7.1: Decaimiento Gamma

La desintegración gamma es el tercer tipo de desintegración radiactiva. A diferencia de los otros dos tipos de decaimiento, no implica un cambio en el elemento. Es solo una simple decadencia de un estado excitado a uno inferior (suelo). En el proceso por supuesto se libera algo de energía que es arrastrada por un fotón. Procesos similares ocurren en la física atómica, sin embargo allí los cambios de energía suelen ser mucho más pequeños, y los fotones que emergen están en el espectro visible o rayos X.

La reacción nuclear que describe la desintegración gamma puede escribirse como

\[{ }_{Z}^{A} X^{*} \rightarrow{ }_{Z}^{A} X+\gamma \nonumber\]

donde ^∗ indica un estado excitado.

Nosotros hemos dicho que el fotón lleva algo de energía. También se lleva impulso, momento angular y paridad (pero sin masa ni carga) y todas estas cantidades necesitan ser conservadas. Así podemos escribir una ecuación para la energía y el impulso que lleva el fotón gamma.

Desde la relatividad especial sabemos que la energía del fotón (una partícula sin masa) es

\[E=\sqrt{m^{2} c^{4}+p^{2} c^{2}} \rightarrow \quad E=p c \nonumber\]

(mientras que para partículas masivas en el límite no relativista\(v \ll c\) tenemos\(E \approx m c^{2}+\frac{p^{2}}{2 m}\).) En mecánica cuántica hemos visto que el impulso de una onda (y un fotón está bien descrito por una onda) es\(p=\hbar k\) con\(k\) el número de onda. Entonces tenemos

\[\boxed{E=\hbar k c=\hbar \omega_{k}} \nonumber\]

Esta es la energía para fotones que también define la frecuencia\(\omega_{k}=k c\) (compárela con la energía para partículas masivas,\(E=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}\)).

Los fotones gamma son particularmente energéticos porque derivan de transiciones nucleares (que tienen energías mucho más altas que, por ejemplo, transiciones atómicas que involucran niveles electrónicos). Las energías involucradas van desde\(E \sim .1 \div 10 \mathrm{MeV}\), dando\(k \sim 10^{-1} \div 10^{-3} \mathrm{fm}^{-1}\). De lo que son las longitudes de onda\(\lambda=\frac{2 \pi}{k} \sim 100 \div 10^{4} \mathrm{fm} \), mucho más largas que las típicas dimensiones nucleares.

La espectroscopia de rayos gamma es una herramienta básica de la física nuclear, por su facilidad de observación (ya que no es absorbida en el aire), precisa determinación de energía e información sobre el espín y paridad de los estados excitados. Además, es la radiación más importante utilizada en la medicina nuclear.

Figura\(\PageIndex{1}\): Esquemas de desintegración gamma (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Teoría Clásica de la Radiación

De la teoría de la electrodinámica se sabe que irradia una carga acelerante. La potencia radiada viene dada por la integral del flujo de energía (dada por el vector Poynting) sobre todos los ángulos sólidos. Esto le da el poder irradiado como:

\[\boxed{P=\frac{2}{3} \frac{e^{2}|a|^{2}}{c^{3}}} \nonumber\]

donde\(a\) esta la aceleracion. Esta es la llamada fórmula Larmor para una carga acelerada no relativista.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Como ejemplo importante consideramos un dipolo eléctrico. Un dipolo eléctrico puede considerarse como una carga oscilante, sobre un rango\(r_{0} \), tal que el dipolo eléctrico viene dado por\( d(t)=q r(t)\). Entonces la ecuación del movimiento es

\[r(t)=r_{0} \cos (\omega t) \nonumber\]

y la aceleración

\[a=\ddot{r}=-r_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \nonumber\]

Promediado a lo largo de un periodo\(T=2 \pi / \omega\), esto es

\[\left\langle a^{2}\right\rangle=\frac{\omega}{2 \pi} \int_{0}^{T} d t a(t)=\frac{1}{2} r_{0}^{2} \omega^{4} \nonumber\]

Finalmente se obtiene la potencia radiativa para un dipolo eléctrico:

\[P_{E 1}=\frac{1}{3} \frac{e^{2} \omega^{4}}{c^{3}}\left|\vec{r}_{0}\right|^{2} \nonumber\]

Multipolos Electromagnéticos

Para determinar la radiación clásica e.m. necesitamos evaluar la distribución de carga que da origen a la misma. El potencial electrostático de una distribución de carga\(\rho_{e}(r)\) viene dado por la integral:

\[V(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{V o l^{\prime}} \frac{\rho_{e}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|} \nonumber\]

Al tratar la radiación solo nos interesa el potencial fuera de la carga y podemos asumir la carga (¡por ejemplo, una partícula!) estar bien localizado (\(r^{\prime} \ll r\)). Entonces podemos expandirnos\(\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\) en series de potencia. Primero, expresamos explícitamente la norma

\[\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|=\sqrt{r^{2}+r^{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \vartheta}=r \sqrt{1+\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{2}-2 \frac{r^{\prime}}{r} \cos \vartheta}. \nonumber\]

Nosotros fijamos

\[R=\frac{r^{\prime}}{r} \nonumber\]

y

\[\epsilon=R^{2}-2 R \cos \vartheta. \nonumber\]

Se trata de una cantidad pequeña, dada la suposición\(r^{\prime} \ll r\). Entonces podemos ampliar:

\[\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}=\frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}=\frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2} \epsilon+\frac{3}{8} \epsilon^{2}-\frac{5}{16} \epsilon^{3}+\ldots\right) \nonumber\]

\(\epsilon\)Sustituyendo por su expresión tenemos:

\ [\ begin {align*}\ frac {1} {r}\ frac {1} {\ sqrt {1+\ épsilon}} &=\ frac {1} {r}\ izquierda (1-\ frac {1} {2}\ izquierda (R^ {2} -2 R\ cos\ vartheta\ derecha) +\ frac {3} {8}\ izquierda (R^ {2} -2 R\ cos\ vartheta\ derecha) ^ {2} -\ frac {5} {16}\ izquierda (R^ {2} -2 R\ cos\ vartheta\ derecha) ^ {3} +\ ldots\ derecha)\\ [4pt]
&=\ frac {1} {r}\ izquierda (1+\ izquierda [-\ frac {1 } {2} R^ {2} +R\ cos\ vartheta\ derecha] +\ izquierda [\ frac {3} {8} R^ {4} -\ frac {3} {2} R^ {3}\ cos\ vartheta+\ frac {3} {2} R^ {2}\ cos ^ {2}\ vartheta\ derecha] +\ izquierda [-\ frac {5 R^ {6}} {16} +\ frac {15} {8} R^ {5}\ cos (\ vartheta) -\ frac {15} {4} R^ {4}\ cos ^ {2} (\ vartheta) +\ frac {5} {2} R^ {3}\ cos ^ {3} (\ vartheta)\ derecha] +\ ldots\ derecha)\\ [4pt]
&=\ frac {1} {r}\ izquierda (1+R\ cos\ Vartheta+R^ {2}\ izquierda (\ frac {3\ cos ^ {2}\ vartheta} {2} -\ frac {1} {2}\ derecha) +R^ {3}\ izquierda (\ frac {5\ cos ^ {3} (\ vartheta)} {2} -\ frac {3\ cos (\ vartheta)} {2}\ derecha) +\ lpuntos\ derecha)
\ end {alinear*}\]

Reconocimos en los coeficientes a las potencias de\(R\) los polinomios de Legendre\(P_{l}(\cos \vartheta)\) (con\(l\) el poder de\(R^{l}\), y señalar que para potencias > 3 deberíamos haber incluido términos superiores en la\(\epsilon\) expansión original):

\[\frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}=\frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty} R^{l} P_{l}(\cos \vartheta)=\frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{l} P_{l}(\cos \vartheta) \nonumber\]

Con este resultado también podemos calcular el potencial:

\[V(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) \frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{l} P_{l}(\cos \vartheta) d \vec{r}^{\prime} \nonumber\]

Los diversos términos en la expansión son los multipolos. Los pocos más bajos son:

\[\begin{array}{l} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d \overrightarrow{r^{\prime}}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text { Monopole } \\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{2}} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) r^{\prime} P_{1}(\cos \vartheta) d \overrightarrow{r^{\prime}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{2}} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) r^{\prime} \cos \vartheta d \overrightarrow{r^{\prime}}=\frac{\hat{r} \cdot \vec{d}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \quad \quad\text { Dipole } \\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) r^{\prime 2} P_{2}(\cos \vartheta) d \overrightarrow{r^{\prime}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) r^{\prime 2}\left(\frac{3}{2} \cos ^{2} \vartheta-\frac{1}{2}\right) d \overrightarrow{r^{\prime}} \quad \text { Quadrupole } \end{array} \nonumber\]

Este tipo de expansión se puede llevar a cabo también para el potencial magnetostático y para el campo electromagnético dependiente del tiempo.

A grandes distancias, los pedidos más bajos en esta expansión son los únicos importantes. Así, en lugar de considerar la radiación total de una distribución de carga, podemos aproximarla considerando la radiación que surge de los primeros multipolos: es decir, la radiación del dipolo eléctrico, el dipolo magnético, el cuadrupolo eléctrico etc.

Cada uno de estos términos de radiación tiene una peculiar dependencia angular. Esto se reflejará en el tratamiento mecánico cuántico mediante un valor de momento angular específico del campo de radiación asociado al multipolo. A su vez, esto dará lugar a reglas de selección determinadas por las reglas de adición de momento angular de las partículas y radiación involucradas en el proceso radiativo.

Teoría mecánica cuántica

En la mecánica cuántica, la desintegración gamma se expresa como una transición de un estado excitado a uno fundamental de un núcleo. Entonces podemos estudiar la tasa de transición de tal decadencia a través de la regla de oro de Fermi

\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\right|^{2} \rho\left(E_{f}\right) \nonumber\]

Hay dos ingredientes importantes en esta fórmula, la densidad de estados\( \rho\left(E_{f}\right)\) y el potencial de interacción\( \hat{V}\).

Densidad de estados

La densidad de estados se define como el número de estados disponibles por energía:\(\rho\left(E_{f}\right)=\frac{d N_{s}}{d E_{f}} \), donde\(N_{s}\) está el número de estados. Hemos visto en varios momentos el concepto de degeneración: como los valores propios de un operador pueden ser degenerados, puede haber más de una función propia compartiendo los mismos valores propios. En el caso del hamiltoniano, cuando hay degeneraciones significa que más de un estado comparten la misma energía.

Al considerar que el núcleo+radiación está encerrado en una cavidad de volumen L ³, tenemos para el fotón emitido una función de onda representada por la solución de una partícula en una caja 3D que vimos en un conjunto de problemas.

En cuanto al caso 1D, tenemos una cuantificación del impulso (y por lo tanto del número de onda\(k\)) para ajustar la función de onda en la caja. Aquí solo tenemos una cuantificación en las 3 direcciones:

\[k_{x}=\frac{2 \pi}{L} n_{x}, \quad k_{y}=\frac{2 \pi}{L} n_{y}, \quad k_{z}=\frac{2 \pi}{L} n_{z} \nonumber\]

(con\(n\) enteros). Entonces, yendo a coordenadas esféricas, podemos contar el número de estados en un caparazón esférico entre\(n\) y\(n + dn\) ser\(d N_{s}=4 \pi n^{2} d n\). Expresando esto en términos de\(k\), tenemos\(d N_{s}=4 \pi k^{2} d k \frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}}\). Si consideramos solo un pequeño ángulo sólido\(d \Omega\) en lugar de\(4 \pi\) tener entonces el número de estado\(d N_{s}=\frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}} k^{2} d k d \Omega\). Ya que\(E=\hbar k c=\hbar \omega\), finalmente obtenemos la densidad de estados:

\[\rho(E)=\frac{d N_{s}}{d E}=\frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}} k^{2} \frac{d k}{d E} d \Omega=\frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}} \frac{k^{2}}{\hbar c} d \Omega=\frac{\omega^{2}}{\hbar c^{3}} \frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}} d \Omega \nonumber\]

Figura\(\PageIndex{2}\): Densidad de estados: contando los estados 2D (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

El potencial del vector

A continuación consideramos el potencial causante de la transición. La interacción de una partícula con el campo e.m. se puede expresar en términos del potencial vectorial\( \hat{\vec{A}}\) del campo e.m. como:

\[\hat{V}=\frac{e}{m c} \hat{\vec{A}} \cdot \hat{\vec{p}} \nonumber\]

donde\( \hat{\vec{p}}\) está el impulso de la partícula. El potencial vectorial\( \hat{\vec{A}}\) en QM es un operador que puede crear o aniquilar fotones,

\[\hat{\vec{A}}=\sum_{k} \sqrt{\frac{2 \pi \hbar c^{2}}{V \omega_{k}}}\left(\hat{a}_{k} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}+\hat{a}_{k}^{\dagger} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right) \vec{\epsilon}_{k} \nonumber\]

donde\( \hat{a}_{k}\left(\hat{a}_{k}^{\dagger}\right)\) aniquila (crea) un fotón de impulso\( \vec{k}\). También,\(\vec{\epsilon}_{k} \) es la polarización del campo e.m. Dado que la desintegración gamma (y muchos otros procesos atómicos y nucleares) es capaz de crear fotones (o absorberlos), tiene sentido que el operador que describe el campo e.m. sea capaz de describir la creación y aniquilación de fotones. La segunda característica de este operador son los términos\(\propto e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} \) que describen una onda plana, como se esperaba para las ondas e.m., con impulso\(\hbar k \) y frecuencia\(ck\).

Transición dipolar para decaimiento gamma

Para calcular la tasa de transición de la regla de oro de Fermi,

\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\right|^{2} \rho\left(E_{f}\right), \nonumber\]

realmente solo nos interesa el elemento matriz\( \left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\), donde el estado inicial no tiene ningún fotón, y el final tiene un fotón de impulso\(\hbar k \) y energía\( \hbar \omega=\hbar k c .\). Entonces, el único elemento en la suma anterior para el potencial vectorial que da una contribución distinta de cero será el término\( \propto \hat{a}_{k}^{\dagger}\), con el\(\vec{k} \) impulso apropiado:

\[V_{i f}=\frac{e}{m c} \sqrt{\frac{2 \pi \hbar c^{2}}{V \omega_{k}}} \vec{\epsilon}_{k} \cdot\left\langle\hat{\vec{p}} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right\rangle \nonumber\]

Esto se puede simplificar de la siguiente manera. Recuerden eso\( \left[\hat{\vec{p}}^{2}, \hat{\vec{r}}\right]=-2 i \hbar \hat{\vec{p}}\). Así podemos escribir,\( \hat{\vec{p}}=\frac{i}{2 \hbar}\left[\hat{\vec p}^{2}, \hat{\vec{r}}\right]=\frac{i m}{\hbar}\left[\frac{\hat{\vec p}^{2}}{2 m}, \hat{\vec{r}}\right]= \frac{i m}{\hbar}\left[\frac{\hat{\vec p}^{2}}{2 m}+V_{n u c}(\hat{\vec{r}}), \hat{\vec{r}}\right]\). Presentamos el hamiltoniano nuclear\(\mathcal{H}_{n u c}=\frac{\hat{\vec p}^{2}}{2 m}+V_{n u c}(\hat{\vec{r}}) \): así lo hemos hecho\( \hat{\vec{p}}=\frac{i m}{\hbar}\left[\mathcal{H}_{n u c}, \hat{\vec{r}}\right]\). Tomando el valor de expectativa

\[\left\langle\psi_{f}|\hat{\vec{p}}| \psi_{i}\right\rangle=\frac{i m}{\hbar}\left(\left\langle\psi_{f}\left|\mathcal{H}_{n u c} \hat{\vec{r}}\right| \psi_{i}\right\rangle-\left\langle\psi_{f}\left|\hat{\vec{r}} \mathcal{H}_{n u c}\right| \psi_{i}\right\rangle\right) \nonumber\]

y recordando que\(\left|\psi_{i, f}\right\rangle\) son estados propios de los hamiltonianos, tenemos

\[\left\langle\psi_{f}|\hat{\vec{p}}| \psi_{i}\right\rangle=\frac{i m}{\hbar}\left(E_{f}-E_{i}\right)\left\langle\psi_{f}|\hat{\vec{r}}| \psi_{i}\right\rangle=i m \omega_{k}\left\langle\psi_{f}|\hat{\vec{r}}| \psi_{i}\right\rangle, \nonumber\]

donde utilizamos el hecho de que\( \left(E_{f}-E_{i}\right)=\hbar \omega_{k}\) por conservación de energía. Así obtenemos

\[V_{i f}=\frac{e}{m c} \sqrt{\frac{2 \pi \hbar c^{2}}{V \omega_{k}}} i m \omega \vec{\epsilon}_{k} \cdot\left\langle\hat{\vec{r}} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right\rangle=i \sqrt{\frac{2 \pi \hbar e^{2} \omega_{k}}{V}} \vec{\epsilon}_{k} \cdot\left\langle\hat{\vec{r}} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right\rangle \nonumber\]

Hemos visto que las longitudes de onda de los fotones gamma son mucho mayores que el tamaño nuclear. Entonces\( \vec{k} \cdot \vec{r} \ll 1\) y podemos hacer una expansión en serie:\(e^{-\vec{k} \cdot \vec{r}} \sim \sum_{l} \frac{1}{l !}(-i \vec{k} \cdot \vec{r})^{l}=\sum_{l} \frac{1}{l !}(-i k r \cos \vartheta)^{l}\). Esta serie es muy similar en significado a la serie multipolar que vimos para el caso clásico.

Por ejemplo, para\(l\) = 0 obtenemos:

\[V_{i f}=\sqrt{\frac{2 \pi \hbar e^{2} \omega_{k}}{V}}\langle\hat{\vec{r}}\rangle \cdot \vec{\epsilon}_{k} \nonumber\]

que es la aproximación dipolar, ya que se puede escribir también usando el operador dipolo eléctrico\(e \hat{\vec{r}} \).

El ángulo entre la polarización del campo e.m. y la posición\( \hat{\vec{r}}\) es\(\langle\hat{\vec{r}}\rangle \cdot \vec{\epsilon}=\langle\hat{\vec{r}}\rangle \sin \vartheta\)

La tasa de transición para la radiación dipolo,\(W \equiv \lambda(E 1)\) es entonces:

\[\lambda(E 1)=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\right|^{2} \rho\left(E_{f}\right)=\frac{\omega^{3}}{2 \pi c^{3} \hbar}|\langle\hat{\vec{r}}\rangle|^{2} \sin ^{2} \vartheta d \Omega \nonumber\]

e integrando sobre toda la dirección posible de emisión (\(\int_{0}^{2 \pi} d \varphi \int_{0}^{\pi}\left(\sin ^{2} \vartheta\right) \sin \vartheta d \vartheta=2 \pi \frac{4}{3}\)):

\[\lambda(E 1)=\frac{4}{3} \frac{e^{2} \omega^{3}}{\hbar c^{3}}|\langle\hat{\vec{r}}\rangle|^{2} \nonumber\]

Multiplicando la velocidad de transición (o fotones emitidos por unidad de tiempo) por la energía de los fotones emitidos obtenemos la potencia radiada,\(P=W \hbar \omega\):

\[P=\frac{4}{3} \frac{e^{2} \omega^{4}}{c^{3}}|\langle\hat{\vec{r}}\rangle|^{2} \nonumber\]

Observe la similitud de esta fórmula con el caso clásico:

\[P_{E 1}=\frac{1}{3} \frac{e^{2} \omega^{4}}{c^{3}}\left|\vec{r}_{0}\right|^{2} \nonumber\]

Podemos estimar la tasa de transición utilizando una energía típica\( E=\hbar \omega\) para el fotón emitido (igual a una diferencia de energía típica entre los niveles nucleares excitados y en estado fundamental) y el valor de expectativa para el dipolo (\( |\langle\hat{\vec{r}}\rangle| \sim R_{n u c} \approx r_{0} A^{1 / 3}\)). Luego, se evalúa la tasa de transición para ser

\[\lambda(E 1)=\frac{e^{2}}{\hbar c} \frac{E^{3}}{(\hbar c)^{3}} r_{0}^{2} A^{2 / 3}=1.0 \times 10^{14} A^{2 / 3} E^{3} \nonumber\]

(con E en MeV). Por ejemplo, para A = 64 y E = 1MeV la tasa es\(\lambda \approx 1.6 \times 10^{15} s^{-1} \) o\( \tau=10^{-15}\) (¡femtosegundos!) para E = 0.1MeV\( \tau\) es del orden de picosegundos.

Obs.

Debido a las grandes energías involucradas, se esperan procesos muy rápidos en la desintegración nuclear de estados excitados, de acuerdo con la regla de oro de Fermi y la relación energía/tiempo de incertidumbre.

Extensión a Multipolos

Se obtuvo por encima de la tasa de transición para el dipolo eléctrico, es decir, cuando la interacción entre el núcleo y el campo e.m. es descrita por un dipolo eléctrico y la radiación emitida tiene el carácter de radiación dipolo eléctrico. Este tipo de radiación sólo puede llevar a cabo del núcleo un cuántico de momento angular (es decir\(\Delta l=\pm 1 \), entre estado excitado y fundamental). En general, los niveles excitados difieren en más de 1\(l\), por lo que la radiación emitida necesita ser una radiación multipolar más alta para conservar el momento angular.

Multipolos Eléctricos

Podemos volver a la expansión de la interacción de radiación en multipolos:

\[\hat{V} \sim \sum_{l} \frac{1}{l !}(i \hat{\vec{k}} \cdot \hat{\vec{r}})^{l} \nonumber\]

Entonces la tasa de transición se convierte en:

\[\lambda(E l)=\frac{8 \pi(l+1)}{l[(2 l+1) ! !]^{2}} \frac{e^{2}}{\hbar c}\left(\frac{E}{\hbar c}\right)^{2 l+1}\left(\frac{3}{l+3}\right)^{2} c\langle|\hat{\vec{r}}|\rangle^{2 l} \nonumber\]

Observe la fuerte dependencia del número\(l\) cuántico. Fijando de nuevo también\(|\langle\hat{\vec{r}}\rangle| \sim r_{0} A^{1 / 3}\) tenemos una fuerte dependencia del número masivo.

Así, tenemos las siguientes estimaciones para las tarifas de diferentes multipolos eléctricos:

• \(\lambda(E 1)=1.0 \times 10^{14} A^{2 / 3} E^{3}\)
• \(\lambda(E 2)=7.3 \times 10^{7} A^{4 / 3} E^{5}\)
• \(\lambda(E 3)=34 A^{2} E^{7}\)
• \(\lambda(E 4)=1.1 \times 10^{-5} A^{8 / 3} E^{9}\)

Multipolos Magnéticos

El potencial e.m. también puede contener interacciones magnéticas, lo que lleva a transiciones magnéticas. Las tasas de transición se pueden calcular a partir de una fórmula similar:

\[\lambda(M l)=\frac{8 \pi(l+1)}{l[(2 l+1) ! !]^{2}} \frac{e^{2}}{\hbar c} \frac{E^{2 l+1}}{\hbar c}\left(\frac{3}{l+3}\right)^{2} c\langle|\hat{\vec{r}}|\rangle^{2 l-2}\left[\frac{\hbar}{m_{p} c}\left(\mu_{p}-\frac{1}{l+1}\right)\right] \nonumber\]

donde\(\mu_{p} \) está el momento magnético del protón (y\( m_{p}\) su masa).

Las estimaciones para las tasas de transición se pueden encontrar estableciendo\(\mu_{p}-\frac{1}{l+1} \approx 10\):

• \(\lambda(M 1)=5.6 \times 10^{13} E^{3}\)
• \(\lambda(M 2)=3.5 \times 10^{7} A^{2 / 3} E^{5}\)
• \(\lambda(M 3)=16 A^{4 / 3} E^{7}\)
• \(\lambda(M 4)=4.5 \times 10^{-6} A^{2} E^{9}\)

Reglas de selección

El momento angular debe conservarse durante la decadencia. Así, la diferencia en el momento angular entre el estado inicial (excitado) y el estado final es arrastrada por el fotón emitido. Otra cantidad conservada es la paridad total del sistema.

Cambio de paridad

La paridad del fotón gamma está determinada por su carácter, ya sea multipolar magnético o eléctrico. Tenemos

\[\Pi_{\gamma}(E l)=(-1)^{l} \quad \text { Electric multipole } \nonumber\]

\[\Pi_{\gamma}(M l)=(-1)^{l-1} \quad \text { Magnetic multipole } \nonumber\]

Entonces si tenemos un cambio de paridad del estado inicial al final\(\Pi_{i} \rightarrow \Pi_{f}\) esto es contabilizado por el fotón emitido como:

\[\Pi_{\gamma}=\Pi_{i} \Pi_{f} \nonumber\]

Esto, por supuesto, limita el tipo de transiciones multipolares que se permiten dado un estado inicial y final.

\[\Delta \Pi=\mathrm{no} \rightarrow \text { Even Electric, Odd Magnetic } \nonumber\]

\[\Delta \Pi=\text { yes } \rightarrow \text { Odd Electric, Even Magnetic } \nonumber\]

Momento angular

A partir de la conservación del momento angular:

\[\hat{\vec{I}}_{i}=\hat{\vec{I}}_{f}+\hat{\vec{L}}_{\gamma} \nonumber\]

los valores permitidos para el número cuántico de momento angular del fotón,\(l\), están restringidos a

\[l_{\gamma}=\left|I_{i}-I_{f}\right|, \ldots, I_{i}+I_{f} \nonumber\]

Una vez\(l\) hallado lo permitido a partir de la relación anterior, el carácter (magnético o eléctrico) del multipolo se encuentra observando la paridad.

En general entonces, la transición más importante será la que tenga la menor permitida\(l\),\( \Pi\). También son posibles los multipolos más altos, pero van a llevar a procesos mucho más lentos.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Momento angular y paridad de los multipolos gamma (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Modos de decadencia dominante

En general tenemos las siguientes predicciones de qué transiciones ocurrirán:

1. El multipolo más bajo permitido domina
2. Los multipolos eléctricos son más probables que el mismo multipolo magnético por un factor ∼ 10 ² (sin embargo, cuál va a suceder depende de la paridad)
   \[\frac{\lambda(E l)}{\lambda(M l)} \approx 10^{2} \nonumber\]
3. La emisión del multipolo\(l\) + 1 es 10 ⁻⁵ veces menos probable que la emisión\(l\) -multipolar.
   \[\frac{\lambda(E, l+1)}{\lambda(E l)} \approx 10^{-5}, \quad \frac{\lambda(M, l+1)}{\lambda(M l)} \approx 10^{-5} \nonumber\]
4. Combinando 2 y 3, tenemos:
   \[\frac{\lambda(E, l+1)}{\lambda(M l)} \approx 10^{-3}, \quad \frac{\lambda(M, l+1)}{\lambda(E l)} \approx 10^{-7} \nonumber\]
   Así E2 compite con M1 mientras que ese no es el caso para M2 vs E1

Conversión interna

¿Qué sucede si no se pueden encontrar transiciones permitidas? Este es el caso de los nucleidos pares, donde la decadencia desde el estado excitado 0 ⁺ debe ocurrir sin un cambio en el momento angular. Sin embargo, el fotón siempre lleva algún momento angular, por lo que la emisión gamma es imposible.

Entonces ocurre otro proceso, llamado conversión interna:

\[\stackrel{A}{Z} X^{*} \rightarrow_{Z}^{A} X+e^{-} \nonumber\]

donde\({}^A_Z X \) es un estado ionizado y\(e^{-} \) es uno de los electrones atómicos.

Además del caso de núcleos pares, la conversión interna es en general un proceso competidor de desintegración gamma (ver Krane para más detalles).