2.4: Problema del valor propio de la energía

El operador energético se llama hamiltoniano. El primer postulado afirmaba que la dependencia temporal de la función ondaestá dictada por la ecuación de Schrödinger:

\[i \hbar \frac{\partial \psi(\vec{x}, t)}{\partial t}=\mathcal{H} \psi(\vec{x}, t) \nonumber\]

Si asumimos que\( \psi(\vec{x}, t)\) es el producto de una parte T (t) dependiente del tiempo y otra independiente del tiempo\(\varphi(\vec{x}) \), podemos intentar resolver la ecuación mediante la separación de variables. A partir de\(\psi(\vec{x}, t)=T(t) \varphi(\vec{x}) \), podemos reescribir la ecuación de Schrödinger (usando el hecho de que\( \mathcal{H}\) no cambia T (t)):

\[i \hbar \frac{\partial T(t) \varphi(\vec{x})}{\partial t}=\mathcal{H}[T(t) \varphi(\vec{x}, t)] \quad \rightarrow \quad \varphi(\vec{x}) \cdot i \hbar \frac{\partial T(t)}{\partial t}=T(t) \cdot \mathcal{H}[\varphi(\vec{x}, t)] \nonumber\]

y reorganizamos los términos en función de su dependencia de t o\( \vec{x}\)

\[\frac{1}{T(t)} i \hbar \frac{\partial T(t)}{\partial t}=\frac{1}{\varphi(\vec{x})} \mathcal{H}[\varphi(\vec{x}, t)] \nonumber\]

Cada lado tiene que ser igual a una constante, para que la igualdad se mantenga. Luego, la función de onda independiente del tiempo obedece a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

\[\boxed{\mathcal{H} \varphi(\vec{x})=E \varphi(\vec{x})} \nonumber\]

donde E se identifica como la energía del sistema. Si la función de onda viene dada solo por su parte independiente del tiempo,\(\psi(\vec{x}, t)=\varphi(\vec{x})\), el estado es estacionario. Así, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo nos permite encontrar estados estacionarios del sistema, dado un cierto hamiltoniano.

Observe que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo no es otra cosa que la ecuación de valor propio para el operador hamiltoniano. Por lo tanto, resulta particularmente interesante estudiar los valores propios y las funciones propias de este operador (que, como se dijo, corresponden a las energías y estados estacionarios del sistema) ⁵.

En general, la función de onda que describe el estado de un sistema cuántico no lo es.

La energía de una partícula tiene contribuciones de la energía cinética así como de la energía potencial:

\[E=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+V(x, y, z) \nonumber\]

En la mecánica cuántica podemos encontrar el operador equivalente sustituyendo los operadores cuánticos por la posición y el impulso en la expresión anterior:

\[\mathcal{H}=\frac{1}{2 m}\left(\hat{p}_{x}^{2}+\hat{p}_{y}^{2}+\hat{p}_{z}^{2}\right)+V(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}) \nonumber\]

o más explícitamente:

\[\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)+V(x, y, z) \nonumber\]

y en una forma compacta

\[\boxed{\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+V(x, y, z) }\nonumber\]

(Observe que V (x, y, z) es solo un operador multiplicativo, de la misma manera que lo es la posición).

Nota

5 Quiero aclarar la distinción entre funciones propias y funciones de onda. En esta clase nos interesan ambos. Las funciones propias están relacionadas con un operador dado, y son las soluciones a la ecuación de valor propio para ese operador. Son importantes ya que forman una base y nos permiten calcular la probabilidad de obtener un resultado de medición dado. La función de onda describe el estado del sistema cuántico. En general, no es una función propia. Sin embargo, si estamos considerando un estado estacionario, la función de onda que lo representa debe ser una función propia del operador hamiltoniano (energía). Así, en ese caso en particular solamente (¡que es un caso bastante común!) la función de onda también es una función propia.

Partícula libre

En 1D, para una partícula libre no hay energía potencial, sino solo energía cinética que podemos reescribir como:

\[\mathcal{H}=\frac{1}{2 m} p^{2}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \nonumber\]

El problema del valor propio\(\mathcal{H} w_{n}(x)=E_{n} w_{n}(x) \) es entonces la ecuación diferencial

\[ \mathcal{H} w_{n}(x)=E_{n} w_{n}(x) \rightarrow-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} w_{n}(x)}{\partial x^{2}}=E_{n} w_{n}(x) \nonumber\]

lo reescribimos como:

\[ \frac{\partial^{2} w_{n}(x)}{\partial x^{2}}+\frac{2 m E_{n}}{\hbar^{2}} w_{n}=0 \rightarrow \frac{\partial^{2} w_{n}(x)}{\partial x^{2}}+k_{n}^{2} w_{n}=0 \nonumber\]

donde usamos la identidad

\[\boxed{\frac{\hbar^{2} k_{n}^{2}}{2 m}=E_{n}} \nonumber\]

entre el valor propio de la energía cinética\( E_{n}\) y el número de onda\( k_{n}\) (y el momento\( p_{n}=\hbar k_{n}\)).

Para una partícula libre no hay restricción sobre las energías posibles,\(E_{n} \) puede ser cualquier número positivo. La solución al problema del valor propio es entonces la función propia:

\[w_{n}(x)=A \sin \left(k_{n} x\right)+B \cos \left(k_{n} x\right)=A^{\prime} e^{i k_{n} x}+B^{\prime} e^{-i k_{n} x} \nonumber\]

Vemos que hay dos funciones independientes para cada valor propio\(E_{n} \). También hay dos valores propios de momento distintos\(\pm k_{n} \) para cada valor propio de energía, que corresponden a dos direcciones diferentes de propagación de la función de onda\( e^{\pm i k_{n} x}\).