2.5: Operadores, Conmutadores y Principio de Incertidumbre

Conmutador

Definición: Conmutador

El Conmutador de dos operadores A, B es el operador C = [A, B] tal que C = AB − BA.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si los operadores A y B son operadores escalares (como los operadores de posición) entonces AB = BA y el conmutador siempre es cero.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Si los operadores A y B son matrices, entonces en general\( A B \neq B A\). Considera por ejemplo:

\ [A=\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right),\ quad B=\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & -1
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Entonces

\ [A B=\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -1\\
1 & 0
\ end {array}\ right),\ quad B A=\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {cc}
0 & 1\
-1 & 0
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Entonces [A, B] = 2AB.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

A es Gira a tu derecha. B is Toma 3 pasos a tu izquierda.

Pregunta

¿Estos dos operadores viajan?

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos rotaciones A, B a lo largo del eje x. Izquierda: aplicamos AB (primero la rotación 3\(\pi\) /4), derecha aplicamos BA. Dado que los dos operadores conmutan, el resultado es el mismo. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Que A y B sean dos rotaciones. Primero supongamos que A es una rotación\(\pi\) /4 alrededor de la dirección x y B una rotación de\(\pi\) 3/4 en la misma dirección. Ahora supongamos que el vector a rotar es inicialmente alrededor de z. Entonces, si aplicamos AB (eso significa, primero una rotación de\(\pi\) 3/4 alrededor de x y luego una rotación\(\pi\) /4), el vector termina en la dirección z negativa. Lo mismo sucede si aplicamos BA (primero A y luego B).

Figura\(\PageIndex{2}\): Dos rotaciones A, B a lo largo de los ejes x y z. Izquierda: aplicamos AB (primero la rotación\(\pi\) /2 a lo largo de z), derecha: aplicamos BA. Dado que los dos operadores no se conmutan, el resultado no es el mismo. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Ahora supongamos que A es una rotación\(\pi\) /2 alrededor de la dirección x y B alrededor de la dirección z. Cuando aplicamos AB, el vector termina (desde la dirección z) a lo largo del eje y (ya que la primera rotación no le hace nada), si en cambio aplicamos BA el vector se alinea a lo largo de la dirección x. En este caso las dos rotaciones a lo largo de diferentes ejes no se conmutan.

Estos ejemplos muestran que los conmutadores no son específicos de la mecánica cuántica sino que se pueden encontrar en la vida cotidiana. Ahora queremos un ejemplo para los operadores de QM.

La relación de conmutación más famosa es entre los operadores de posición y momentum. Considera primero el caso 1D. Queremos saber qué es\(\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}\right] \) (omitiré el subíndice sobre el impulso). Dijimos que esto es un operador, así que para saber qué es, lo aplicamos a una función (una función de onda). Llamemos a este operador\(C_{x p}, C_{x p}=\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}\right]\).

\[[\hat{x}, \hat{p}] \psi(x)=C_{x p}[\psi(x)]=\hat{x}[\hat{p}[\psi(x)]]-\hat{p}[\hat{x}[\psi(x)]]=-i \hbar\left(x \frac{d}{d x}-\frac{d}{d x} x\right) \psi(x) \nonumber\]

\[-i \hbar\left(x \frac{d \psi(x)}{d x}-\frac{d}{d x}(x \psi(x))\right)=-i \hbar\left(x \frac{d \psi(x)}{d x}-\psi(x)-x \frac{d \psi(x)}{d x}\right)=i \hbar \psi(x) \nonumber\]

A partir del\([\hat{x}, \hat{p}] \psi(x)=i \hbar \psi(x) \) cual es válido para todos\( \psi(x)\) podemos escribir

\[\boxed{[\hat{x}, \hat{p}]=i \hbar }\nonumber\]

Considerando ahora el caso 3D, escribimos los componentes de posición como\(\left\{r_{x}, r_{y} r_{z}\right\} \). Entonces tenemos las relaciones del conmutador:

\[\boxed{\left[\hat{r}_{a}, \hat{p}_{b}\right]=i \hbar \delta_{a, b} }\nonumber\]

es decir, los componentes vectoriales en diferentes direcciones viajan (el conmutador es cero).

Propiedades de los Conmutadores

• Cualquier operador conmuta con escalares\([A, a]=0\)
• [A, BC] = [A, B] C + B [A, C] y [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B
• Cualquier operador conmuta consigo mismo [A, A] = 0, con cualquier potencia de sí mismo [A, A ⁿ] = 0 y con cualquier función de sí mismo\([A, f(A)]=0\) (de propiedad anterior y con expansión de potencia de cualquier función).

De estas propiedades, tenemos que el hamiltoniano de la partícula libre conmuta con el impulso:\([p, \mathcal{H}]=0 \) ya que para la partícula libre\( \mathcal{H}=p^{2} / 2 m\). También,\(\left[x, p^{2}\right]=[x, p] p+p[x, p]=2 i \hbar p \).

Ahora demostramos un teorema importante que tendrá consecuencias sobre cómo podemos describir estados de un sistema, midiendo diferentes observables, así como cuánta información podemos extraer sobre los valores de expectativa de diferentes observables.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si A y B conmutan, entonces tienen un conjunto de funciones propias comunes no triviales.

Prueba

Dejar\(\varphi_{a}\) ser una función propia de A con valor propio a:

\[A \varphi_{a}=a \varphi_{a} \nonumber\]

Entonces

\[B A \varphi_{a}=a B \varphi_{a} \nonumber\]

Pero como [A, B] = 0 tenemos BA = AB. Sustituyamos en el LHS:

\[A\left(B \varphi_{a}\right)=a\left(B \varphi_{a}\right) \nonumber\]

Esto significa que (\( B \varphi_{a}\)) es también una función propia de A con el mismo valor propio a. Si\(\varphi_{a}\) es la única función propia linealmente independiente de A para el valor propio a, entonces\( B \varphi_{a}\) es igual\( \varphi_{a}\) a como máximo hasta una constante multiplicativa:\( B \varphi_{a} \propto \varphi_{a}\).

Es decir, podemos escribir

\[B \varphi_{a}=b_{a} \varphi_{a} \nonumber\]

Pero esta ecuación no es otra cosa que una ecuación de valor propio para B. Entonces también\( \varphi_{a}\) es una función propia de B con autovalor\( b_{a}\). Por lo tanto,\( \varphi_{a}\) se demostró que es una función propia común para los dos operadores A y B. ☐

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Acabamos de ver que el operador momentum conmuta con el hamiltoniano de una partícula libre. Entonces los dos operadores deberían compartir funciones propias comunes.

Este es efectivamente el caso, como podemos verificar. Considere las funciones propias para el operador de momentum:

\[\hat{p}\left[\psi_{k}\right]=\hbar k \psi_{k} \quad \rightarrow \quad-i \hbar \frac{d \psi_{k}}{d x}=\hbar k \psi_{k} \quad \rightarrow \quad \psi_{k}=A e^{-i k x} \nonumber\]

¿A qué se aplica el hamiltoniano\( \psi_{k}\)?

\[\mathcal{H}\left[\psi_{k}\right]=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2}\left(A e^{-i k x}\right)}{d x^{2}}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m} A e^{-i k x}=E_{k} \psi_{k} \nonumber\]

así encontramos que también\(\psi_{k} \) es una solución de la ecuación de valor propio para el hamiltoniano, es decir que también es una función propia para el hamiltoniano.

Observables de desplazamiento

Degeneración

En la prueba del teorema sobre los observables de desplazamiento y las funciones propias comunes tomamos un caso especial, en el que asumimos que el valor propio\(a\) era no degenerado. Es decir, afirmamos que\(\varphi_{a}\) era la única función propia linealmente independiente de A para el valor propio\(a\) (funciones como\(4 \varphi_{a}, \alpha \varphi_{a} \) no cuentan, ya que no son linealmente independientes de\(\varphi_{a} \)).

Definición: Degeneración

En general, un valor propio es degenerado si hay más de una función propia que tiene el mismo valor propio. La degeneración de un valor propio es el número de funciones propias que comparten ese valor propio.

Por ejemplo\(a\) es\(n\) -degenerado si hay\(n\) función propia\( \left\{\varphi_{j}^{a}\right\}, j=1,2, \ldots, n\), tal que\( A \varphi_{j}^{a}=a \varphi_{j}^{a}\).

¿Qué pasa si relajamos la suposición de que el valor propio no\(a\) es degenerado en el teorema anterior? Considere, por ejemplo, que hay dos funciones propias asociadas con el mismo valor propio:

\[A \varphi_{1}^{a}=a \varphi_{1}^{a} \quad \text { and } \quad A \varphi_{2}^{a}=a \varphi_{2}^{a} \nonumber\]

entonces cualquier combinación lineal\(\varphi^{a}=c_{1} \varphi_{1}^{a}+c_{2} \varphi_{2}^{a} \) es también una función propia con el mismo valor propio (hay una infinidad de tales funciones propias). Desde la igualdad aún\(A\left(B \varphi^{a}\right)=a\left(B \varphi^{a}\right)\) podemos afirmar que (\( B \varphi^{a}\)) es una función propia de A pero no sabemos cuál. Lo más general, existen\(\tilde{c}_{1}\) y\(\tilde{c}_{2}\) tal que

\[B \varphi_{1}^{a}=\tilde{c}_{1} \varphi_{1}^{a}+\tilde{c}_{2} \varphi_{2}^{a} \nonumber\]

pero en general\( B \varphi_{1}^{a} \not \alpha \varphi_{1}^{a}\), o no\(\varphi_{1}^{a} \) es una función propia de B también.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Consideremos nuevamente las funciones propias de energía de la partícula libre. A cada energía\(E=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m} \) se asocian dos funciones propias linealmente independientes (el valor propio es doblemente degenerado). Podemos elegir por ejemplo\( \varphi_{E}=e^{i k x}\) y\(\varphi_{E}=e^{-i k x} \). Observe que estas son también funciones propias del operador de impulso (con valores propios ±k). Si hubiéramos elegido en cambio como las funciones propias cos (kx) y sin (kx) estas no son funciones propias de\(\hat{p}\).

Teorema\(\PageIndex{2}\)

En general, siempre es posible elegir un conjunto de funciones propias (linealmente independientes) de A para el valor propio de\(a\) tal manera que también sean funciones propias de B.

Para el momento/hamiltoniano por ejemplo tenemos que elegir las funciones exponenciales en lugar de las funciones trigonométricas. Además, si el valor propio de A es degenerado, es posible etiquetar sus correspondientes funciones propias por el valor propio de B, elevando así la degeneración. Por ejemplo, hay dos funciones propias asociadas con la energía E:\(\varphi_{E}=e^{\pm i k x} \). Podemos distinguir entre ellos etiquetándolos con su propio valor de impulso\(\pm k\):\( \varphi_{E,+k}=e^{i k x}\) y\(\varphi_{E,-k}=e^{-i k x} \).

Prueba

Supongamos ahora que tenemos un valor propio\(a\) con una degeneración\(n\) -fold tal que existe funciones propias\(n\) independientes\(\varphi_{k}^{a}\), k = 1,.., n Cualquier combinación lineal de estas funciones también es una función propia\(\tilde{\varphi}^{a}=\sum_{k=1}^{n} \tilde{c}_{k} \varphi_{k}^{a}\). Para cualquiera de estas funciones propias (tomemos la\( h^{t h}\) una) podemos escribir:

\[B\left[A\left[\varphi_{h}^{a}\right]\right]=A\left[B\left[\varphi_{h}^{a}\right]\right]=a B\left[\varphi_{h}^{a}\right] \nonumber\]

por lo que\( \bar{\varphi}_{h}^{a}=B\left[\varphi_{h}^{a}\right]\) es una función propia de A con valor propio a. Entonces esta función se puede escribir en términos de\( \left\{\varphi_{k}^{a}\right\}\):

\[B\left[\varphi_{h}^{a}\right]=\bar{\varphi}_{h}^{a}=\sum_{k} \bar{c}_{h, k} \varphi_{k}^{a} \nonumber\]

Esta notación deja claro que\( \bar{c}_{h, k}\) es un tensor (una matriz n × n) que opera una transformación de un conjunto de funciones propias de A (elegidas arbitrariamente) a otro conjunto de funciones propias. Podemos escribir una ecuación de valor propio también para este tensor,

\[\bar{c} v^{j}=b^{j} v^{j} \quad \rightarrow \quad \sum_{h} \bar{c}_{h, k} v_{h}^{j}=b^{j} v^{j} \nonumber\]

donde los vectores propios\(v^{j} \) son vectores de longitud\( n\).

Si ahora definimos las funciones\( \psi_{j}^{a}=\sum_{h} v_{h}^{j} \varphi_{h}^{a}\), tenemos que\( \psi_{j}^{a}\) son, por supuesto, funciones propias de A con valor propio a.

\[B\left[\psi_{j}^{a}\right]=\sum_{h} v_{h}^{j} B\left[\varphi_{h}^{a}\right]=\sum_{h} v_{h}^{j} \sum_{k=1}^{n} \bar{c}_{h, k} \varphi_{k}^{a} \nonumber\]

\[=\sum_{k} \varphi_{k}^{a} \sum_{h} \bar{c}_{h, k} v_{h}^{j}=\sum_{k} \varphi_{k}^{a} b^{j} v_{k}^{j}=b^{j} \sum_{k} v_{k}^{j} \varphi_{k}^{a}=b^{j} \psi_{j}^{a} \nonumber\]

Por lo tanto, hemos demostrado que\( \psi_{j}^{a}\) son funciones propias de B con valores propios\(b^{j} \). \( \psi_{j}^{a}\)Son funciones propias simultáneas tanto de A como de B.

Considera el conjunto de funciones\( \left\{\psi_{j}^{a}\right\}\). Desde el punto de vista de A no son distinguibles, todos tienen el mismo valor propio por lo que son degenerados. Teniendo en cuenta un segundo operador B, podemos levantar su degeneración etiquetándolos con el índice j correspondiente al valor propio de B (\(b^{j}\)).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que elegimos\( \varphi_{1}=\sin (k x)\) y\( \varphi_{2}=\cos (k x)\) como las funciones propias degeneradas de\( \mathcal{H}\) con el mismo valor propio\( E_{k}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}\). Ahora queremos encontrar con este método las funciones propias comunes de\(\hat{p} \). Primero necesitamos encontrar la matriz\( \bar{c}\) (aquí una matriz 2×2), aplicando\( \hat{p}\) a las funciones propias.

\[ \hat{p} \varphi_{1}=-i \hbar \frac{d \varphi_{1}}{d x}=i \hbar k \cos (k x)=-i \hbar k \varphi_{2} \nonumber\]

y\( \hat{p} \varphi_{2}=i \hbar k \varphi_{1}\). Entonces la matriz\( \bar{c}\) es:

\ [\ bar {c} =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & i\ hbar k\\
-i\ hbar k & 0
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

con valores propios\( \) y vectores propios (no normalizados)

\ [v^ {1} =\ left [\ begin {array} {l}
-i\\
1
\ end {array}\ right],\ quad v^ {2} =\ left [\ begin {array} {l}
i\\
1
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Luego escribimos\(\psi\) las funciones propias:

\[\psi^{1}=v_{1}^{1} \varphi_{1}+v_{2}^{1} \varphi_{2}=-i \sin (k x)+\cos (k x) \propto e^{-i k x}, \quad \psi^{2}=v_{1}^{2} \varphi_{1}+v_{2}^{2} \varphi_{2}=i \sin (k x)+\cos (k x) \propto e^{i k x} \nonumber\]

Juego completo de observables de desplazamiento

Hemos visto que si un valor propio es degenerado, se le asocia más de una función propia. Entonces, si medimos la A observable obteniendo\(a\) aún no sabemos cuál es el estado del sistema después de la medición. Si tomamos otra B observable que conmuta con A podemos medirla y obtenerla\(b\). Así hemos adquirido alguna información extra sobre el estado, ya que sabemos que ahora se encuentra en un estado propio común tanto de A como de B con los valores propios\(a\) y\(b\). Aún así, esto podría no ser suficiente para definir completamente al estado, si hay más de un estado\( \varphi_{a b} \). Entonces podemos buscar otra C observable, que conmute tanto con A como con B y así sucesivamente, hasta que encontremos un conjunto de observables tales que al medirlos y obtener los valores propios a, b, c, d,. la función\(\varphi_{a b c d \ldots} \) se define de manera única. Entonces el conjunto de operadores {A, B, C, D,.} se llama un conjunto completo de observables de desplazamiento. Los valores propios a, b, c, d,.. que especifican el estado se denominan buenos números cuánticos y el estado se escribe en notación Dirac como\(|a b c d \ldots\rangle \).

Obs. El conjunto de desplazamientos observables no es único.

Principio de incertidumbre

Incertidumbre para las olas

El principio de incertidumbre, del que probablemente ya has oído hablar, no se encuentra solo en QM. Considera por ejemplo la propagación de una onda. Si sacudes rítmicamente una cuerda, generas una onda estacionaria, que no se localiza (¿dónde está la ola??) pero tiene una longitud de onda bien definida (y por lo tanto un impulso).

Figura\(\PageIndex{3}\): Una onda con una longitud de onda bien definida pero sin posición bien definida (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Si en cambio das un imbécil repentino, creas un wavepacket bien localizado. Ahora sin embargo la longitud de onda no está bien definida (ya que tenemos una superposición de ondas con muchas longitudes de onda). Por lo tanto, la posición y la longitud de onda no pueden definirse bien al mismo tiempo. En QM expresamos este hecho con una desigualdad que involucra posición e impulso\( p=\frac{2 \pi \hbar}{\lambda}\). Entonces tenemos\( \sigma_{x} \sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2}\). Ahora vamos a expresar estas ideas de una manera más rigurosa.

Figura\(\PageIndex{4}\): Un paquete de ondas con una posición bien definida pero sin longitud de onda bien definida. (De Griffith) (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Mediciones repetidas

Recordemos que el tercer postulado establece que después de una medición la función de onda colapsa a la función propia del valor propio observado.

Supongamos que hago dos mediciones del mismo operador A una tras otra (sin evolución, o tiempo para modificar el sistema entre mediciones). En la primera medición obtengo el resultado\( a_{k}\) (un valor propio de A). Entonces para que QM sea consistente, debe sostener que la segunda medición también me da la misma respuesta\( a_{k}\). ¿Cómo es esto posible? Sabemos que si el sistema está en el estado\( \psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k}\), con\( \varphi_{k}\) la función propia correspondiente al valor propio\(a_{k} \) (supongamos que no hay degeneración por simplicidad), la probabilidad de obtener\(a_{k} \) es\( \left|c_{k}\right|^{2}\). Si quiero imponer eso\( \left|c_{k}\right|^{2}=1\), debo establecer la función de onda después de la medición para que sea\(\psi=\varphi_{k} \) (ya que todas las demás\( c_{h}, h \neq k\) son cero). Este es el llamado colapso de la función de onda. No es un accidente misterioso, sino que es una prescripción que asegura que la QM (y los resultados experimentales) sean consistentes (así se incluye en uno de los postulados).

Consideremos ahora el caso en el que hacemos dos mediciones sucesivas de dos operadores diferentes, A y B. Primero medimos A y obtenemos\( a_{k}\). Ahora sabemos que el estado del sistema después de la medición debe ser\( \varphi_{k}\). Ahora tenemos dos posibilidades.

Si [A, B] = 0 (los dos operadores conmutan, y nuevamente por simplicidad asumimos que no hay degeneración) entonces también\(\varphi_{k} \) es una función propia de B. Entonces, cuando medimos B obtenemos el resultado\(b_{k} \) con certeza. No hay incertidumbre en la medición. Si vuelvo a medir A, seguiría obteniendo\(a_{k} \). Si invirtió el orden de las mediciones, habría obtenido el mismo tipo de resultados (siempre se desconoce el resultado de la primera medición, a menos que el sistema ya se encuentre en un estado propio de los operadores).

Esto no es tan sorprendente si consideramos el punto de vista clásico, donde las mediciones no son de naturaleza probabilística.

El segundo escenario es si\( [A, B] \neq 0 \). Entonces, no\(\varphi_{k} \) es una función propia de B sino que en su lugar se puede escribir en términos de funciones propias de B,\( \varphi_{k}=\sum_{h} c_{h}^{k} \psi_{h}\) (donde\(\psi_{h} \) están las funciones propias de B con valor propio\( b_{h}\)). Una medición de B no tiene un resultado determinado. Obtendríamos\(b_{h}\) con probabilidad\( \left|c_{h}^{k}\right|^{2}\).

Existe entonces una incertidumbre intrínseca en la medición sucesiva de dos observables no transitorios. Además, los resultados de mediciones sucesivas de A, B y A nuevamente, son diferentes si cambio el orden B, A y B.

Significa que si trato de conocer con certeza el resultado del primer observable (por ejemplo preparándolo en una función propia) tengo una incertidumbre en el otro observable. Vimos que esta incertidumbre está ligada al conmutador de los dos observables. Esta afirmación se puede hacer más precisa.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Definir C = [A, B] y ΔA y ΔB la incertidumbre en los resultados de medición de A y B:\( \Delta A^{2}= \left\langle A^{2}\right\rangle-\langle A\rangle^{2}\), donde\( \langle\hat{O}\rangle\) está el valor de expectativa del operador\(\hat{O} \) (es decir, el promedio sobre los posibles resultados, para un estado dado:\( \langle\hat{O}\rangle=\langle\psi|\hat{O}| \psi\rangle=\sum_{k} O_{k}\left|c_{k}\right|^{2}\)).

Entonces:

\[\boxed{\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle C\rangle| }\nonumber\]

Este es el Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

El ejemplo más importante es la relación de incertidumbre entre posición e impulso. Sabemos que estos dos operadores no viajan y su conmutador lo es\([\hat{x}, \hat{p}]=i \hbar \). Entonces

\[\boxed{\Delta \hat{x} \Delta \hat{p} \geq \frac{\hbar}{2} }\nonumber\]