4.1: Problemas encuadernados

En el capítulo anterior estudiamos problemas estacionarios en los que el sistema se describe mejor como una onda (independiente del tiempo), “dispersión” y “tunelización” (es decir, mostrando variación en su intensidad) debido a obstáculos dados por cambios en la energía potencial.

Aunque el potencial determinó la función de onda dependiente del espacio, no se impuso ninguna limitación a los posibles números de onda y energías involucradas. Un número infinito de energías continuas fueron posibles soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

En este capítulo, queremos describir sistemas que mejor se describen como partículas confinadas dentro de un potencial. Este tipo de sistema describe bien átomos o núcleos cuyos constituyentes están unidos por sus interacciones mutuas. Veremos que debido al confinamiento de partículas, las soluciones a la ecuación de valor propio de energía (es decir, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo) son ahora solo un conjunto discreto de valores posibles (un conjunto discreto de niveles de energía). Por lo tanto, se cuantifica la energía. Correspondientemente, solo un conjunto discreto de funciones propias serán soluciones, por lo que el sistema, si está en estado estacionario, solo se puede encontrar en uno de estos autoestados permitidos.

Empezaremos a describir ejemplos sencillos. Sin embargo, después de aprender los conceptos relevantes (y trucos matemáticos) veremos cómo se utilizan estos mismos conceptos para predecir y describir la energía de los átomos y núcleos. Esta teoría puede predecir, por ejemplo, el espectro de emisión discreto de átomos y la energía de unión nuclear.

Energía en Pozo Infinito Cuadrado (partícula en una caja)

El sistema más simple a analizar es una partícula en una caja: clásicamente, en 3D, la partícula se pega dentro de la caja y nunca puede salir. Otra analogía clásica sería una pelota en el fondo de un pozo tan profundo que no importa cuánta energía cinética posea la pelota, nunca podrá salir del pozo.

Consideramos nuevamente una partícula en un espacio 1D. Sin embargo ahora la partícula ya no es libre para desplazarse sino que está confinada para estar entre las posiciones 0 y L. Para confinar la partícula debe haber una fuerza infinita en estos límites que repele la partícula y la obligue a permanecer solo en el espacio permitido. Correspondientemente debe haber un potencial infinito en la región prohibida.

Así la función potencial es como se representa en la Figura\(\PageIndex{2}\): V (x) = ∞ para x < 0 and x > L; y V (x) = 0 para 0 ≤ x ≤ L. Esta última condición significa que la partícula se comporta como una partícula libre dentro del pozo (o caja) creada por el potencial.

Figura\(\PageIndex{1}\): Potencial de un pozo infinito (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Entonces podemos escribir el problema del valor propio de la energía dentro del pozo:

\[\mathcal{H}\left[w_{n}\right]=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} w_{n}(x)}{\partial x^{2}}=E_{n} w_{n}(x) \nonumber\]

Fuera del pozo no podemos escribir una ecuación adecuada por las infinidades. Todavía podemos establecer los valores de\( w_{n}(x)\) en los límites 0, L. Físicamente, esperamos\( w_{n}(x)=0\) en la región prohibida. De hecho, sabemos que\(\psi(x)=0\) en la región prohibida (ya que la partícula tiene cero probabilidades de estar ahí) ⁶. Entonces, si escribimos alguna\(\psi(x)\) en términos de las funciones propias de la energía,\(\psi(x)=\sum_{n} c_{n} w_{n}(x) \) esto tiene que ser cero\(\forall c_{n} \) en la región prohibida, así el\( w_{n}\) tiene que ser cero.

En los límites podemos escribir así las condiciones de contorno ⁷:

\[w_{n}(0)=w_{n}(L)=0 \nonumber\]

Podemos resolver el problema del valor propio dentro del pozo como hecho para la partícula libre, obteniendo las funciones propias

\[w_{n}^{\prime}(x)=A^{\prime} e^{i k_{n} x}+B^{\prime} e^{-i k_{n} x},\nonumber\]

con valores propios\( E_{n}=\frac{\hbar^{2} k_{n}^{2}}{2 m}\).

Es más fácil resolver las condiciones de contorno considerando en su lugar:

\[w_{n}(x)=A \sin \left(k_{n} x\right)+B \cos \left(k_{n} x\right) \nonumber\]

Contamos con:

\[w_{n}(0)=A \times 0+B \times 1=B=0 \nonumber\]

Así de\( w_{n}(0)=0\) tenemos que B = 0. La segunda condición establece que

\[w_{n}(L)=A \sin \left(k_{n} L\right)=0 \nonumber\]

La segunda condición por lo tanto no establece el valor de A (que se puede hacer por la condición de normalización). Para satisfacer la condición, en cambio, tenemos que establecer

\[k_{n} L=n \pi \rightarrow k_{n}=\frac{n \pi}{L} \nonumber\]

para el entero n. Esta condición entonces, por turnos, establece los valores permitidos para las energías:

\[E_{n}=\frac{\hbar^{2} k_{n}^{2}}{2 m}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}} n^{2} \equiv E_{1} n^{2} \nonumber\]

donde establecemos\( E_{1}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}\) y n se llama un número cuántico (asociado con el valor propio de la energía). A partir de esto, vemos que sólo se permiten algunos valores de las energías. Todavía hay un número infinito de energías, pero ahora no son un conjunto continuo. Nosotros decimos que las energías están cuantificadas. La cuantificación de las energías (primero las energías fotónicas en la radiación de cuerpo negro y el efecto fotoeléctrico, luego las energías de electrones en el átomo) es lo que dio nombre a la mecánica cuántica. Sin embargo, como vimos a partir de los problemas de dispersión en el capítulo anterior, la cuantificación de energías no es una propiedad general de los sistemas mecánicos cuánticos. Aunque esto es común (y la regla cada vez que la partícula está unida, o confinada en una región por un potencial) la cuantificación es siempre consecuencia de una característica particular del potencial. Existen potenciales (como para la partícula libre, o en general para las partículas no unidas) donde las energías no se cuantifican y sí forman un continuo (como en el caso clásico).

Nota

6 Obsérvese que esto es cierto porque el potencial es infinito. La función de valor propio de energía (para el operador hamiltoniano) siempre es válida. La única manera de que la ecuación sea válida fuera del pozo es si\(w_{n}(x)=0\).

7 Obsérvese que en este caso no podemos exigir que la primera derivada sea continua, ya que el potencial se convierte en límite infir. En los casos que examinamos para describir la dispersión, el potencial solo tuvo discontinuidad de primer tipo.

Figura\(\PageIndex{2}\): Niveles de energía cuantificados (E _n para n = 0 − 4) en rojo. Además, en verde la distribución de probabilidad de posición\(\left|w_{n}(x)\right|^{2}\) (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Finalmente calculamos la normalización de las funciones propias de la energía:

\[\int_{-\infty}^{\infty} d x\left|w_{n}\right|^{2}=1 \rightarrow \int_{0}^{L} A^{2} \sin \left(k_{n} x\right)^{2} d x=\frac{L}{2} A^{2}=1 \quad \rightarrow \quad A=\sqrt{\frac{2}{L}} \nonumber\]

Observe que debido a que el sistema está ligado dentro de una región bien definida del espacio, la condición de normalización tiene ahora un significado físico muy claro (y así debemos aplicarlo siempre): si el sistema está representado por una de las funciones propias (y por lo tanto es estacionario) sabemos que debe encontrarse en algún lugar entre 0 y L. Así, la probabilidad de encontrar el sistema en algún lugar de esa región debe ser una. Esto corresponde a la condición\( \int_{0}^{L} p(x) d x=1\) o\( \int_{0}^{L}|\psi(x)|^{2} d x=1\).

Por último, tenemos

\[\boxed{w_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin k_{n} x, \quad k_{n}=\frac{n \pi}{L}, \quad E_{n}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}} n^{2}} \nonumber\]

Ahora supongamos que una partícula está en un estado propio de energía, es decir\( \psi(x)=w_{n}(x)\) para algunos n:\( \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\). Trazamos en la Figura\(\PageIndex{3}\) algunas posibles funciones de onda.

Figura\(\PageIndex{3}\): Funciones propias de energía. Azul: n=1, Malva n=2, Marrón n=10, Verde n=100 (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Considere, por ejemplo, n = 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Qué rinde una medición de energía? ¿Cuál es la probabilidad de esta medición?

Contestar

(\(E=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m}\)con probabilidad 1)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¿Qué produce una medición de posición? ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la partícula a 0 ≤ x ≤ L? y a x = 0, L?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

¿Cuál es la diferencia de energía entre n y n + 1 cuando n → ∞? Y ¿qué pasa con la probabilidad de posición\(\left|w_{n}\right|^{2}\) en general n? ¿Qué dice eso de un posible límite clásico?

Contestar

En el límite de grandes números cuánticos o pequeña longitud de onda DeBroglie\(\lambda \propto 1 / k\) en promedio la descripción mecánica cuántica recupera la clásica (principio de correspondencia de Bohr).

Pozo Cuadrado Finito

Consideramos ahora un potencial muy similar al estudiado para la dispersión (comparar la Figura 3.2.2 con la Figura\(\PageIndex{4}\)), pero que representa una situación completamente diferente. La imagen física modelada por este potencial es la de una partícula unida. Específicamente si consideramos el caso donde la energía total de la partícula E ₂ < 0 es negativa, entonces clásicamente esperaríamos que la partícula quedara atrapada dentro del pozo potencial. Esto es similar a lo que ya vimos al estudiar el pozo infinito. Aquí sin embargo la altura del pozo es finita, por lo que veremos que la solución mecánica cuántica permite una penetración finita de la función ondulada en la región clásicamente prohibida.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

¿Cuál es el comportamiento esperado de una partícula clásica? (considera por ejemplo a un snowboarder en media pipa. Si no tiene suficiente velocidad no va a poder saltar por encima de la pendiente, y quedará confinada en su interior)

Figura\(\PageIndex{4}\): Potencial de un pozo finito. El potencial es distinto de cero e igual a −V _H en la región −a ≤ x ≤ a. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Para una partícula mecánica cuántica queremos en cambio resolver la ecuación de Schrödinger. Consideramos dos casos. En el primer caso, la energía cinética siempre es positiva:

\ [\ mathcal {H}\ psi (x) =-\ frac {^ {2} d^ {2}} {2 m d x^ {2}}\ psi (x) +V (x)\ psi (x) =E\ psi (x)\ fila derecha\ izquierda\ {\ comenzar {matriz} {l}
-\ frac {\ hbar^ {2}} {2 m}\ frac {d^ {2}\ psi (x)} {d x^ {2}} =E\ psi (x)\ text {en la Región I}\\
-\ frac {\ hbar^ {2}} {2 m}\ frac {d^ {2}\ psi (x)} {d x^ {2}} =\ izquierda (E+V_ {H}\ derecha)\ psi (x)\ text {en la Región II}\\
-\ frac {\ hbar^ {2}} {2 m}\ frac {d^ {2}\ psi (x)} {d x^ {2}} =E\ psi (x)\ text {en la Región III}
\ end {array}\ derecha. \ nonumber\]

por lo que esperamos encontrar una solución en cuanto a olas viajeras. Esto no es tan interesante, solo observamos que esto describe el caso de una partícula no unida. Las soluciones serán similares a las soluciones de dispersión (ver demostración de Mathematica). En el segundo caso, la energía cinética es mayor que cero para\(|x| \leq a\) y negativa en caso contrario (ya que la energía total es negativa). Observe que configuré E para que sea una cantidad positiva, y la energía del sistema es −E. También asumimos que E < V _H. Las ecuaciones se reescriben así como:

\ [\ mathcal {H}\ psi (x) =-\ frac {^ {2} d^ {2}} {2 m d x^ {2}}\ psi (x) +V (x)\ psi (x) =E\ psi (x)\ fila derecha\ izquierda\ {\ comenzar {matriz} {l}
-\ frac {\ hbar^ {2}} {2 m}\ frac {d^ {2}\ psi (x)} {d x^ {2}} =-E\ psi (x)\ text {en la Región I}\\
-\ frac {\ hbar^ {2}} {2 m}\ frac {d^ {2}\ psi^ {2}\ psi (x)} {d x^ {2}} =\ izquierda (V_ {H} -E \ derecha)\ psi (x)\ texto {en la Región II}\\
-\ frac {\ hbar^ {2}} {2 m}\ frac {d^ {2}\ psi (x)} {d x^ {2}} =-E\ psi (x)\ text {en la Región III}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Entonces se esperan olas dentro del pozo y un impulso imaginario (que arroja exponencialmente una probabilidad de descomposición de encontrar la partícula) en las regiones exteriores. Más precisamente, en las 3 regiones encontramos:

\[\begin{array}{lll} \text { Region I } &\qquad \quad \text { Region II } & \quad \text { Region III } \\ k^{\prime}=i \kappa, & \quad \quad k=\sqrt{\frac{2 m\left(V_{H}+E_{2}\right)}{\hbar^{2}}} & \quad k^{\prime}=i \kappa \\ \kappa=\sqrt{\frac{-2 m E_{2}}{\hbar^{2}}}=\sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^{2}}} & \quad\quad \quad =\sqrt{\frac{2 m\left(V_{H}-E\right)}{\hbar^{2}}} & \quad \kappa=\sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^{2}}} \end{array} \nonumber\]

Figura\(\PageIndex{5}\): cuna z (Rojo) y z cuna z (Negro) (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Y la función de onda es

\ [\ begin {array} {ccc}
\ text {Región I} &\ text {Región II} &\ text {Región III}\\
C^ {\ prime} e^ {-\ kappa|x|} & A^ {\ prime} e^ {i k x} +B^ {\ prime} e^ {-i k x} y D^ {\ prime} e^ {-\ kappa x} fin
\ {matriz}\ nonumber\]

(Observe que en la primera región puedo escribir cualquiera\(C^{\prime} e^{-\kappa|x|} \) o\( C^{\prime} e^{\kappa x}\). La primera notación deja claro que tenemos una decadencia exponencial). Ahora queremos hacer coincidir las condiciones de contorno para poder encontrar los coeficientes. También, recordamos desde el pozo infinito que las condiciones límite nos dieron no el coeficiente A, B sino una condición sobre los valores permitidos de la energía. Esperamos algo similar aquí, ya que el caso infinito es apenas un límite del presente caso.

Primero observamos que el potencial es una función par de x. El operador diferencial también es una función par de x. Entonces la solución tiene que ser impar o par para que la ecuación se mantenga. Esto significa que A y B tienen que elegirse de manera que\(\psi(x)=A^{\prime} e^{i k x}+B^{\prime} e^{-i k x} \) sea par o impar. Esto se arregla estableciendo\(\psi(x)=A \cos (k x)\) [solución par] o\( \psi(x)=A \sin (k x) \) [solución impar]. Aquí elijo la extraña solución,\(\psi(-x)=-\psi(x)\). Eso también establece\(C^{\prime}=-D^{\prime}\) y reescribimos esta constante como\(-C^{\prime}=D^{\prime}=C\).

Entonces tenemos:

\[\begin{aligned} & \qquad\text { Region I } \qquad \quad \text { Region II } \qquad \qquad \quad \text { Region III }\\ &\begin{array}{rcc} \psi(x)=-C e^{\kappa x} & \psi(x)=A \sin (k x) & \psi(x)=C e^{-\kappa x} \\ \psi^{\prime}(x)=-\kappa C e^{\kappa x} & \psi^{\prime}(x)=k A \cos (k x) & \psi^{\prime}(x)=-\kappa C e^{-\kappa x} \end{array} \end{aligned} \nonumber\]

Como sabemos que\(\psi(-x)=-\psi(x)\) (solución impar) podemos considerar la condición de coincidencia de límites solo en x = a.

Las dos ecuaciones son:

\ [\ left\ {\ begin {array} {l}
A\ sin (k a) =C e^ {-\ kappa a}\\
A k\ cos (k a) =-\ kappa C e^ {-\ kappa a}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Sustituyendo la primera ecuación por la segunda encontramos:\(A k \cos (k a)=-\kappa A \sin (k a)\). Entonces obtenemos una ecuación no para el coeficiente A (como fue el caso para el pozo infinito) sino una restricción sobre los valores propios\(k\) y\(\kappa\):

\[\boxed{\kappa=-k \cot (k a)} \nonumber\]

Esta es una condición sobre los valores propios que permite solo un subconjunto de soluciones. Esta ecuación no se puede resolver analíticamente, así buscamos una solución gráficamente (¡podría hacerse por supuesto numéricamente!).

Para ello, primero hacemos un cambio de variable, multiplicando ambos lados por a y estableciendo\(k a=z, \kappa a=z_{1}\). Observe que\(z_{1}^{2}=\frac{2 m E}{\hbar^{2}} a^{2}\) y\( z^{2}=\frac{2 m\left(V_{H}-E\right)}{\hbar^{2}} a^{2}\). Ajuste\(z_{0}^{2}=\frac{2 m V_{H} a^{2}}{\hbar^{2}}\), tenemos\( z_{1}^{2}=z_{0}^{2}-z^{2}\) o\(\kappa a=\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}\). Entonces podemos

Figura\(\PageIndex{6}\): Solución gráfica de la ecuación de valor propio. Izquierda: soluciones impares; Derecha: soluciones pares. Las curvas rojas de diferente tono son la función\(-\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}\) (izquierda) o\(\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}\) (derecha) para diferentes valores (crecientes) de\(z_{0} \). Los cruces (soluciones) están marcados por un punto negro. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Figura\(\PageIndex{7}\): Izquierda: Solución impar para el potencial de barrera finito, para dos profundidades de potencial. Estado de base de la función de onda. La función de onda es sinusoidal en la Región II (Negro) y una decadencia exponencial en las regiones I y III (Azul). Observe que para el potencial menos profundo (líneas discontinuas) la función de onda apenas “encaja” dentro del pozo. Derecha: Solución impar, para\(k\) vector más grande (mayor número cuántico), permitiendo dos oscilaciones. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

reescribir la ecuación\(\kappa a=-k a \cot (k a) \rightarrow z_{1}=-z \cot (z)\) como\(\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}=-z \cot (z)\), o:

\[\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}=-z \cot (z) \nonumber\]

Esta es una ecuación trascendental para\(z\) (y por lo tanto E) en función de\(z_{0}\), que da la profundidad del pozo (vía V _H). Para encontrar soluciones trazamos ambos lados de la ecuación y buscamos cruces. Es decir, trazamos\(y_{1}(z)=-\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}\), que representan un cuarto de círculo (ya que z es positivo) de radio\(z_{0}=\sqrt{\frac{2 m V_{H} a^{2}}{\hbar^{2}}}\) y\(y_{2}(z)=z \cot (z)\).

Observación 1

El coeficiente A (y por lo tanto C y D) se puede encontrar (una vez que las funciones propias se han encontrado numérica o gráficamente) imponiendo que la función propia se normaliza.

Observación 2

Observe que la primera curva roja nunca cruza las curvas azules. Eso quiere decir que no hay soluciones. Si no\(z_{0}<\pi / 2\) hay soluciones (Es decir, si el pozo es demasiado superficial no hay soluciones ligadas, la partícula puede escapar). Sólo si\(V_{H}>\frac{\hbar^{2}}{m a^{2}} \frac{\pi^{2}}{8} \) hay una solución encuadernada.

Observación 3

Hay un número finito de soluciones, dado un valor de\(z_{0}>\pi / 2\). Por ejemplo, porque solo\(\pi / 2 \leq z_{0} \leq 3 \pi / 2\) hay una solución, 2 para\(3 \pi / 2 \leq z_{0} \leq 5 \pi / 2\), etc.

Recuerda sin embargo que solo consideramos las soluciones extrañas. Una solución ligada siempre es posible si consideramos las soluciones pares., ya que la ecuación a resolver es

\[\kappa a=k a \tan (k a)=\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}} . \nonumber\]

De manera importante, encontramos que para la solución impar hay un tamaño mínimo del pozo potencial (ancho y profundidad) que soporta estados enlazados. ¿Cómo podemos estimar esta talla? Un estado unido requiere una energía total negativa, o una energía cinética menor que el potencial:\(E_{k i n}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}<V_{H}\). Esto plantea una restricción en el número de onda k y por lo tanto la longitud de onda,\(\lambda=\frac{2 \pi}{k} \).

\[\lambda \geq \frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m V_{H}}} \nonumber\]

Sin embargo, para satisfacer las condiciones límite (que conectan la función de onda oscilante a la de decaimiento exponencial) necesitamos ajustar al menos la mitad de una longitud de onda dentro del\(2a\) ancho del potencial,\(\frac{1}{2} \lambda \leq 2 a\). Luego obtenemos

Figura\(\PageIndex{8}\): Solución uniforme para el potencial de barrera finito. La función ondulada se encuentra\(\propto \cos (k x)\) en la Región II (Negro) y una decadencia exponencial en las regiones I y III (Azul). Izquierda: cualquier función de onda puede “encajar” en el pozo y satisfacer la condición de límite (no hay profundidad y ancho mínimos del pozo). Derecha, función de onda con un número cuántico mayor, mostrando dos oscilaciones una relación entre la profundidad potencial mínima y la anchura\[\frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m V_{H}}} \leq \lambda \leq 4 a \quad \rightarrow \quad V_{H} \geq \frac{\hbar^{2}}{m a^{2}} \frac{\pi^{2}}{8} \nonumber\] Aunque resolvimos un problema 1D, el pozo cuadrado representa también un problema 3D. Considera por ejemplo un pozo esférico en 3D: El potencial es cero dentro de una región de radio a y es V _H para r > a. entonces podemos reescribir la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en 3D para este potencial en coordenadas esféricas y usar la separación de variables\((\{r, \vartheta, \varphi\})\). Debido a la simetría, la función de onda es una constante en\(\vartheta\) y\(\varphi\), así tendremos que resolver solo una única ecuación diferencial para la variable radial, muy similar a la que se encuentra aquí. Luego debemos elegir la solución de paridad impar para obtener una función de onda finita a r = 0. Así, en 3D, solo las soluciones impares son posibles y necesitamos una profundidad de pozo potencial mínima para encontrar un estado de límite. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)