8.3: Aparte- El significado de “infinito” para números complejos
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Al hablar de\(z = \infty\) ello, nos estamos refiriendo a algo llamado infinito complejo, que puede considerarse como un número complejo con magnitud infinita y argumento indefinido.
El hecho de que el argumento sea indefinido puede parecer extraño, pero en realidad ya conocemos otro número complejo con esta característica:\(z = 0\) tiene magnitud cero y argumento indefinido. Estos dos números complejos especiales son los recíprocos entre sí:\(1/\infty = 0\) y\(1/0 = \infty\).
El complejo\(\infty\) se comporta de manera diferente al concepto familiar de infinito asociado a los números reales. Para los números reales, el infinito positivo (\(+\infty\)) es distinto del infinito negativo (\(-\infty\)). Pero esto no se sostiene para los números complejos, ya que los números complejos ocupan un plano bidimensional más que una línea. Así, para los números complejos no tiene sentido definir “infinito positivo” e “infinito negativo” como entidades distintas. En cambio, trabajamos con un solo complejo\(\infty\).
A partir de esta discusión, podemos ver por qué\(z^p\) se tiene un punto de rama en\(z = \infty\). Para cualquier finito y distinto de cero\(z\), podemos escribir\(z = re^{i\theta}\), donde\(r\) es un número positivo. La\(z^p\) operación produce entonces un conjunto de números complejos de la forma\(r^p \, e^{ip\theta}\,\times\, \{\text{root of unity}\}\). Por cada número en este conjunto, la magnitud va al infinito como\(r \rightarrow \infty\). En este límite, el argumento (es decir, la elección de raíz de la unidad) se vuelve irrelevante, y el resultado es simplemente\(\infty\).
Por razonamiento similar, se puede probar que\(\ln(z)\) tiene puntos de rama en\(z = 0\) y\(z = \infty\). Esto se deja como ejercicio.