8.5: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra los valores de\((i)^i\).

Contestar

Podemos escribir\(i\) en coordenadas polares como\(\exp(i\pi/2).\) Por lo tanto,\[\begin{align} (i)^i &= \exp\Big\{i \ln\big[\exp(i\pi/2)\big]\Big\} \\ &= \exp\left\{i \left[\frac{i\pi}{2} + 2 \pi i n\right]\right\}, \quad n \in \mathbb{Z} \\ &= \exp\left[- 2\pi\left(n+\frac{1}{4}\right) \right], \quad n \in \mathbb{Z}.\end{align}\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que\(\ln(z)\) tiene puntos de sucursal en\(z = 0\) y\(z = \infty\).

Contestar

Vamos\(z = r\exp(i\theta)\), dónde\(r > 0\). Los valores del logaritmo son\[\ln(z) = \ln(r) + i (\theta + 2\pi n), \;\;\;n \in \mathrm{Z}.\] Para cada uno\(n\), nótese que el primer término es la parte real y el segundo término es la parte imaginaria de un número complejo\(w_n\). El logaritmo en el primer término puede tomarse como el logaritmo real.

Para\(z \rightarrow 0\), tenemos\(r \rightarrow 0\) y por lo tanto\(\ln(r)\rightarrow -\infty\). Esto implica que\(w_n\) se encuentra infinitamente lejos a la izquierda del origen en el plano complejo. Por lo tanto,\(w_n \rightarrow \infty\) (refiriéndose al infinito complejo) independientemente del valor de\(n\). De igual manera, para\(z \rightarrow \infty\), tenemos\(r \rightarrow \infty\) y por lo tanto\(\ln(r)\rightarrow +\infty\). Esto implica que\(w_n\) se encuentra infinitamente lejos a la derecha del origen en el plano complejo, así\(w_n \rightarrow \infty\) independientemente del valor de\(n\). Por lo tanto,\(0\) y\(\infty\) son ambos puntos de ramificación del logaritmo complejo.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Para cada una de las siguientes funciones multivaloradas, encuentre todos los valores de función posibles, en el especificado\(z\):

1. \(z^{1/3}\)en\(z = 1\).

2. \(z^{3/5}\)en\(z = i\).

3. \(\ln(z+i)\)en\(z = 1\).

4. \(\cos^{-1}(z)\)en\(z = i\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Para la operación de raíz cuadrada\(z^{1/2}\), elija un corte de rama. Luego mostrar que ambas funciones de rama\(f_\pm(z)\) son analíticas sobre todo\(\mathbb{C}\) excluyendo el corte de rama.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Considerar\(f(z) = \ln(z+a) - \ln(z-a)\). Por simplicidad,\(a\) déjese ser un número real positivo. Como se discute en la Sección 8.4, podemos escribir esto como\[f(z) = \ln\left|\frac{z+a}{z-a}\right| + i(\theta_+ - \theta_-), \qquad \theta_\pm \equiv \mathrm{arg}(z\pm a).\] Supongamos que representamos los argumentos como\(\theta_+ \in (-\pi,\pi)\) y\(\theta_- \in (-\pi,\pi)\). Explique por qué esto implica un corte de rama consistente en una línea recta que se une\(a\) con\(-a\). Usando esta representación, calcular el cambio en\(f(z)\) sobre un bucle infinitesimal que circunda\(z = a\) o\(z = -a\). Calcular también el\(f(z)\) cambio en un bucle de radio que\(R \gg a\) circunda el origen (y encerrando así ambos puntos de ramificación).