7.2: Decaimiento Beta
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La desintegración beta es una desintegración radiactiva en la que un protón en un núcleo se convierte en un neutrón (o viceversa). En el proceso el núcleo emite una partícula beta (ya sea un electrón o un positrón) y una partícula casi sin masa, el neutrino.
Recordemos las gráficas de cadena de masa y decaimiento Beta de la Fig. 7. Al estudiar la energía de unión del SEMF vimos que en A fijo había un mínimo en la masa nuclear para un valor particular de Z. Para alcanzar ese mínimo, los nucleidos inestables sufren desintegración beta para transformar el exceso de protones en neutrones (y viceversa).
Reacciones y Fenomenología
La reacción de desintegración beta se escribe como:
\[\ce{_{Z}^{A} X_{N} -> _{Z+1}^{A} X_{N-1}^{\prime} + e^{-} + \bar{\nu}} \nonumber\]
Esta es la\(\beta^{-}\) decadencia. (o decaimiento beta negativo) La reacción subyacente es:
\[\ce{n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}} \nonumber\]
que convierte un protón en un neutrón con la emisión de un electrón y un antineutrino. Hay otros dos tipos de reacciones, la\(\beta^{+}\) reacción,
\[\ce{ ^{A}_{Z} X_{N} -> _{Z-1}^{A} X_{N+1}^{\prime} + e^{+} + \nu } \nonumber\]
con esta reacción subyacente
\[\ce{p -> n + e^{+} + \nu} \nonumber\]
que ve la emisión de un positrón (el electrón anti-partícula) y un neutrino; y la captura de electrones:
\[{ }_{Z}^{A} X_{N}+e^{-} \rightarrow{ }_{Z-1}^{A} X_{N+1}^{\prime}+\nu \nonumber\]
con esta reacción subyacente
\[\ce{ p + e^{-} \rightarrow n+\nu} \nonumber\]
un proceso que compite con, o sustituya, la emisión de positrones.
\ [{} _ {29} ^ {64}\ mathrm {Cu}\ barra invertida\ begin {array} {ll}
\ nearrow & {} ^ {64}\ mathrm {Zn} +e^ {-} +\ bar {\ nu},\ quad Q_ {\ beta} =0.57 M\ mathrm {eV}\\
& {} _ {28} ^ {64}\ mathrm {Ni} +e^ {+} +\ nu,\ quad Q_ {\ beta} =0.66\ mathrm {MeV}
\ end {array}\ nonumber\]
El neutrino y la partícula beta (\(\beta^{\pm}\)) comparten la energía.
Dado que los neutrinos son muy difíciles de detectar (como veremos son casi sin masa e interactúan muy débilmente con la materia), los electrones/positrones son las partículas detectadas en la desintegración beta y presentan un espectro de energía característico (ver Fig. 45). La diferencia entre el espectro de las\(\beta^{\pm}\) partículas se debe a la repulsión o atracción de Coulomb desde el núcleo. Observe que los neutrinos también se llevan el momento angular. Son partículas spin-1/2, sin carga (de ahí el nombre) y de masa muy pequeña. Durante muchos años en realidad se creía que tenía masa cero. No obstante se ha confirmado que sí tiene una masa en 1998.
Leyes de Conservación
Como el neutrino es difícil de detectar, inicialmente la desintegración beta pareció violar la conservación de energía. La introducción de una partícula extra en el proceso permite respetar la conservación de energía. Además de la energía, hay otras cantidades conservadas:
- Energía: El valor Q de una desintegración beta viene dado por la fórmula habitual:
\[Q_{\beta^{-}}=\left[m_{N}\left({ }^{A} X\right)-m_{N}\left({ }_{Z+1}^{A} X^{\prime}\right)-m_{e}\right] c^{2}. \nonumber\]
Usando las masas atómicas y descuidando las energías de unión del electrón como de costumbre tenemos
\[\begin{align*} Q_{\beta^{-}} &=\left\{\left[m_{A}\left({ }^{A} X\right)-Z m_{e}\right]-\left[m_{A}\left({ }_{Z+1}^{A} X^{\prime}\right)-(Z+1) m_{e}\right]-m_{e}\right\} c^{2} \\[4pt] &=\left[m_{A}\left({ }^{A} X\right)-m_{A}\left({ }_{Z+1}^{A} X^{\prime}\right)\right] c^{2}. \end{align*}\]
La energía cinética (igual a la\(Q\)) es compartida por el neutrino y el electrón (descuidamos cualquier retroceso del núcleo masivo). Entonces, el electrón emergente (recuerden, la única partícula que realmente podemos observar) no tiene una energía fija, como lo fue por ejemplo para el fotón gamma. Pero exhibirá un espectro de energía (que es el número de electrones a una energía dada) así como una distribución de momenta. Veremos cómo podemos reproducir estas gráficas mediante el análisis de la teoría QM de la desintegración beta.
- Momentum: El impulso también se comparte entre el electrón y el neutrino. Por lo tanto, el momento de los electrones observado varía de cero a una transferencia de impulso máxima posible.
- Momento angular (tanto el electrón como el neutrino tienen spin 1/2)
- ¿Paridad? Resulta que la paridad no se conserva en esta decadencia. Esto insinúa que la interacción responsable viola la conservación de la paridad (por lo que no pueden ser las mismas interacciones que ya estudiamos, e.m. e interacciones fuertes)
- Carga (así la creación de un protón es, por ejemplo, siempre acompañada de la creación de un electrón)
- Número de Lepton: no conservamos el número total de partículas (creamos beta y neutrinos). Sin embargo, se conserva el número de partículas masivas y pesadas (o bariones, compuestas por 3 quarks). También se conserva el número de leptón. Los leptones son partículas fundamentales (incluyendo el electrón, muón y tau, así como los tres tipos de neutrinos asociados a estos 3). El número de leptones es +1 para estas partículas y -1 para sus antipartículas. Entonces un electrón siempre va acompañado de la creación de un antineutrino, e.g., para conservar el número de leptones (inicialmente cero).
Teoría de Fermi de Decaimiento Beta
Las propiedades de la desintegración beta se pueden entender estudiando su descripción cuántico-mecánica a través de la regla de oro de Fermi, como se hace para la desintegración gamma.
\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\right|^{2} \rho\left(E_{f}\right) \nonumber\]
En el proceso de decaimiento gamma hemos visto como el campo e.m. se describe como un operador que puede crear (o destruir) fotones. Nadie se opuso al hecho de que podemos crear estas partículas sin masa. Después de todo, estamos familiarizados con partículas cargadas que producen (crean) un campo e.m. Sin embargo en QM los fotones también son partículas, y por analogía podemos tener también creación de otro tipo de partículas, como el electrón y el neutrino.
Para la desintegración beta necesitamos otro tipo de interacción que sea capaz de crear partículas masivas (el electrón y el neutrino). La interacción no puede ser dada por el campo e.m.; además, a la luz de las posibilidades de crear y aniquilar partículas, también necesitamos encontrar una nueva descripción de las propias partículas que permita estos procesos. Todo esto se obtiene mediante la teoría cuántica de campos y la segunda cuantificación. La teoría cuántica de campos da una unificación de e.m. y fuerza débil (interacción electro-débil) con una constante de acoplamiento e. La interacción responsable de la creación del electrón y neutrino en la desintegración beta se llama la interacción débil y su una de las cuatro interacciones fundamentales ( junto con la gravitación, el electromagnetismo y la fuerte interacción que mantiene unidos nucleones y quarks). Una característica de esta interacción es la violación de la paridad.
Elemento Matriz
La interacción débil se puede escribir en términos de las funciones de onda del campo de partículas:
\[V_{i n t}=g \Psi_{e}^{\dagger} \Psi_{\bar{\nu}}^{\dagger} \nonumber\]
donde\(\Psi_{a}\left(\Psi_{a}^{\dagger}\right)\) aniquila (crea) la partícula a, y g es la constante de acoplamiento que determina qué tan fuerte es la interacción. Recuerde que el operador análogo para el campo e.m. fue\(\propto a_{k}^{\dagger}\) (creando un fotón de momentum k).
Luego, el elemento de la matriz
\[V_{i f}=\left\langle\psi_{f}\left|\mathcal{H}_{i n t}\right| \psi_{i}\right\rangle \nonumber\]
se puede escribir como:
\[V_{i f}=g \int d^{3} \vec{x} \Psi_{p}^{*}(\vec{x})\left[\Psi_{e}^{*}(\vec{x}) \Psi_{\bar{\nu}}^{*}(\vec{x})\right] \Psi_{n}(\vec{x}) \nonumber\]
(Aquí\(\dagger \rightarrow *\) ya que tenemos operadores escalares).
A la primera aproximación el electrón y el neutrino se pueden tomar como ondas planas:
\[V_{i f}=g \int d^{3} \vec{x} \Psi_{p}^{*}(\vec{x}) \frac{e^{i \vec{k}_{e} \cdot \vec{x}}}{\sqrt{V}} \frac{e^{i \vec{k}_{\nu} \cdot \vec{x}}}{\sqrt{V}} \Psi_{n}(\vec{x}) \nonumber\]
y ya que\(k R \ll 1\) podemos aproximar esto con
\[V_{i f}=\frac{g}{V} \int d^{3} \vec{x} \Psi_{p}^{*}(\vec{x}) \Psi_{n}(\vec{x}) \nonumber\]
Luego escribimos este elemento de la matriz como
\[V_{i f}=\frac{g}{V} M_{n p} \nonumber\]
donde\(M_{n p}\) es una función muy complicada de los estados de giro nuclear y momento angular. Además, utilizaremos en la Regla de Oro de Fermi la expresión
\[\left|M_{n p}\right|^{2} \rightarrow\left|M_{n p}\right|^{2} F\left(Z_{0}, Q_{\beta}\right) \nonumber\]
donde la función Fermi\(F\left(Z_{0}, Q_{\beta}\right)\) da cuenta de la interacción Coulomb entre el núcleo y el electrón que habíamos descuidado en la expresión anterior (donde solo consideramos la interacción débil).
Densidad de estados
Al estudiar la desintegración gamma calculamos la densidad de los estados, tal como lo exige la Regla de Oro de Fermi. Aquí tenemos que hacer lo mismo, pero el problema se complica por el hecho de que existen dos tipos de partículas (electrón y neutrino) como productos de la reacción y ambas pueden estar en un continuo de estados posibles. Entonces el número de estados en un pequeño volumen de energía es producto de los estados de electrones y neutrinos:
\[d^{2} N_{s}=d N_{e} d N_{\nu}. \nonumber\]
Las dos partículas comparten la\(Q\) energía:
\[Q_{\beta}=T_{e}+T_{\nu}. \nonumber\]
Por simplicidad asumimos que la masa del neutrino es cero (es mucho menor que la masa de electrones y de la masa cinética del propio neutrino). Entonces podemos tomar la expresión relativista
\[T_{\nu}=c p_{\nu}, \nonumber\]
mientras que para el electrón
\[E^{2}=p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4} \quad \rightarrow \quad E=T_{e}+m_{e} c^{2} \quad \text { with } T_{e}=\sqrt{p_{e}^{2} c^{2}+m_{e}^{2} c^{4}}-m_{e} c^{2} \nonumber\]
y luego escribimos la energía cinética del neutrino en función de los electrones,
\[T_{\nu}=Q_{\beta}-T_{e}. \nonumber\]
El número de estados para el electrón se puede calcular a partir del momento cuantificado, bajo el supuesto de que el estado del electrón es una partícula libre\(\left(\psi \sim e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right)\) en una región de volumen\(V=L^{3}:\)
\[d N_{e}=\left(\frac{L}{2 \pi}\right)^{3} 4 \pi k_{e}^{2} d k_{e}=\frac{4 \pi V}{(2 \pi \hbar)^{3}} p_{e}^{2} d p_{e} \nonumber\]
y lo mismo para el neutrino,
\[d N_{\nu}=\frac{4 \pi V}{(2 \pi \hbar)^{3}} p_{\nu}^{2} d p_{\nu} \nonumber\]
donde se utilizó la relación entre el impulso y el número de onda:\(\vec{p}=\hbar \vec{k}.\)
A un valor determinado de momento/energía para el electrón, podemos escribir la densidad de estados como
\[\rho\left(p_{e}\right) d p_{e}=d N_{e} \frac{d N_{\nu}}{d T_{\nu}}=16 \pi^{2} \frac{V^{2}}{(2 \pi \hbar)^{6}} p_{e}^{2} d p_{e} p_{\nu}^{2} \frac{d p_{\nu}}{d T_{\nu}}=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}}\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} d p_{e} \nonumber\]
donde usamos:\(\frac{d T_{\nu}}{d p_{\nu}}=c\) y\(p_{\nu}=\left(Q_{\beta}-T_{e}\right) / c.\)
La densidad de los estados es entonces
\[\rho\left(p_{e}\right) d p_{e}=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}}\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} d p_{e}=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}}\left[Q-\left(\sqrt{p_{e}^{2} c^{2}+m_{e}^{2} c^{4}}-m_{e} c^{2}\right)\right]^{2} p_{e}^{2} d p_{e} \nonumber\]
o reescribir esta expresión en términos de la energía cinética electrónica:
\[\rho\left(T_{e}\right)=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}}\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} \frac{d p_{e}}{d T_{e}}=\frac{V^{2}}{4 c^{6} \pi^{4} \hbar^{6}}\left[Q-T_{e}\right]^{2} \sqrt{T_{e}^{2}+2 T_{e} m_{e} c^{2}}\left(T_{e}+m_{e} c^{2}\right) \nonumber\]
\(\left(\text { as } p_{e} d p_{e}=\left(T_{e}+m_{e} c^{2}\right) / c^{2} d T_{e}\right)\)
Conociendo la densidad de los estados, podemos calcular cuántos electrones se emiten en la desintegración beta con una energía dada. Esto será proporcional a la tasa de emisión calculada a partir de la Regla de Oro de Fermi, multiplicada por la densidad de los estados:
\[N(p)=C F(Z, Q)\left|V_{f i}\right|^{2} \frac{p^{2}}{c^{2}}[Q-T]^{2}=C F(Z, Q)\left|V_{f i}\right|^{2} \frac{p^{2}}{c^{2}}\left[Q-\left(\sqrt{p_{e}^{2} c^{2}+m_{e}^{2} c^{4}}-m_{e} c^{2}\right)\right]^{2} \nonumber\]
y
\[N\left(T_{e}\right)=\frac{C}{c^{5}} F(Z, Q)\left|V_{f i}\right|^{2}\left[Q-T_{e}\right]^{2} \sqrt{T_{e}^{2}+2 T_{e} m_{e} c^{2}}\left(T_{e}+m_{e} c^{2}\right) \nonumber\]
Estas distribuciones no son otra cosa que el espectro de las partículas beta emitidas (electrón o positrón). En esta expresión recogimos en la C constante diversos parámetros derivados de los cálculos de la Regla de Oro de Fermi y densidad de estados, ya que queremos destacar únicamente la dependencia de la energía y el impulso. Además, se introdujo una nueva función, F (Z, Q), llamada función Fermi, que toma en cuenta la forma de la función de onda nuclear y en particular describe la atracción o repulsión de Coulomb del electrón o positrón del núcleo. Así, F (Z, Q) es diferente, dependiendo del tipo de decaimiento. Estas distribuciones se graficaron en la Fig. 45. Observe que estas distribuciones (así como la tasa de decaimiento a continuación) son producto de tres términos:
- el Factor estadístico (derivado del cálculo de la densidad de estados),\(\frac{p^{2}}{c^{2}}[Q-T]^{2}\)
- la función Fermi (contabilizando la interacción Coulomb), F (Z, Q)
- y la amplitud de transición de la Regla de Oro de Fermi,\(\left|V_{f i}\right|^{2}\)
Estos tres términos reflejan los tres ingredientes que determinan el espectro y la tasa de desintegración de los procesos de desintegración beta.
Tasa de decaimiento
La tasa de decaimiento se obtiene de la regla de oro de Fermi:
\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|V_{i f}\right|^{2} \rho(E) \nonumber\]
donde ρ (E) es la densidad total de los estados. ρ (E) (y así la tasa de decaimiento) se obtiene sumando sobre todos los estados posibles de la partícula beta, contados por la densidad de los estados. Así, en la práctica, necesitamos integrar la densidad de estados sobre todo el impulso posible del electrón/positrón saliente. Tras la integración sobre\(p_{e}\) obtenemos:
\[\rho(E)=\frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}} \int_{0}^{p_{e}^{m a x}} d p_{e}\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} \approx \frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}} \frac{\left(Q-m c^{2}\right)^{5}}{30 c^{3}} \nonumber\]
(donde tomamos\(T_{e} \approx p c\) en el límite relativista para la alta velocidad de electrones).
Finalmente podemos escribir la tasa de decaimiento como:
\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|V_{i f}\right|^{2} \rho(E)=\frac{2 \pi}{\hbar} \frac{g}{V}^{2}\left|M_{n p}\right|^{2} F\left(Z, Q_{\beta}\right) \frac{V^{2}}{4 \pi^{4} \hbar^{6} c^{3}} \frac{\left(Q-m c^{2}\right)^{5}}{30 c^{3}} \nonumber\]
\[=G_{F}^{2}\left|M_{n p}\right|^{2} F\left(Z, Q_{\beta}\right) \frac{\left(Q-m c^{2}\right)^{5}}{60 \pi^{3} \hbar(\hbar c)^{6}} \nonumber\]
donde introdujimos la constante
\[G_{F}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi^{3}}} \frac{g m_{e}^{2} c}{\hbar^{3}} \nonumber\]
lo que da la fuerza de la interacción débil. Comparando con la fuerza de la interacción electromagnética, dada por la constante fina\(\alpha=\frac{e^{2}}{\hbar c} \sim \frac{1}{137}\), la interacción débil es mucho menor, con una constante\(\sim 10^{-6}.\)
También podemos escribir la tasa de decaimiento diferencial\(\frac{d W}{d p_{e}}\):
\[\frac{d W}{d p_{e}}=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|V_{i f}\right|^{2} \rho\left(p_{e}\right) \propto F(Z, Q)\left[Q-T_{e}\right]^{2} p_{e}^{2} \nonumber\]
La raíz cuadrada de esta cantidad es entonces una función lineal en la energía cinética de neutrinos,\(Q-T_{e}\):
\[\sqrt{\frac{d W}{d p_{e}} \frac{1}{p_{e}^{2} F(Z, Q)}} \propto Q-T_{e} \nonumber\]
Esta es la relación Fermi-Kurie. Por lo general, la gráfica Fermi-Kurie se utiliza para inferir por regresión lineal la energía máxima de electrones (o Q) al encontrar la intercepción en línea recta.
