= \frac{\partial u}{\partial x} p + u \frac{\partial p}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial x} q - v \frac{\partial q}{\partial x} \\ &= \frac{\partial v}{\partial y} p + u \frac{\partial q}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial y} q + v \frac{\partial p}{\partial y} \\ \frac{\partial B}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial y} q + u \frac{\partial q}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} p + v \frac{\partial p}{\partial y}.\end{align}\] Por comparación directa, vemos que las dos expresiones son iguales. De igual manera,\[\begin{align} \frac{\partial A}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial y} p + u \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial y} q - v \frac{\partial q}{\partial y} \\ &= - \frac{\partial v}{\partial x} p - u \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x} q - v \frac{\partial p}{\partial x} \\ \frac{\partial B}{\partial x} &= \frac{\partial u}{\partial x} q + u \frac{\partial q}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial x} p + v \frac{\partial p}{\partial x}.\end{align}\] Estos dos son los negativos el uno del otro. Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que las composiciones de funciones analíticas son analíticas: si\(f(z)\) es analítico en\(D \subset \mathbb{C}\) y\(g(z)\) es analítico en el rango de\(f\), entonces\(g(f(z))\) es analítico en\(D\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que los recíprocos de las funciones analíticas son analíticos alejados de los polos: si\(f(z)\) es analítico adentro\(D \subset \mathbb{C}\), entonces\(1/f(z)\) es analítico en todas partes\(D\) excepto en dónde\(f(z) = 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que si\(f(z = x + iy) = u(x,y) + i v(x,y)\) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces las funciones reales\(u\) y\(v\) cada una obedecen a la ecuación de Laplace:\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0.\] (Tales funciones se llaman “funciones armónicas”).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Podemos escribir las partes reales e imaginarias de una función en términos de coordenadas polares:\(f(z) = u(r,\theta) + i v(r,\theta)\), dónde\(z = re^{i\theta}\). Demostrar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden ser reescritas en forma polar como\[\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = - \frac{1}{r}\, \frac{\partial u}{\partial \theta}.\]