4.3: Soluciones a la ecuación de Schrödinger en 3D

Ahora volvemos a la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas y consideramos la ecuación angular y radial por separado para encontrar los valores propios de energía y las funciones propias.

Ecuación Angular

Se encontró que la ecuación angular era:

\[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial Y_{l}^{m}(\vartheta, \varphi)}{\partial \vartheta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2} Y_{l}^{m}(\vartheta, \varphi)}{\partial \varphi^{2}}=-l(l+1) Y_{l}^{m}(\vartheta, \varphi) \nonumber\]

Observe que esta ecuación no depende en absoluto del potencial, por lo que será común a todos los problemas con un potencial isotrópico.

Podemos resolver la ecuación utilizando nuevamente la separación de variables:\(Y(\vartheta, \varphi)=\Theta(\vartheta) \Phi(\varphi)\). Al multiplicar ambos lados de la ecuación por\(\sin ^{2}(\vartheta) / Y(\vartheta, \varphi)\) obtenemos:

\[\frac{1}{\Theta(\vartheta)}\left[\sin \vartheta \frac{d}{d \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{d \Theta}{d \vartheta}\right)\right]+l(l+1) \sin ^{2} \vartheta=-\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^{2} \Phi}{d \varphi^{2}} \nonumber\]

Como de costumbre separamos las dos ecuaciones en las diferentes variables e introducimos una constante C = m ²:

\[\frac{d^{2} \Phi}{d \varphi^{2}}=-m^{2} \Phi(\varphi) \nonumber\]

\[\sin \vartheta \frac{d}{d \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{d \Theta}{d \vartheta}\right)=\left[m^{2}-l(l+1) \sin ^{2} \vartheta\right] \Theta(\vartheta) \nonumber\]

La primera ecuación se resuelve fácilmente para dar\(\Phi(\varphi)=e^{i m \varphi}\) con\(m=0,\pm 1,\pm 2, \ldots\) ya que necesitamos imponer la periodicidad de\(\Phi\), tal que\(\Phi(\varphi+2 \pi)=\Phi(\varphi)\).

Las soluciones a las segundas ecuaciones están asociadas a los polinomios de Legendre:\(\Theta(\vartheta)=A P_{l}^{m}(\cos \vartheta)\), los primeros de l que se encuentran en la tabla 1. Observe que, como se encontró anteriormente al resolver para los valores propios del momento angular\(m = −l, −l + 1, . . . , l\), tenemos eso, con\(l\) = 0, 1,.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Polinomios de Legendre

Las funciones propias angulares normalizadas son entonces funciones armónicas esféricas, dadas por el polinomio de Legendre normalizado por la solución a la ecuación en\(\varphi\) (ver también Tabla 2)

\[Y_{l}^{m}(\vartheta, \varphi)=\sqrt{\frac{(2 l+1)}{4 \pi} \frac{(l-m) !}{(l+m) !}} P_{l}^{m}(\cos \vartheta) e^{i m \varphi} \nonumber\]

Como esperamos de las funciones propias, los Armónicos Esféricos son ortogonales:

\[\int_{4 \pi} d \Omega Y_{l}^{m}(\vartheta, \varphi) Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}}(\vartheta, \varphi)=\delta_{l, l^{\prime}} \delta_{m, m^{\prime}} \nonumber\]

La ecuación radial

Pasamos ahora a la ecuación radial:

\[\frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d R(r)}{d r}\right)-\frac{2 m r^{2}}{\hbar^{2}}(V-E)=l(l+1) R(r) \nonumber\]

Tabla\(\PageIndex{2}\): Armónicos esféricos

Para simplificar la solución, introducimos una función diferente\(u(r)=r R(r)\). Entonces la ecuación se reduce a:

\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u}{d r^{2}}+\left[V+\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{l(l+1)}{r^{2}}\right] u(r)=E u(r) \nonumber\]

Esta ecuación es muy similar a la ecuación de Schrödinger en 1D si definimos un potencial efectivo\(V^{\prime}(r)=V(r)+\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{l(l+1)}{r^{2}}\). El segundo término en este potencial efectivo se denomina término centrífugo.

Se pueden encontrar soluciones para algunas formas del potencial V (\(r\)), calculando primero las soluciones de la ecuación\(u_{n, l}(r)\), luego encontrando\(R_{n, l}(r)=u_{n, l}(r) / r\) y finalmente la función de onda

\[\Psi_{n, l, m}(r, \vartheta, \varphi)=R_{n, l}(r) Y_{l}^{m}(\vartheta, \varphi). \nonumber\]

Observe que necesitamos 3 números cuánticos (n, l, m) para definir las funciones propias del hamiltoniano en 3D.

Por ejemplo podemos tener un pozo esférico simple: V (\(r\)) = 0 para\(r<r_{0}\) y de\(V(r)=V_{0}\) otra manera. En el caso de\(l\) = 0, esta es la misma ecuación que para el pozo cuadrado en 1D. Observe sin embargo que dado que las condiciones límite necesitan ser tales que R (\(r\)) sea finito para todos\(r\), necesitamos imponerla\(u(r=0)=0\), de ahí que solo las soluciones impares sean aceptables (como habíamos anticipado). Para\(l\) > 0 podemos encontrar soluciones en términos de funciones de Bessel.

Otros dos ejemplos importantes de potencial son el potencial del oscilador armónico\(V(r)=V_{0} \frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}-V_{0}\) (que es una aproximación para cualquier potencial cercano a su mínimo) y el potencial de Coulomb\(V(r)=-\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r}\), que describe el potencial atómico y en particular el átomo de hidrógeno.

El átomo de hidrógeno

Queremos resolver la ecuación radial para el potencial de Coulomb, o al menos encontrar los valores propios de la ecuación. Observe que estamos buscando estados consolidados, así la energía total es negativa E < 0. Luego definimos la cantidad real\(\kappa=\sqrt{\frac{-2 m E}{\hbar^{2}}}\), y las cantidades ⁸:

\[\text { Bohr radius: } a_{0}=\frac{4 \pi \epsilon_{0} \hbar^{2}}{m_{e} e^{2}}, \qquad \text { Rydberg constant: } \quad \mathbb{R}=\frac{\hbar^{2}}{2 m a_{0}^{2}} \nonumber\]

y\(\lambda^{2}=\frac{\mathbb{R}}{|E|}\). Los valores de las dos constantes son\(a_{0}=5.29 \times 10^{-11} \mathrm{~m}\) y\(\mathbb{R}=13.6 \mathrm{eV}\) (así\(\lambda\) es un parámetro adimensional). El radio de Bohr da la distancia a la que la energía cinética de un electrón (clásicamente) que orbita alrededor del núcleo es igual a la interacción Coulomb:\(\frac{1}{2} m_{e} v^{2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r}\). En el modelo semi-clásico de Bohr,\(L=m_{e} v r\) se cuantifica el momento angular, con el valor más bajo\(L=\hbar\), luego insertando en la ecuación anterior, nos encontramos\(r=a_{0}\). Veremos que la energía de Rydberg da en cambio la energía mínima para el hidrógeno.

Aplicamos además un cambio de variable\(\rho=2 \kappa r\), y reescribimos la ecuación radial como:

\[\frac{d^{2} u}{d \rho^{2}}=\left[\frac{1}{4}-\frac{\lambda}{\rho}+\frac{l(l+1)}{\rho^{2}}\right] u(\rho) \nonumber\]

Hay dos casos limitantes:

Para\(\rho \rightarrow 0\), la ecuación se reduce a\(\frac{d^{2} u}{d \rho^{2}}=\frac{l(l+1)}{\rho^{2}} u\), con solución\(u(\rho) \sim \rho^{l+1}\).

Porque\(\rho \rightarrow \infty\) tenemos\(\frac{d^{2} u}{d \rho^{2}}=\frac{u(\rho)}{4}\), dando\(u(\rho) \sim e^{-\rho / 2}\).

Nota

8 Tenga en cuenta que la definición del radio de Bohr es ligeramente diferente si el potencial de Coulomb no se expresa en unidades SI sino en unidades cgs

Una solución general puede entonces escribirse como\(u(\rho)=e^{-\rho / 2} \rho^{l+1} S(\rho) \) (con S por determinar). Luego nos expandimos\( S(\rho)\) en serie como\( S(\rho)=\sum_{j=0}^{\infty} s_{j} \rho^{j}\) e intentamos encontrar los coeficientes\(s_{j} \). Al insertar\( u(\rho)=e^{-\rho / 2} \rho^{l+1} \sum_{j=0}^{\infty} s_{j} \rho^{j}\) en la ecuación tenemos:

\[\left[\rho \frac{d^{2}}{d \rho^{2}}+(2 l+2-\rho) \frac{d}{d \rho}-(l+1-\lambda)\right] S(\rho)=0 \nonumber\]

De la cual obtenemos:

\[\sum_{j}\left[\rho\left\{j(j+1) s_{j+1} \rho^{j-1}\right\}+(2 l+2-\rho)\left\{(j+1) s_{j+1} \rho^{j}\right\}-(l+1-\lambda)\left\{s_{j} \rho^{j}\right\}\right]=0 \nonumber\]

(donde los términos entre paréntesis corresponden a los derivados de\(S(\rho) \)). Esta ecuación define una ecuación recursiva para los coeficientes\(s_{j}\):

\[s_{j+1}=\frac{j+l+1-\lambda}{j(j+1)+(2 l+2)(j+1)} s_{j} \nonumber\]

Si queremos que la función\(u(\rho) \) esté bien definida, debemos imponerla\(u(\rho) \rightarrow 0 \) para\( \rho \rightarrow \infty\). Esto impone un valor máximo para\(j, j_{\max } \), tal que todos los coeficientes superiores\({s}_{j}>j_{\max } \) son cero.

Entonces tenemos eso\( j_{\max }+l+1-\lambda=0\). Pero esta es una ecuación para\(\lambda \), que a su vez determina el valor propio de la energía:

\[\lambda=j_{\max }+l+1. \nonumber\]

Luego renombramos\( \lambda \) el parámetro el número cuántico principal\(n\) ya que es un entero (ya que j y l son enteros). Entonces la energía viene dada por\( E=-\frac{\mathbb{R}}{n^{2}} \) y las energías permitidas son dadas por la famosa fórmula de Bohr:

\[\boxed{E_{n}=-\frac{1}{n^{2}} \frac{m_{e}}{2 \hbar^{2}}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2}} \nonumber\]

Obs.

Tenga en cuenta que la energía sólo está determinada por el número cuántico principal. ¿Cuál es la degeneración del número\(n\) cuántico? Sabemos que la función propia completa se especifica conociendo el momento angular ^L2 y uno de sus componentes (e.g.\(L_{z} \)). De la ecuación anterior,\( n=j_{\max }+l+1\), vemos que para cada uno\(n, l\) puede variar de\(l\) = 0 a\(l\) =\(n\) − 1. Entonces también tenemos 2\(l\) + 1\(m\) valores por cada l (y 2 estados de giro por cada m). Finalmente, la degeneración viene dada entonces por

\[\sum_{l=0}^{n-1} 2(2 l+1)=2 n^{2} \nonumber\]

Estructura periódica atómica

Calculamos los niveles de energía para el átomo de hidrógeno. Esto nos dará información espectroscópica sobre los estados excitados que podemos excitar usando, por ejemplo, luz láser. ¿Cómo podemos usar esta información para inferir la estructura de los átomos?

Un átomo neutro, de número atómico Z, consiste en un núcleo pesado, con carga eléctrica Ze, rodeado por electrones Z (masa\(m\) y carga -e). El hamiltoniano para este sistema es

\[\mathcal{H}=\sum_{j=1}^{Z}\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla_{j}^{2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{r_{j}}\right]+\frac{1}{2} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{j \neq k}^{Z} \frac{e^{2}}{\left|\vec{r}_{j}-\vec{r}_{k}\right|} \nonumber\]

El primer término es simplemente la energía cinética de cada electrón en el átomo. El segundo término es la energía potencial del jésimo electrón en el campo eléctrico creado por el núcleo. Finalmente la última suma (que recorre todos los valores de j y k excepto j = k) es la energía potencial asociada a la repulsión mutua de los electrones (el factor de 1/2 delante corrige el hecho de que la suma cuenta cada par dos veces).

Ante este hamiltoniano, queremos encontrar los niveles de energía (y en particular el estado fundamental, que nos dará la configuración atómica estable). Entonces necesitamos resolver la ecuación de Schrödinger. Pero, ¿qué sería ahora un autoestado de esta ecuación?

Consideremos por ejemplo Helio, un átomo con sólo dos electrones. Despreciando por el momento giro, podemos escribir la función de onda como\( \Psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, t\right)\) (y las funciones de onda estacionarias,\(\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right) \)), es decir, tenemos una función de las coordenadas espaciales de ambos electrones. La interpretación física de la función de onda es una simple extensión de la función de onda de una partícula:\( \left|\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\right|^{2} d^{3} \vec{r}_{1} d^{3} \vec{r}_{2}\) es la probabilidad de encontrar simultáneamente los dos electrones en las posiciones\( \vec{r}_{1}\) y\( \vec{r}_{2}\), respectivamente. La función de onda debe entonces normalizarse como\(\int\left|\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\right|^{2} d^{3} \vec{r}_{1} d^{3} \vec{r}_{2}=1 \). La generalización a muchos electrones (o más generalmente a muchas partículas) es entonces evidente.

Para determinar el estado fundamental de un átomo tendremos que resolver la ecuación de Schrödinger

\[\mathcal{H} \psi\left(\vec{r}_{1}, \ldots, \vec{r}_{Z}\right)=E \psi\left(\vec{r}_{1}, \ldots, \vec{r}_{Z}\right) \nonumber \]

Esta ecuación no ha sido resuelta (todavía) a excepción del caso Z=1 del átomo de hidrógeno que vimos anteriormente. Lo que podemos hacer es hacer una aproximación muy cruda e ignorar la repulsión de Coulomb entre los electrones. Matemáticamente esto simplifica enormemente la ecuación, ya que ahora podemos simplemente usar la separación de variables para escribir muchas ecuaciones para cada electrón independiente. Físicamente, esto suele ser una aproximación suficientemente buena porque la repulsión mutua del electrón no es tan fuerte como la atracción de todos los protones. Entonces la ecuación de Schrödinger se convierte en:

\[\sum_{j=1}^{Z}\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla_{j}^{2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{r_{j}}\right] \psi\left(\vec{r}_{1}, \ldots, \vec{r}_{Z}\right)=E \psi\left(\vec{r}_{1}, \ldots, \vec{r}_{Z}\right) \nonumber\]

y podemos escribir\( \psi\left(\vec{r}_{1}, \ldots, \vec{r}_{Z}\right)=\psi\left(\vec{r}_{1}\right) \psi\left(\vec{r}_{2}\right) \ldots \psi\left(\vec{r}_{Z}\right)\)

Entonces, podemos resolver para cada electrón por separado, como hicimos para la ecuación del átomo de hidrógeno, y encontrar para cada electrón la misma estructura de niveles que para el Hidrógeno, excepto que la ya que la energía potencial es ahora\( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{r_{j}}\) la energía electrónica (fórmula de Bohr) ahora se multiplica por Z. Las soluciones al tiempo- ecuaciones independientes de Schrödinger son entonces las mismas funciones propias que encontramos para el átomo de hidrógeno,\(\psi\left(\vec{r}_{j}=\psi_{l m n}(r, \vartheta, \varphi)\right. \).

Así, si ignoramos la repulsión mutua entre los electrones, los electrones individuales ocupan estados hidrogénicos de una partícula (\(n, l, m\)), llamados orbitales, en el potencial Coulomb de un núcleo con carga Ze.

Hay 2\(n\) ² funciones de onda hidrogénica (todas con la misma energía\(E_{n}\)) para un valor dado de\(n\). Mirando la Tabla Periódica vemos esta periodicidad, con dos elementos en el\(n\) = 1 shell, 8 en el\(n\) = 2 shell, 18 en el tercer shell. Sin embargo, las conchas superiores están más influenciadas por la repulsión electrón-electrón que ignoramos, por lo que las consideraciones simples de este modelo ya no son válidas.

Sin embargo, esperaríamos en cambio que los electrones en los átomos ocupen el estado con menor energía. El estado fundamental sería entonces una situación en la que todos los electrones ocuparan su propio estado fundamental (\(n\)= 0,\(l\) = 0,\(m\) = 0). Pero, ¿es esto correcto? Esto no es lo que se observa en la naturaleza, de lo contrario todo el átomo mostraría las mismas propiedades químicas. Entonces, ¿qué pasa?

Para entender, necesitamos analizar las propiedades estadísticas de partículas idénticas. Pero antes de eso, presentaremos la solución para otro potencial central, el potencial del oscilador armónico\(V(r)=V_{0} \frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}-V_{0} \) (que es una aproximación para cualquier potencial cercano a su mínimo).

El potencial del oscilador armónico

El h.o. cuántico es un modelo que describe sistemas con un espectro de energía característico, dado por una escalera de niveles de energía uniformemente espaciados. La diferencia energética entre dos niveles consecutivos es\(\Delta E\). El número de niveles es infinito, pero debe existir una energía mínima, ya que la energía siempre debe ser positiva. Dado este espectro, esperamos que el hamiltoniano tenga la forma

\[\mathcal{H}|n\rangle=\left(n+\frac{1}{2}\right) \quad \omega|n\rangle, \nonumber\]

donde cada nivel de la escalera se identifica por un número\(n\). El nombre del modelo se debe a la analogía con características del h.o. clásico, que revisaremos primero.

Oscilador armónico clásico y modelo h.o.

Un h.o. clásico se describe por una energía potencial\( V=\frac{1}{2} k x^{2}\) (el potencial radial considerado anteriormente,\(V(r)=V_{0} \frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}-V_{0} \), tiene esta forma). Si el sistema tiene una energía finita E, el movimiento está limitado por dos valores\(\pm x_{0} \), tal que\( V\left(x_{0}\right)=E\). La ecuación de movimiento viene dada por

\[\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=\frac{p(t)}{m}, \\ \frac{d p}{d t}=-k x \end{array} \rightarrow \quad m \frac{d^{2} x}{d x^{2}}=-k x\right., \nonumber\]

y la energía cinética es, por supuesto

\[T=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}=\frac{p^{2}}{2 m}. \nonumber\]

La energía es constante ya que es un sistema conservador, sin disipación. La mayoría de las veces la partícula está en la posición\(x_{0}\) ya que ahí la velocidad es cero, mientras que a x = 0 la velocidad es máxima.

El oscilador h.o. en QM es un modelo importante que describe muchas situaciones físicas diferentes. Describe, por ejemplo, el campo electromagnético, las vibraciones de los cristales de estado sólido y (un modelo simplificado de) el potencial nuclear. Esto se debe a que cualquier potencial con un mínimo local puede ser descrito localmente por un h.o.. Siempre que la energía sea lo suficientemente baja (o x cercana a\(x_{0}\)), cualquier potencial de hecho puede expandirse en serie, dando:\(V(x) \approx V\left(x_{0}\right)+b\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots\) dónde\(b=\left.\frac{d^{2} V}{d x^{2}}\right|_{x_{0}}\).

Es fácil resolver la ecuación del movimiento. En lugar de simplemente resolver la ecuación habitual, seguimos una ruta ligeramente diferente. Definimos variables adimensionales,

\[P=\frac{p}{\sqrt{m \omega}}, \quad X=x \sqrt{m \omega} \nonumber\]

donde definimos un parámetro con unidades de frecuencia:\(\omega=\sqrt{k / m}\) e introducimos una variable clásica compleja (siguiendo a Roy J. Glauber — Phys. Rev. 131, 2766—2788 (1963))

\[\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+i P). \nonumber\]

Las ecuaciones clásicas de movimiento para x y p definen la evolución de la variable\(\alpha \):

\ [\ left\ {\ begin {array} {l}
\ frac {d x} {d t} =\ frac {p (t)} {m},\
\ frac {d p} {d t} =-k x
\ end {array}\ quad\ rightarrow\ quad\ frac {d\ alpha} {d t} =-i\ omega\ alpha (t)\ derecha. \ nonumber\]

La evolución de\(\alpha\) es, por lo tanto, solo una rotación en su espacio de fase:\(\alpha(t)=\alpha(0) e^{-i \omega t}\).

Desde\(X=\sqrt{2} \operatorname{Re}(\alpha)\) y\(P=\sqrt{2} operatorname{Im}(\alpha), X\) y\(P\) oscilan, como es habitual en el caso clásico:

\ [\ begin {array} {l}
X=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ alpha_ {0} e^ {-i\ omega t} +\ alpha_ {0} ^ {*} e^ {i\ omega t}\ derecha)\
P=\ frac {-i} {\ sqrt {2}}\ izquierda (\ alpha_ {0} e^ {-i\ omega t} -\ alfa_ {0} ^ {*} e^ {i\ omega t}\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

La energía clásica, dada por\( \omega / 2\left(X^{2}+P^{2}\right)=\omega \alpha_{0}^{2}\), es constante en todo momento.

Oscilador Hamiltoniano: Operadores de posición e impulso

Usando los operadores asociados con la posición y el impulso, el hamiltoniano del h.o. cuántico se escribe como:

\[\mathcal{H}=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{k x^{2}}{2}=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}. \nonumber\]

En cuanto a las variables adimensionales, P y X, la hamiltoniana es\( \mathcal{H}=\frac{\omega}{2}\left(X^{2}+P^{2}\right)\).

En analogía con la variable clásica a (t) [y su complejo conjugado a ^∗ (t), que simplificó la ecuación del movimiento, introducimos dos operadores, a, ^a†, con la esperanza de simplificar la ecuación de valor propio (ecuación de Schrödinger independiente del tiempo):

\ [\ begin {array} {l}
a=\ frac {1} {\ sqrt {2\ hbar}} (x+i P) =\ frac {1} {\ sqrt {2\ hbar}}\ izquierda (\ sqrt {m\ omega} x+\ frac {i} {\ sqrt {m\ omega}} p\ derecha)\
a^ {\ daga} =\ frac {1} {\ sqrt {2\ hbar}} (X-i P) =\ frac {1} {\ sqrt {2\ hbar}}\ izquierda (\ sqrt {m\ omega} x-\ frac {i} {\ sqrt {m\ omega}} p\ derecha),
\ fin {matriz}\ nonumber\]

Además, definimos el operador numérico como N = a ^† a, con valores propios n y funciones propias\(|n\rangle\). El hamiltoniano se puede escribir en términos de estos operadores. Sustituimos a, a ^† en el lugar de X y P, cediendo\(\mathcal{H}=\hbar \omega\left(a^{\dagger} a+\frac{1}{2}\right)=\hbar \omega\left(N+\frac{1}{2}\right)\) y la energía mínima\( \omega / 2\) se llama energía de punto cero.

Las propiedades de conmutación son:\(\left[a, a^{\dagger}\right]=1\) y\([N, a]=-a,\left[N, a^{\dagger}\right]=a^{\dagger}\). También contamos con:

\ [\ begin {array} {l}
x=\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2 m\ omega}}\ izquierda (a^ {\ daga} +a\ derecha)\
p=i\ sqrt {\ frac {m\ omega\ hbar} {2}}\ izquierda (a^ {\ daga} -a\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

□ Demostrar las relaciones de conmutación de los operadores de subida y bajada.

\[\left[a, a^{\dagger}\right]=\frac{1}{2}[X+i P, X-i P]=\frac{1}{2}([X,-i P]+[i P, X])=-\frac{i}{\hbar}[X, P]=-\frac{i}{\hbar}[x, p]=1 \nonumber\]

Entonces también tenemos\(a a^{\dagger}=\left[a, a^{\dagger}\right]+a^{\dagger} a=1+a^{\dagger} a=1+N\).

\[[N, a]=\left[a^{\dagger} a, a\right]=\left[a^{\dagger}, a\right] a=-a \quad \text { and } \quad\left[N, a^{\dagger}\right]=\left[a^{\dagger} a, a^{\dagger}\right]=a^{\dagger}\left[a, a^{\dagger}\right]=a^{\dagger} \nonumber\]

□

De las relaciones de conmutación tenemos:

\[a|n\rangle=[a, N]|n\rangle=a n|n\rangle-N a|n\rangle \rightarrow N(a|n\rangle)=(n-1)(a|n\rangle) , \nonumber\]

es decir, también\(a|n\rangle \) es un vector propio del operador N, con valor propio (n − 1). Así confirmamos que este es el operador de bajada:\(a|n\rangle=c_{n}|n-1\rangle\). Del mismo modo,\( a^{\dagger}|n\rangle\) es un vector propio de N con valor propio n + 1:

\[a^{\dagger}|n\rangle=\left[N, a^{\dagger}\right]|n\rangle=N a^{\dagger}|n\rangle-a^{\dagger} n|n\rangle \rightarrow N\left(a^{\dagger}|n\rangle\right)=(n+1)(a|n\rangle). \nonumber\]

Así tenemos\( a|n\rangle=c_{n}|n-1\rangle\) y\(a^{\dagger}|n\rangle=d_{n}|n+1\rangle \). ¿Cuáles son los coeficientes c _n, d _n?

Desde

\[\langle n|N| n\rangle=\left\langle n\left|a^{\dagger} a\right| n\right\rangle=n \nonumber\]

y

\[\left\langle n\left|a^{\dagger} a\right| n\right\rangle=(\langle a n|)(a|n\rangle)=\langle n-1 \mid n-1\rangle c_{n}^{2}, \nonumber\]

debemos tener\(c_{n}=\sqrt{n} \). Análogamente, ya que\( a a^{\dagger}=N+1\), como se ve desde la relación de conmutación:

\[d_{n}^{2}\langle n+1 \mid n+1\rangle=\left\langle a^{\dagger} n \mid a^{\dagger} n\right\rangle=\left\langle n\left|a a^{\dagger}\right| n\right\rangle\langle n|(N+1)| n\rangle=n+1 \nonumber\]

Entonces al final tenemos:

\[\boxed{a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle ; \quad a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle.} \nonumber\]

Todos los n valores propios de N tienen que ser no negativos ya que\(n=\langle n|N| n\rangle=\left\langle\psi_{n_{1}} \mid \psi_{n_{1}}\right\rangle \geq 0\) (esto se deduce de las propiedades del producto interno y el hecho de que\(\left|\psi_{n_{1}}\right\rangle=a|n\rangle \) es solo un vector de estado regular). Sin embargo, si aplicamos sobre y sobre el operador a (bajando), podríamos llegar a números negativos n: por lo tanto, lo requerimos\(a|0\rangle=0 \) para truncar este proceso. La acción del operador de elevación a ^† puede entonces producir cualquier estado propio, comenzando desde el estado propio 0:

\[|n\rangle=\frac{\left(a^{\dagger}\right)^{n}}{\sqrt{n !}}|0\rangle. \nonumber\]

La representación matricial de estos operadores en la\(|n\rangle \) base (con matrices infinito-dimensionales) es particularmente simple, ya que\(\left\langle n|a| n^{\prime}\right\rangle=\delta_{n^{\prime}, n-1} \sqrt{n}\) y\( \left\langle n\left|a^{\dagger}\right| n^{\prime}\right\rangle=\delta_{n^{\prime}, n+1} \sqrt{n+1}\):

\ [a=\ left [\ begin {array} {cccc}
0 &\ sqrt {1} & 0 &\ ldots\\
0 & 0 &\ sqrt {2} &\ ldots\
0 & 0 &\ ldots
\ end {array}\ derecha]\ qquad a^ {\ daga} =\ left [\ begin {array} {cccc}
0 & 0 & 0 &\ lpuntos\ \
\ sqrt {1} & 0 & 0 &\ ldots\\
0 &\ sqrt {2} & 0 &\ ldots
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Representación de posiciones

Figura\(\PageIndex{1}\): Izquierda: Función de onda del oscilador armónico. Derecha: función de distribución de probabilidad correspondiente para n = 2 (azul) y n = 3 (Rojo, punteado). (Copyright; autor vía fuente)

Ahora partimos de una descripción (física) del h.o. hamiltoniano e hicimos un cambio de base para llegar a una simple forma diagonal del mismo. Ahora que conocemos sus propios mercados, nos gustaría volver a una imagen más intuitiva de la posición y el impulso. Por lo tanto, queremos expresar los propios mercados\(|n\rangle\) en términos de la representación de la posición.

Figura\(\PageIndex{2}\): Izquierda: Función de onda del oscilador armónico. Derecha: función de distribución de probabilidad correspondiente para n = 40. En Rojo, la probabilidad clásica. (Copyright; autor vía fuente)

La representación de posición corresponde a expresar un vector de estado\(|\psi\rangle\) en la base de posición:\(|\psi\rangle=\int d x\langle x \mid \psi\rangle|x\rangle=\int d x \psi(x)|x\rangle\) (donde\(|x\rangle\) está el estado propio del operador de posición que es una variable continua, de ahí la integral). Esto define la función de onda\( \psi(x)=\langle x \mid \psi\rangle\).

La descripción de la función de onda en la representación x del h.o. cuántico se puede encontrar comenzando con la función de onda del estado fundamental. Ya\(a|0\rangle=0\) que tenemos\(\frac{1}{\sqrt{2 \hbar}}(X+i P)|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2 \hbar}}\left(\sqrt{m \omega} x+\frac{i p}{\sqrt{m \omega}}\right)|0\rangle=0\). En la representación x, dada\(\psi_{0}(x)=\langle x \mid 0\rangle\)

\[\frac{1}{\sqrt{2 \hbar}}\left\langle x\left|\left(\sqrt{m \omega} x+\frac{i p}{\sqrt{m \omega}}\right)\right| 0\right\rangle=0 \quad \rightarrow \quad\left(m \omega x+\frac{d}{d x}\right) \psi_{0}(x)=0 \quad \rightarrow \quad \psi_{0}(x) \propto e^{-m \omega x^{2} / 2} \nonumber\]

Los otros estados propios se construyen usando polinomios hermitas\( H_{n}(x)\), usando la fórmula ⁹\(|n\rangle=\frac{\left(a^{\dagger}\right)^{n}}{\sqrt{n !}}|0\rangle\) para derivar ecuaciones diferenciales:

\[\psi_{n}(x)=\langle x \mid n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n !} 2^{n}}\left[\sqrt{m \omega} x-\frac{1}{\sqrt{m \omega}} \frac{d}{d x}\right]^{n} \psi_{0}(x) \nonumber\]

con soluciones\(\psi_{n}(x)=\langle x \mid n\rangle=\frac{1}{\sqrt{2^{n} n !}} H_{n}(x) \psi_{0}(x)\). Las funciones de onda n = 2 y n = 3 se trazan en la siguiente figura, mientras que la segunda muestra la función de distribución de probabilidad. Observe la diferente paridad para el número par e impar y el número de ceros de estas funciones. Clásicamente, la probabilidad de que la partícula oscilante esté en un valor dado de x es simplemente la fracción de tiempo que pasa ahí, que es inversamente proporcional a su velocidad\(v(x)=x_{0} \omega \sqrt{1-\frac{x^{2}}{x_{0}^{2}}}\) en esa posición. Para n grande, la distribución de probabilidad se acerca a la clásica (ver Fig. 4.3.2).

Nota

9 Para más detalles sobre los polinomios hermitas y su función generadora, mira en Cohen-Tannudji. Información en línea de: Eric W. Weisstein. Polinomio Hermite. De MathWorld: un recurso web Wolfram.