4.2: Mecánica cuántica en 3D - Momento angular

Ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas

Ahora volvemos a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

\[\left(-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+V(x, y, z)\right) \psi(x)=E \psi(x) \nonumber\]

Ya hemos estudiado algunas soluciones a estas ecuaciones —para potenciales específicos en una dimensión —. Ahora queremos resolver problemas de QM en 3D. En concreto, nos fijamos en problemas 3D donde el potencial\(V(\vec{x}) \) es isotrópico, es decir, solo depende de la distancia desde el origen. Entonces, en lugar de usar coordenadas cartesianas\(\vec{x}=\{x, y, z\} \), es conveniente usar coordenadas esféricas\( \vec{x}=\{r, \vartheta, \varphi\}\):

\ [\ left\ {\ begin {array} {l}
x=r\ sin\ vartheta\ cos\ varphi\\
y=r\ sin\ vartheta\ sin\ varphi\\
x=r\ cos\ vartheta
\ end {array}\ Leftrightarrow\ left\ {\ begin {array} {l}
r=\ sqrt {x^ {2} +y^ {2}} +z^ {2}}\\
\ vartheta=\ arctan\ izquierda (z/ \ sqrt {x^ {2} +y^ {2}}\ derecha)\\
\ varphi=\ arctan (y/x)
\ end {array}\ right. \ derecho. \ nonumber\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Coordenadas esféricas (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Primero, expresamos el Laplaciano\( \nabla^{2}\) en coordenadas esféricas:

\[\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} \nonumber\]

Para buscar soluciones, volvemos a utilizar la separación de métodos variables, escribiendo\(\psi(\vec{x})=\psi(r, \vartheta, \varphi)=R(r) Y(\vartheta, \varphi) \):

\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left[\frac{Y}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d R}{d r}\right)+\frac{R}{r^{2} \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial Y}{\partial \vartheta}\right)+\frac{R}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2} Y}{\partial \varphi^{2}}\right]+V(r) R Y=E R Y \nonumber\]

Luego dividimos por Ry/r ² y reorganizamos los términos como

\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left[\frac{1}{R} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d R}{d r}\right)\right]+r^{2}(V-E)=\frac{\hbar^{2}}{2 m Y}\left[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial Y}{\partial \vartheta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2} Y}{\partial \varphi^{2}}\right] \nonumber\]

Cada lado es una función de r solo y\(\vartheta, \varphi \), por lo que deben ser independientemente iguales a una constante C que establecemos (por razones que se verán más adelante) igual a\(C=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} l(l+1) \). Obtenemos dos ecuaciones:

\[\boxed{\frac{1}{R} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d R}{d r}\right)-\frac{2 m r^{2}}{2}(V-E)=l(l+1)} \nonumber\]

y

\[\boxed{\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial Y}{\partial \vartheta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2} Y}{\partial \varphi^{2}}=-l(l+1) Y }\nonumber\]

Esta última ecuación es la ecuación angular. Observe que puede considerarse una ecuación de valor propio para un operador\( \frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}\). ¿Cuál es el significado de este operador?

Operador de momento angular

Damos un paso atrás y miramos al operador de momento angular. Desde su forma clásica\(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p} \) podemos definir el operador QM:

\[\hat{\vec{L}}=\hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}}=-i \hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{\nabla}} \nonumber\]

En coordenadas cartesianas esto dice

\ [\ begin {array} {l}
\ hat {L} _ {x} =\ hat {y}\ hat {p} _ {z} -\ hat {p} _ {y} _ {y}\ hat {z} =-i\ hbar\ izquierda (y\ frac {\ parcial} {\ parcial} -\ frac {\ parcial} {\ parcial y} z\ derecha)\
\ hat {L} _ {y} =\ sombrero {z}\ sombrero {p} _ {x} -\ sombrero {p} _ {z}\ sombrero {x} =-i\ hbar\ izquierda (z\ frac {\ parcial} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ z parcial} x\ derecha)\\
\ sombrero {L} _ {z} =\ sombrero {x}\ sombrero {p} _ {y} -\ hat {p} _ {x}\ hat {y} =-i\ hbar\ izquierda (z\ frac {\ parcial} {\ parcial y} -\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ x} y\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

Algunas propiedades muy importantes de este vector operador se refieren a su conmutador. Considera por ejemplo\(\left[\hat{L}_{x}, \hat{L}_{y}\right] \):

\[\left[\hat{L}_{x}, \hat{L}_{y}\right]=\left[\hat{y} \hat{p}_{z}-\hat{p}_{y} \hat{z}, \hat{z} \hat{p}_{x}-\hat{p}_{z} \hat{x}\right]=\left[\hat{y} \hat{p}_{z}, \hat{z} \hat{p}_{x}\right]-\left[\hat{p}_{y} \hat{z}, \hat{z} \hat{p}_{x}\right]-\left[\hat{y} \hat{p}_{z}, \hat{p}_{z} \hat{x}\right]+\left[\hat{p}_{y} \hat{z}, \hat{p}_{z} \hat{x}\right] \nonumber\]

Ahora recuerda eso\(\left[x_{i}, x_{j}\right]=\left[p_{i}, p_{j}\right]=0 \) y\(\left[x_{i}, p_{j}\right]=i \delta_{i j} \). También\( [A B, C]=A[B, C]+[A, C] B\). Esto simplifica mucho las cosas

\[\left[\hat{L}_{x}, \hat{L}_{y}\right]=\hat{y}\left[\hat{p}_{z}, \hat{z}\right] \hat{p}_{x}-\enclose{horizontalstrike}{\left[\hat{p}_{y} \hat{z}, \hat{z} \hat{p}_{x}\right]}-\enclose{horizontalstrike}{\left[\hat{y} \hat{p}_{z}, \hat{p}_{z} \bar{x}\right]}+\hat{p}_{y}\left[\hat{z}, \hat{p}_{z}\right] \hat{x}=i \hbar\left(\hat{x} \hat{p}_{y}-\hat{y} \hat{p}_{x}\right)=i \hbar \hat{L}_{z} \nonumber\]

Al realizar una permutación cíclica de los índices, podemos demostrar que esto sostiene en general:

\[\boxed{\left[\hat{L}_{a}, \hat{L}_{b}\right]=i \hbar \hat{L}_{c}} \nonumber\]

Obs

Dado que los diferentes componentes del momento angular no se desplazan, no poseen valores propios comunes y existe una relación de incertidumbre para ellos. Si por ejemplo conozco con absoluta precisión el momento angular a lo largo de la dirección z, no puedo tener ningún conocimiento de los componentes a lo largo de x e y.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Cuál es la relación de incertidumbre para los componentes x e y?

\[\Delta L_{x} \Delta L_{y} \geq \frac{\hbar}{2}\left|\left\langle L_{z}\right\rangle\right| \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que conocemos con certeza el momento angular a lo largo de la dirección z. ¿Cuál es la incertidumbre en el momento angular en las direcciones x e y?

Responder

De las relaciones de incertidumbre\( \Delta L_{y} \Delta L_{z} \geq \frac{\hbar}{2}\left|\left\langle L_{x}\right\rangle\right|\),\(\Delta L_{x} \Delta L_{z} \geq \frac{\hbar}{2}\left|\left\langle L_{y}\right\rangle\right|\) y, tenemos que si\(\Delta L_{z}=0\) (conocimiento perfecto) entonces tenemos una incertidumbre completa en\( L_{x}\) y\(L_{y} \).

Obs.

Considere la longitud cuadrada del vector de momento angular\( \hat{L}^{2}=\hat{L}_{x}^{2}+\hat{L}_{y}^{2}+\hat{L}_{z}^{2}\). Podemos demostrar que\(\left[\hat{L}_{a}, \hat{L}^{2}\right]=0 \) (para\(a=\{x, y, z\}\)). Así siempre podemos conocer la longitud del momento angular más uno de sus componentes.

Por ejemplo, eligiendo el componente z, podemos representar el momento angular como un cono, de longitud\(\langle L\rangle \), proyección sobre el eje z\( \left\langle L_{z}\right\rangle\) y con completa incertidumbre de su proyección a lo largo de x e y.

Ahora expresamos el momento angular usando coordenadas esféricas. Esto simplifica particularmente cómo se expresa el momento\(\hat{L}_{z} \) angular azimutal:

\[ \hat{L}_{x}=i \hbar\left(\sin \varphi \frac{\partial}{\partial \vartheta}+\cot \vartheta \cos \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}\right), \nonumber\]

\[\hat{L}_{y}=-i \hbar\left(\cos \varphi \frac{\partial}{\partial \vartheta}-\cot \vartheta \sin \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}\right), \nonumber\]

\[\hat{L}_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \nonumber\]

La forma de\( \hat{L}^{2}\) debe ser familiar:

\[\hat{L}^{2}=-\hbar^{2}\left[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}\right] \nonumber\]

Figura\(\PageIndex{2}\): Representación gráfica del momento angular, con fijo\(L_{z}\) y L ², pero completa incertidumbre en\(L_{x}\) y\(L_{y}\). (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

ya que debes reconocer la parte angular de la ecuación 3D de Schrödinger. Entonces podemos escribir las ecuaciones de valor propio para estos dos operadores:

\[\hat{L}^{2} \Phi(\vartheta, \varphi)=\hbar^{2} l(l+1) \Phi(\vartheta, \varphi) \nonumber\]

y

\[\hat{L}_{z} \Phi(\vartheta, \varphi)=\hbar m_{z} \Phi(\vartheta, \varphi) \nonumber\]

donde ya usamos el hecho de que comparten funciones propias comunes (entonces, podemos etiquetar estas funciones propias por\(l\) y\(m_{z}: \Phi_{l, m_{z}}(\vartheta, \varphi)\).

Los valores permitidos para\(l\) y\(m_{z}\) son enteros tales que\(l=0,1,2, \ldots\) y\(m_{z}=-l, \ldots, l-1, l\). Este resultado se puede inferir de la relación de conmutación. Para los estudiantes interesados, la derivación se encuentra a continuación.

Derivación de los valores propios. Supongamos que los valores propios de L ² y\(L_{z}\) son desconocidos, y llamarlos\(\lambda\) y\(\mu\). Presentamos dos nuevos operadores, los operadores de elevación y bajada\(L_{+}=L_{x}+i L_{y}\) y\( L_{-}=L_{x}-i L_{y}\). El conmutador con\(L_{z} \) es\(\left[L_{z}, L_{\pm}\right]=\pm \hbar L_{\pm}\) (mientras que por supuesto viajan con L ²). Ahora considere la función\(f_{\pm}=L_{\pm} f\), donde\(f\) es una función propia de L ² y\(L_{z}\):

\[L^{2} f_{\pm}=L_{\pm} L^{2} f=L_{\pm} \lambda f=\lambda f_{\pm} \nonumber\]

y

\[L_{z} f_{\pm}=\left[L_{z}, L_{\pm}\right] f+L_{\pm} L_{z} f=\pm \hbar L_{\pm} f+L_{\pm} \mu f=(\mu \pm \hbar) f_{\pm} \nonumber\]

Entonces también\(f_{\pm}=L_{\pm} f\) es una función propia de L ² y\(L_{z}\). Además, podemos seguir encontrando funciones propias de\(L_{z}\) con valores propios mayores y mayores\(\mu^{\prime}=\mu+\hbar+\hbar+\ldots\), aplicando el\(L_{+}\) operador (o inferior e inferior con\(L_{-}\)), mientras que el valor propio L ² es fijo. Por supuesto que hay un límite, ya que queremos\(\mu^{\prime} \leq \lambda\). Entonces hay una función propia máxima tal que\(L_{+} f_{M}=0\) y establecemos el valor propio correspondiente a\(\hbar l_{M}\). Ahora observe que podemos escribir L ² en lugar de usar\(L_{x, y}\) usando\( L_{\pm}\):

\[L^{2}=L_{-} L_{+}+L_{z}^{2}+\hbar L_{z} \nonumber\]

Usando esta relación en\(f_{M} \) encontramos:

\[L^{2} f_{m}=\lambda f_{m} \quad \rightarrow \quad\left(L_{-} L_{+}+L_{z}^{2}+\hbar L_{z}\right) f_{M}=\left[0+\hbar^{2} l_{M}^{2}+\hbar\left(\hbar l_{M}\right)\right] f_{M} \quad \rightarrow \quad \lambda=\hbar^{2} l_{M}\left(l_{M}+1\right) \nonumber\]

De la misma manera, también hay un valor propio mínimo\( l_{m}\) y una función propia s.t.\(L_{-} f_{m}=0 \) y podemos encontrar\( \lambda=\hbar^{2} l_{m}\left(l_{m}-1\right)\). Ya que siempre\( \lambda\) es lo mismo, también tenemos\( l_{m}\left(l_{m}-1\right)=l_{M}\left(l_{M}+1\right)\), con solución\(l_{m}=-l_{M} \) (la otra solución tendría\( l_{m}>l_{M}\)). Finalmente hemos encontrado que los valores propios de\( L_{z}\) están entre\(+\hbar l \) y\( -\hbar l\) con incrementos enteros, de manera que\(l=-l+N \) dar\(l\) = N/2: es decir,\(l\) es un entero o un semientero. Así nos fijamos\( \lambda=\hbar^{2} l(l+1)\) y\(\mu=\hbar m, m=-l,-l+1, \ldots, l \). □

Podemos recopilar cierta intuición sobre los valores propios si resolvemos primero la segunda ecuación, encontrando

\[-i \hbar \frac{\partial \Phi_{l, m}}{\partial \varphi}=\hbar m_{z} \Phi(\vartheta, \varphi), \quad \Phi_{l, m}(\vartheta, \varphi)=\Theta_{l}(\vartheta) e^{i m_{z} \varphi} \nonumber\]

donde, debido a la periodicidad en solo\( \varphi, m_{z}\) puede tomar valores enteros (positivos y negativos) para que\(\Phi_{l m}(\vartheta, \varphi+2 \pi)=\Phi_{l m}(\vartheta, \varphi)\).

Si resolvemos la primera ecuación, encontraríamos para cada valor propio\(l\) hay muchas funciones propias. ¿Cuál es la degeneración del valor propio\(l\)? Sabemos que dado\(l, m_{z}\) puede tomar muchos valores (entre\(-l\) y\(l\)), en particular 2\(l\) + 1 valores. Esta es la degeneración de\(l\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

¿Cuáles son los valores posibles de\(\hat{L}_{x}\) if\(l\) = 7 y\(m_{z}\) = 5?

Sabemos que podemos definir números cuánticos de\(m_{x(y)}\) tal manera que tomen números enteros\(m_{x(y)}=-l, \ldots, l-1, l\). Además, tenemos la relación entre los valores de expectativa:

\[\left\langle\hat{L}^{2}\right\rangle=\left\langle\hat{L}_{x}^{2}+\hat{L}_{y}^{2}+\hat{L}_{z}^{2}\right\rangle \rightarrow l(l+1)=m_{z}^{2}+\left\langle\hat{L}_{x}^{2}+\hat{L}_{y}^{2}\right\rangle / \hbar^{2} \nonumber\]

así que en general

\[\left\langle\hat{L}_{x}^{2}\right\rangle \leq \hbar^{2}\left[l(l+1)-m_{z}^{2}\right] \nonumber\]

Entonces aquí tenemos

\[\left\langle\hat{L}_{x}^{2}\right\rangle \leq \hbar^{2}(56-25)=31 \hbar^{2} \nonumber\]

Si sólo\( \hat{L}_{x}\) pudiera tomar su valor máximo (con probabilidad uno) tendríamos\(\left\langle\hat{L}_{x}^{2}\right\rangle=\sum P_{i} L_{x, i}^{2}=L_{x, \max }^{2}\) así que tenemos\(L_{x, \max } \leq 5 \hbar\) (con 5 el entero más cercano a\(\sqrt{31}\)). A menudo, debido a la simetría, tenemos\(\left\langle\hat{L}_{x}^{2}\right\rangle=\left\langle\hat{L}_{y}^{2}\right\rangle\) y,

\[\left\langle\hat{L}_{x}^{2}\right\rangle=\hbar^{2}\left[l(l+1)-m_{z}^{2}\right] \big/ 2 \nonumber\]

restringiendo aún más el valor máximo de\(L_{x}\).

Momento angular de giro

La cuantificación del momento angular dio como resultado que el número cuántico de momento angular se definió por valores enteros. Hay otro operador cuántico que tiene la misma relación de conmutación que el momento angular pero no tiene contraparte clásica y puede asumir valores semienteros. Se llama el momento angular de giro intrínseco\(\hat{\vec{S}}\) (o para abreviar, giro). Debido a que no es una propiedad clásica, no podemos escribir spin en términos de operador de posición y momentum. El giro se define en un espacio de giro abstracto (no el espacio de fase habitual). Cada partícula elemental tiene un valor específico e inmutable del número cuántico de espín intrínseco s (con s determinando los valores propios de\(\hat{S}^{2}, \hbar^{2} s(s+1)\)), que llamamos el giro de esa especie en particular: los mesones pi tienen spin 0; los electrones tienen spin 1/2; los fotones tienen spin 1; los gravitones tienen spin 2; y así sucesivamente. Por el contrario, el número cuántico\(l\) de momento angular orbital de una partícula puede tomar a priori cualquier valor (entero) y\(l\) cambiará cuando el sistema se perturbe.

Los vectores propios de los operadores de espín no son armónicos esféricos. En realidad, dado que el giro no está definido en términos de posición e impulso, no son una función de la posición y no están definidos en el espacio de fase habitual. En cambio, los autoestados son descritos por vectores lineales, por ejemplo, vectores bidimensionales para el spin-\(\frac{1}{2}\). Así, los operadores estarán también representados por matrices.

Ya vimos a los operadores describiendo los\(\frac{1}{2}\) operadores de giro e incluso calculamos sus valores propios y vectores propios (ver sección 2.2).

Entonces también podemos definir el momento angular total, que es la suma del momento angular habitual (llamado momento angular orbital) y el giro:

\[\hat{\vec{J}}=\hat{\vec{L}}+\hat{\vec{S}} \nonumber\]

¿Cuál es el significado de la suma de dos operadores de momento angular y cuáles son los valores propios y las funciones propias de los operadores resultantes?

Adición de momento angular

Hemos visto anteriormente que cualquier partícula elemental posee un giro intrínseco. Entonces, siempre podemos definir el momento angular total como la suma del momento angular orbital y el giro intrínseco. Este es un ejemplo de adición de momento angular. Entonces por supuesto también podríamos considerar dos partículas distintas y preguntar cuál es el momento angular orbital total de las dos partículas (o de más partículas). Por lo tanto, hay muchos casos de adición de momento angular, por ejemplo:

1. \(\hat{\vec{J}}=\hat{\vec{L}}+\hat{\vec{S}}\)
2. \(\hat{\vec{L}}=\hat{\vec{L}}_{1}+\hat{\vec{L}}_{2}\)
3. \(\hat{\vec{J}}=\hat{\vec{J}}_{1}+\hat{\vec{J}}_{2}=\hat{\vec{L}}_{1}+\hat{\vec{S}}_{1}+\hat{\vec{L}}_{2}+\hat{\vec{S}}_{2}\)
4. \(\hat{\vec{S}}=\hat{\vec{S}}_{1}+\hat{\vec{S}}_{2}+\hat{\vec{S}}_{3}\)
5. ...

Consideremos por ejemplo el segundo caso. Un posible estado de las dos partículas puede ser descrito por los valores propios/funciones propias de cada momento angular de partícula. Por ejemplo podríamos especificar\(l_{1}\) y así\(m_{z}^{1}\) como\(l_{2}\) y\(m_{z}^{2}\) (voy a partir de ahora solo escribir\(m_{1}\) y\(m_{z}^{1}\) etc.). Entonces un estado podría ser escrito por ejemplo en la notación de Dirac como\(\left|l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2}\right\rangle\). Esto sin embargo no nos dice nada sobre el sistema total y su momento angular. En algún momento esta cantidad es más interesante (por ejemplo, si las dos partículas están interactuando, su momento angular total está obligado a determinar su energía, y no el estado de cada partícula sola).

Representaciones acopladas y desacopladas

La suma del momento angular satisface las reglas generales de conmutación,\(\left[L^{2}, L_{z}\right]=0,\left[L_{x}, L_{y}\right]=i L_{z}\) etc. entonces también podemos definir los valores propios (y las funciones propias) del momento angular total\(\hat{\vec{L}}\), por ejemplo\(l\) (para L ²) y m (para\(L_{z}\)). Sin embargo, dado que solo tenemos 2 números cuánticos, esperamos que las funciones propias sean degeneradas y aún necesitamos encontrar dos números cuánticos más. Equivalentemente, lo que tenemos que hacer es encontrar un conjunto completo de observables de desplazamiento, de tal manera que una función propia (común a todos estos observables) esté bien definida —sin ambigüedad en ella— por el conjunto de valores propios (o números cuánticos) de los observables.

La primera pregunta que podemos hacer es: ¿estas funciones propias van a estar en común con los operadores de partículas individuales? Para determinar esto, necesitamos mirar la conmutación de los operadores.

Ahora lo sabemos\(\left[L_{1}^{2}, L_{z, 1}\right]=0\), pero ¿y qué pasa\(\left[L^{2}, L_{z, 1}\right] \)?

Primero expresamos L ² explícitamente:\(L^{2}=\left|\hat{\vec{L}_{1}}+\hat{\bar{L}_{2}}\right|^{2}=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+2 \hat{\vec{L}}_{1} \cdot \hat{\vec{L}}_{2}\). Entonces el conmutador es:

\[\left[L^{2}, L_{z, 1}\right]=\left[L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+2\left(L_{x, 1} L_{x, 2}+L_{y, 1} L_{y, 2}+L_{z}^{1} L_{z}^{2}\right), L_{z, 1}\right] \nonumber\]

\[=\left[2\left(L_{x, 1} L_{x, 2}+L_{y, 1} L_{y, 2}\right), L_{z, 1}\right]=2 i\left(\left(L_{y, 1} L_{x, 2}-L_{x, 1} L_{y, 2}\right) \neq 0\right. \nonumber\]

Por lo tanto, los dos operadores no viajan y no comparten funciones propias comunes. ¿Y qué pasa\(L_{1}^{2} \)?

\[\left[L^{2}, L_{1}^{2}\right]=\left[L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+2\left(L_{x, 1} L_{x, 2}+L_{y, 1} L_{y, 2}+L_{z}^{1} L_{z}^{2}\right), L_{1}^{2}\right]=0 \nonumber\]

ya que\(\left[L_{1}^{2}, L_{a, 1}\right]=0 \). Esto significa que hay funciones propias comunes de\( L_{1}^{2}, L_{2}^{2}, L^{2}\) y\(L_{z} \). Estos operadores son un conjunto completo de observables de desplazamiento. Una función propia está así bien definida por el conjunto de valores propios\(l, m, l_{1}\)\(l_{2}\) y podemos escribir los autoestados como\(\psi_{l, m, l_{\mathrm{i}}, l_{2}}\) o\(\left|l, m, l_{1}, l_{2}\right\rangle\).

Luego hay dos representaciones posibles del sistema combinado (dos posibles bases para representar un estado general):

\[\begin{array}{lcc}\hline \textbf { Representation } & \textbf { Eigenstates } & \textbf { Complete set of commuting observables } \\ \text { Uncoupled } & \left|l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2}\right\rangle, & L_{1}^{2}, L_{2}^{2}, L_{1, z} \text { and } L_{2, z} \\ \text { Coupled } & \left|l, m, l_{1}, l_{2}\right\rangle, & L_{1}^{2}, L_{2}^{2}, L^{2} \text { and } L_{z} \\ \hline \end{array} \nonumber\]

¿Cómo vamos de una base a otra? Como de costumbre esto se hace expresando cada vector en una base como una combinación lineal de vectores en la otra base:

\[\left|l, m, l_{1}, l_{2}\right\rangle=\sum_{m_{1}, m_{2}} c_{m_{1}, m_{2}}^{l}\left|l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2}\right\rangle \nonumber\]

Observe que dado que el momento angular total en la\(z\) dirección debe ser\(m\), limitamos la suma a términos s.t\(m_{1}+m_{2}=m\).

¿Cuáles son los coeficientes\(c_{m_{1}, m_{2}}^{l}\)?

Dado que las dos representaciones son dos bases ortogonales, tenemos eso\(\left\langle l_{1}^{\prime}, m_{1}^{\prime}, l_{2}^{\prime}, m_{2}^{\prime} \mid l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2}\right\rangle=0\) a menos que todos los índices sean iguales. Entonces se puede calcular el coeficiente (¡como de costumbre!) del producto interno de\(\left|l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2}\right\rangle\) y\(\left|l, m, l_{1}, l_{2}\right\rangle\):

\[c_{m_{1}, m_{2}}^{l}=\left\langle l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2} \mid l, m, l_{1}, l_{2}\right\rangle \nonumber\]

Estos coeficientes se denominan coeficientes de Clebsch-Gordon.

Reglas de adición: Dos partículas

Al describir los niveles de energía de los átomos y núcleos es muy conveniente poder encontrar los valores permitidos de (l, m) dados los valores de (\(l_{1}, l_{2}\)) para dos partículas dadas (por ejemplo, electrones, protones o neutrones). Efectivamente, vimos que el operador\(\hat{L}^{2}\) aparece en el hamiltoniano del sistema. Por lo tanto, su valor propio\(\hbar^{2} l(l+1)\) será importante en la determinación de la energía del sistema.

Incluso si no podemos fijar el valor de\(l\) si sólo\(m_{2}\) conocemos\(l_{1}, m_{1}, l_{2}\) y al menos podemos restringir los posibles valores de\(l\). Para ello se tiene que analizar la posible longitud máxima del momento angular total y la degeneración de los valores propios.

1. Máximo\(l\): Para dos partículas con números cuánticos\(l_{1}\) y\(l_{2}\) sabemos que en la representación acoplada no podemos fijar los valores de\(m_{1}\) y\(m_{2}\). Sin embargo, sabemos que dado\(l_{1}\) y\(l_{2}\) solo algunos valores de\(m_{1}\) y\(m_{2}\) están permitidos (e.g\(m_{1}=-l_{1},-l_{1}+1, \ldots, l_{1}\). Entonces los valores máximos de\(m_{1}\) y\(m_{2}\) son\(m_{1}=l_{1}\) y\(m_{2}=l_{2}\). Esto también determina el valor máximo de\(m: m_{\max }=l_{1}+l_{2}\). Pero\(m\) en sí solo puede tomar valores\(m=-l, \ldots, l-1, l\).
   Entonces el valor máximo de\(l\) es\(m_{\max }=l_{\max }\).
   Así, lo que acabamos de demostrar es eso\(l \leq l_{1}+l_{2}\).
2. Mínimo\(l\): Para encontrar el\(l\) valor mínimo necesitamos mirar la degeneración del estado\(\left|l, m, l_{1}, l_{2}\right\rangle\). Dado que este estado también podría escribirse (en la representación desacoplada) como\(\sum_{m_{1}+m_{2}=m} c_{m_{1}, m_{2}}^{l}\left|l_{1}, m_{1}, l_{2}, m_{2}\right\rangle\), la degeneración del estado debe ser la misma. ¿Cuáles son las dos degeneraciones?
   Sabemos que para un operador de momento angular dado\(\hat{L}\) con número cuántico de momento angular total\(l\), hay 2\(l\) + 1 estados con el mismo momento angular\(\hbar^{2} l(l+1)\).
   Entonces, considerando la representación desacoplada tenemos\(\mathcal{D}=\left(2 l_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+1\right)\) posibles estados con\(l_{1}\) y\(l_{2}\). En la representación acoplada en cambio tenemos que considerar todos los estados que tienen un permitido\(l: \mathcal{D}=\sum_{l=l_{\min }}^{l_{1}+l_{2}}(2 l+1)\). Queremos que estas dos cantidades sean iguales. Ahora recuerda eso\(\sum_{k=1}^{K} k=\frac{K(K+1)}{2}\). Entonces\(\sum_{l=l_{m i n}}^{l_{1}+l_{2}}(2 l+1)=\left(1+l_{1}+\right.\left.l_{2}\right)^{2}-l_{\min }^{2}\), para eso\(l_{\min }^{2}=\left(1+l_{1}+l_{2}\right)^{2}-\left(2 l_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+1\right)=\left(l_{1}-l_{2}\right)^{2}\).
   Utilizando la condición de degeneración lo demostramos así\(l \geq\left|l_{1}-l_{2}\right|\).

La regla de adición establece así que

\[\boxed{\text{The total angular momentum quantum number is bounded by } \left|l_{1}-l_{2}\right| \leq l \leq l_{1}+l_{2} }\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considere dos partículas spins-1/2 (por ejemplo, dos electrones con un momento angular orbital cero). Ya que elegimos spin- solo\(\frac{1}{2}\) tenemos 1 valor posible s =\(\frac{1}{2}\) y dos valores para\(m_{z}: m_{z}=\pm \frac{1}{2}\). Podemos omitir escribir explícitamente el número cuántico s (ya que es siempre\(\frac{1}{2}\), y escribimos\(\left|+\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right\rangle=\left|+\frac{1}{2}\right\rangle\) y\(\left|+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle=\left|-\frac{1}{2}\right\rangle\). Una base para la representación desacoplada viene dada entonces por:

\ [\ izquierda|s_ {1}, m_ {1}, s_ {2}, m_ {2}\ derecha\ rangle=\ izquierda\ {\ begin {array} {l}
\ izquierda|+\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle=\ izquierda|+\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle\\\ izquierda|+
\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}, -\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle=\ izquierda |+\ frac {1} {2}, -\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle\\
\ izquierda|+\ frac {1} {2}, -\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle=\ izquierda|-\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2} derecha\ rangle\\
\ izquierda|+\ frac {1} {2}, -\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}, -\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle=\ izquierda|-\ frac {1} {2}, -\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle
\ final array}\ derecho. \ nonumber\]

Consideremos ahora la representación acoplada. Los valores posibles para s son 1 o 0. En el primer caso, tenemos 3 valores posibles para\(m\) = −1, 0, 1. Mientras que el segundo solo tiene\(m\) = 0. Nuevamente, ya que los valores de\(s_{1}\) y\(s_{2}\) son fijos no los escribimos:

\ [\ izquierda|s, m, s_ {1}, s_ {2}\ derecha\ rangle=\ izquierda\ {\ begin {array} {l}
\ izquierda.0,0,\ frac {1} {2},\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle=|0,0\ rangle\
\ izquierda.1, -1,\ frac {1} {2}},\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle=|1, -1\ rangle\
\\ izquierda.1,0,\ frac {1} {2},\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle=|1,0\ rangle\\
\ izquierda.1,1,\ frac {1} {2},\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle=|1,1\ rangle
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

En este ejemplo particular es fácil calcular los coeficientes de Clebsch-Gordon y encontramos las relaciones entre las dos representaciones:

\ [\ begin {array} {ll}
|0,0\ rangle= &\ frac {\ izquierda|+\ frac {1} {2}, -\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle-\ izquierda|-\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle} {\ sqrt {2}}\
|1, -1\ rangle= &\ izquierda|-\ frac {1} {2}, -\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle\\
|1,0\ rangle= &\ frac {\ izquierda|+\ frac {1} {2}, -\ frac {1 } {2}\ derecha\ alcance+\ izquierda|-\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle} {\ sqrt {2}}\\
|1,1\ rangle= &\ izquierda|+\ frac {1} {2}, +\ frac {1} {2}\ derecha\ rangle
\ end array}\ nonumber\]

Reglas de adición: muchas partículas

Las reglas de adición pueden generalizarse a muchas partículas, simplemente aplicando repetitivamente las reglas de dos partículas. Luego encontramos para partículas de N:

• \(l_{\max }=\sum_{k=1}^{N} l_{k}\)
• \(l_{\min }=\max \left\{0,2 l_{N}-l_{\max }\right\}\)

donde\(l_{N}\) es el más grande de los\(\left\{l_{k}\right\}\).