4.4: Partículas Idénticas

Comenzamos primero con el caso más simple de un sistema de dos partículas. La función de onda es entonces:\(\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\) y si asumimos que no hay interacción entre las dos partículas, podremos describir los estados usando separación de variables:

\[\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=\psi_{a}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{b}\left(\vec{r}_{2}\right) \nonumber\]

donde a y b marcan dos estados diferentes de una sola partícula. Implícita en esta expresión está la suposición de que puedo distinguir las dos partículas por algún medio, y vincular la partícula uno a la posición 1 y al estado a. sin embargo, si consideramos dos partículas idénticas (2 electrones, dos fotones, dos neutrones) no hay ninguna media física para distinguirlas. Incluso si tratamos de medirlos para hacer un seguimiento de cuál es cuál, sabemos que en el proceso destruimos el estado (por el colapso de la función de onda) así que ni siquiera esto es una posibilidad.

Bosones, fermiones

En la mecánica cuántica las partículas idénticas son fundamentalmente indistinguibles. Entonces la expresión anterior ya no describe correctamente el estado. Para describir fielmente un estado en el que no podemos saber si la partícula a o b está en r ₁ o r ₂, podemos tomar una combinación lineal de estas dos posibilidades:\(\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=A_{1} \psi_{a}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{b}\left(\vec{r}_{2}\right)+A_{2} \psi_{b}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{a}\left(\vec{r}_{2}\right)\). Ahora, ya que las dos posibilidades tienen la misma probabilidad, tenemos\(\left|A_{1}\right|=\left|A_{2}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Luego hay dos combinaciones posibles:

\[\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{a}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{b}\left(\vec{r}_{2}\right) \pm \psi_{b}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{a}\left(\vec{r}_{2}\right)\right] \nonumber\]

Estas dos combinaciones describen dos tipos de partículas. La combinación con el signo más describe bosones, partículas que son invariantes bajo intercambio de un par de partículas. La combinación con el signo menos describe fermiones:

• todas las partículas con giro entero son bosones
• todas las partículas con espín semientero son fermiones

(Esto se puede probar en QM relativista).

Operador de cambio

Podemos definir un operador\(\hat{P} \) que intercambie las dos partículas:

\[\hat{P}\left[\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\right]=\psi\left(\vec{r}_{2}, \vec{r}_{1}\right) \nonumber\]

Desde que por supuesto\( \hat{P}\left[\hat{P}\left[\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\right]\right]=\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\), tenemos eso\( \hat{P}^{2}=1\). Entonces los valores propios de\(\hat{P} \) deben ser\(\pm 1 \). [Si\(\varphi_{n} \) es una función propia de\( \hat{P}\) con valor propio\(p_{n} \), tenemos\( \hat{P}^{2} \varphi_{n}=p_{n}^{2} \varphi_{n}=\varphi_{n}\), de la cual\( p_{n}^{2}=1\).] Si dos partículas son idénticas, entonces el hamiltoniano es invariante con respecto a su intercambio y\( [\mathcal{H}, \hat{P}]=0\). Entonces podemos encontrar funciones propias de energía que son funciones propias comunes del operador de intercambio, o\( \psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=\pm \psi\left(\vec{r}_{2}, \vec{r}_{1}\right)\). Entonces, si el sistema se encuentra inicialmente en tal estado, siempre estará en un estado con la misma simetría de intercambio. Por las consideraciones anteriores, sin embargo, hemos visto que la función de onda no sólo está permitida, sino que debe estar en un estado con una simetría definida:

\ [\ psi\ izquierda (\ vec {r} _ {1},\ vec {r} _ {2}\ derecha) =\ izquierda\ {\ begin {array} {ll}
\ psi\ izquierda (\ vec {r} _ {2},\ vec {r} _ {1}\ derecha) &\ texto {bosones}\
-\ psi\ izquierda (\ vec {r} _ {2},\ vec {r} _ {1}\ derecha) &\ text {fermions}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Principio de exclusión de Pauli

De la forma de la función de onda permitida para fermiones, se deduce que dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado. Supongamos que\( \psi_{a}(\vec{r})=\psi_{b}(\vec{r})\), entonces siempre tenemos eso

\[\psi_{f}\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{a}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{b}\left(\vec{r}_{2}\right)-\psi_{b}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{a}\left(\vec{r}_{2}\right)\right]=0. \nonumber\]

Este es el conocido principio de exclusión de Pauli. Observe que por supuesto se aplica a cualquier fermión. Por ejemplo, se aplica a los electrones, y esta es la razón por la que los electrones no se amontonan en el nivel de energía más bajo de la estructura atómica, sino que forman un modelo de concha. Veremos que lo mismo se aplica también a los protones y neutrones, dando lugar al modelo de concha para núcleos.