7.3: Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son un par de ecuaciones diferenciales parciales reales que proporcionan una forma alternativa de entender derivadas complejas. Su importancia viene de los dos teoremas siguientes.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(f\) ser una función compleja que se puede escribir como\(f(z = x + iy) = u(x,y) + i v(x,y)\), donde\(u(x,y)\) y\(v(x,y)\) son funciones reales de dos entradas reales. Si\(f\) es complejo-diferenciable en un dado\(z = x + i y\), entonces\(u(x,y)\) y\(v(x,y)\) tienen derivadas parciales válidas de primer orden (es decir, son reales diferenciables tanto en la\(x\)\(y\) dirección como), y estos derivados satisfacen

\[\label{eq:1}\begin{array}{cc}{\left\{\begin{array}{c}{\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}}\\{\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}}\end{array}\right.} &{\text{Cauchy-Riemann equations}}\end{array}\]

Por el contrario,

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(u(x,y)\) y\(v(x,y)\) ser funciones reales cuyas derivadas parciales de primer orden existen y son continuas en\((x,y)\), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Entonces la función\(f(z = x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)\) es complejo-diferenciable en\(z = x + i y\).

Prueba

Ahora vamos a probar el teorema, que establece que\(f\) ser complejo-diferenciable implica las ecuaciones de Cauchy-Riemann. La prueba de lo contrario se deja como ejercicio.

Supongamos que la función\(f\) es complejo-diferenciable en algún momento\(z\). A partir de la definición de diferenciabilidad compleja, existe una derivada\(f'(z)\) definida como\[f'(z) = \lim_{\delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+\delta z) - f(z)}{\delta z},\] cuyo valor es independiente del argumento que tomamos para lo infinitesimal\(\delta z\). Si tomamos esto como real, es decir\(\delta z = \delta x \in \mathbb{R}\), la expresión para la derivada puede escribirse como\[\begin{align} f'(z) &= \lim_{\delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\delta x + i y) - f(x + i y)}{\delta x} \\ &= \lim_{\delta x \rightarrow 0} \frac{\left[u(x+\delta x, y) + iv(x+\delta x, y)\right] - \left[u(x, y) + i v(x,y)\right]}{\delta x}\\ &= \lim_{\delta x \rightarrow 0} \frac{\left[u(x+\delta x, y) - u(x,y)\right] + i \left[v(x+\delta x, y)-v(x,y)\right]}{\delta x} \\ &= \left[ \lim_{\delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\delta x, y) - u(x,y)}{\delta x}\right] + i \left[ \lim_{\delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\delta x, y) - v(x,y)}{\delta x}\right]\end{align}\] En la última línea, las cantidades entre corchetes son las derivadas parciales reales de\(u\) y\(v\) (con respecto a\(x\)). Por lo tanto esas derivadas parciales están bien definidas, y\[f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}.\] por otro lado, también podríamos tomar un desplazamiento infinitesimal en la dirección imaginaria, fijando\(\delta z = i \delta y\) dónde\(\delta y \in \mathbb{R}\). Entonces la expresión para la derivada es\[\begin{align} f'(z) &= \lim_{\delta y \rightarrow 0} \frac{f(x+ i y + i\delta y) - f(x + i y)}{i\delta y} \\ &= \lim_{\delta y \rightarrow 0} \frac{\left[u(x, y+\delta y) + iv(x, y+\delta y)\right] - \left[u(x, y) + i v(x,y)\right]}{i\delta y}\\ &= \lim_{\delta y \rightarrow 0} \frac{\left[u(x, y+\delta y) - u(x,y)\right] + i \left[v(x, y+\delta y)-v(x,y)\right]}{i\delta y} \\ & = -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}\end{align}\] Dado que\(f(z)\) es complejo-diferenciable, estas dos expresiones deben ser iguales, por lo que\[\frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}.\] Observando que\(u\) y\(v\) son funciones reales, podemos tomar las partes real e imaginaria de lo anterior ecuación por separado. Esto arroja un par de ecuaciones reales,\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \;\;\; \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}.\] Estas son precisamente las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Como corolario, también obtenemos un conjunto de expresiones convenientes para la derivada compleja de\(f(z)\):\[\begin{align} \mathrm{Re}\left[f'(z)\right] &= \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \mathrm{Im}\left[f'(z)\right] &= \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}.\end{align}\]

Interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Rieman

El mensaje central de las ecuaciones de Cauchy-Riemann es que cuando se trata de funciones analíticas, las partes real e imaginaria de números complejos no pueden considerarse como cantidades independientes, sino que están estrechamente entrelazadas. Hay dos formas complementarias de pensar sobre esto:

• Para una función analítica\(f(z)\), las partes real e imaginaria de la entrada\(z\) no afectan independientemente el valor de salida. Si te digo cómo varía la función en la\(x\) dirección, dándote\(\partial u/\partial x\) y\(\partial v/\partial x\), entonces puedes averiguar cómo varía la función en la\(y\) dirección, usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann para encontrar\(\partial u/\partial y\) y \(\partial v/\partial y\).

• Del mismo modo, para las salidas complejas de\(f(z)\), las partes real e imaginaria no pueden considerarse independientes. Si te digo cómo varía la parte real de la salida, dándote\(\partial u/\partial x\) y\(\partial u/\partial y\), entonces puedes averiguar cómo varía la parte imaginaria de la salida, usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann para encontrar\(\partial v/\partial x\) y\(\partial v/\partial y\).

Estas limitaciones tienen profundas implicaciones para la disciplina matemática del análisis complejo, siendo una de las más importantes el teorema integral de Cauchy, que encontraremos al estudiar la integración de contornos en el Capítulo 9.

Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Rieman

A menudo, la manera más fácil de probar que una función es analítica en un dominio dado es probar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann están satisfechas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Podemos usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para demostrar que la función\[f(z)=1/z\] es analítica en todas partes, excepto en\(z = 0\). Escribamos la función como\[f(x+iy) = \frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}.\] Por lo tanto, las funciones componentes reales e imaginarias son\[u(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}, \;\;v(x,y) = - \frac{y}{x^2+y^2}.\] Excepto en\(x = y = 0\), estas funciones tienen derivadas parciales bien definidas y continuas satisfactorias\[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2} \;= \;\;\;\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} &= \; \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{\partial u}{\partial y}. \end{align}\]

De manera más general, podemos usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para probar los siguientes hechos sobre las funciones analíticas:

• Las composiciones de funciones analíticas son analíticas.
  Si\(f(z)\) es analítico\(D \subset \mathbb{C}\) y\(g(z)\) es analítico en el rango de\(f\), entonces\(g(f(z))\) es analítico en\(D\).

• Las recíprocas de las funciones analíticas son analíticas, excepto en singularidades.
  Si\(f(z)\) es analítico en\(D \subset \mathbb{C}\), entonces\(1/f(z)\) es analítico en todas partes\(D\) excepto en dónde\(f(z) = 0\).

Las pruebas para estos se pueden obtener a través de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y se dejan como ejercicios.