11.3: Ecuación de Bernoulli

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objetivos de aprendizaje

Adaptar la ecuación de Bernoulli para flujos que son inestables o compresibles

Aplicación de la ecuación de Bernoulli

La relación entre presión y velocidad en fluidos ideales se describe cuantitativamente por la ecuación de Bernoulli, que lleva el nombre de su descubridor, el científico suizo Daniel Bernoulli (1700—1782). La ecuación de Bernoulli establece que para un fluido incompresible e inviscido, la energía mecánica total del fluido es constante. (Se supone que un fluido inviscido es un fluido ideal sin viscosidad).

Principio de Bernoulli: Una breve introducción al Principio de Bernoulli para estudiantes que estudian fluidos.

La energía mecánica total de un fluido existe en dos formas: potencial y cinética. La energía cinética del fluido se almacena en presión estática, psps y presión dinámica, 12ρV212ρV2, donde\ rho es la densidad del fluido en (unidad SI: kg/m ³) y V es la velocidad del fluido (unidad SI: m/s). La unidad SI de presión estática y presión dinámica es el pascal.

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Sifonación: Sifonación de líquido entre dos reservorios. El caudal de salida se puede determinar dibujando una línea aerodinámica del punto (A) al punto (C).

La presión estática es simplemente la presión en un punto dado en el fluido, la presión dinámica es la energía cinética por unidad de volumen de una partícula de fluido. Así, un fluido no tendrá presión dinámica a menos que se esté moviendo. Por lo tanto, si no hay cambio en la energía potencial a lo largo de una línea aerodinámica, la ecuación de Bernoulli implica que la energía total a lo largo de esa línea de transmisión es constante y es un equilibrio entre la presión estática y la dinámica. Matemáticamente, la afirmación anterior implica:

\[\mathrm{p_s+\dfrac{1}{2}ρV^2=constant}\]

a lo largo de una corriente. Si hay cambios significativos en la altura o si la densidad del fluido es alta, no se debe ignorar el cambio en la energía potencial y se puede explicar con,

\[\mathrm{ΔPE=ρgΔh.}\]

Esto simplemente agrega otro término a la versión anterior de la ecuación de Bernoulli y da como resultado

\[\mathrm{p_s+\dfrac{1}{2}ρV^2+ρgΔh=constant.}\]

Derivando la ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli se puede derivar integrando la segunda ley de Newton a lo largo de una línea aerodinámica con fuerzas gravitacionales y de presión como las únicas fuerzas que actúan sobre un elemento fluido. Dado que cualquier intercambio de energía es el resultado de fuerzas conservadoras, la energía total a lo largo de una línea aerodinámica es constante y simplemente se intercambia entre potencial y cinética.

Aplicando la Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli se puede aplicar al sifonar fluido entre dos reservorios. Otra aplicación útil de la ecuación de Bernoulli está en la derivación de la ley de Torricelli para el flujo de un agujero de borde afilado en un embalse. Se puede extraer una línea aerodinámica desde la parte superior del depósito, donde se conoce la energía total, hasta el punto de salida donde se conocen la presión estática y la energía potencial pero la presión dinámica (velocidad de flujo de salida) no lo es.

Adaptación de la ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli se puede adaptar a flujos que son tanto inestables como compresibles. Sin embargo, el supuesto de flujo inviscido permanece tanto en las versiones inestables como comprimibles de la ecuación. Los efectos de compresibilidad dependen de la velocidad del flujo en relación con la velocidad del sonido en el fluido. Esto está determinado por la cantidad adimensional conocida como el número Mach. El número Mach representa la relación entre la velocidad de un objeto que se mueve a través de un medio y la velocidad del sonido en el medio.

Ley de Torricelli

La ley de Torricelli es el teorema sobre la relación entre la velocidad de salida de un fluido desde un agujero en un reservorio hasta la altura del fluido por encima del orificio.

objetivos de aprendizaje

Inferir la velocidad de salida mediante el examen de la ecuación de Bernoulli

La ley de Torricelli es teorema en la dinámica de fluidos sobre la relación entre la velocidad de salida de un fluido desde un agujero de borde afilado en un depósito hasta la altura del fluido por encima de ese orificio de salida. Esta relación se aplica a un fluido “ideal” (inviscido e incompresible) y resulta de un intercambio de energía potencial,

Principio de Torricelli: Una breve introducción al Principio de Torricelli para estudiantes que estudian fluidos.

mghmgh, para la energía cinética,

\(\mathrm{\frac{1}{2}ρv^2}\), a la salida.

Esta relación se puede derivar aplicando la ecuación de Bernoulli entre la parte superior del embalse y el orificio de salida. Aplicar Bernoulli entre la parte superior de un embalse y un orificio de salida a una altura h por debajo de la parte superior del reservorio da como resultado,

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Intercambio de Energía: La energía potencial en la parte superior del reservorio se convierte en energía cinética a la salida.

\[\mathrm{p_t+\dfrac{1}{2}ρv_t^2+ρgh_t=p_e+\dfrac{1}{2}ρv_e^2+ρgh_e}\]

donde el subíndice t implica evaluación en la parte superior del reservorio y el subíndice e implica evaluación a la salida. Si asumimos que tanto la parte superior del embalse como la salida están abiertas a la atmósfera, el cero para la energía potencial está en el orificio de salida, y la velocidad del fluido en la parte superior del reservorio es esencialmente cero (reservorio grande, agujero pequeño), llegamos a

\[\mathrm{ρgh_t=\dfrac{1}{2}ρv_e^2}\]

Esto se puede resolver para la velocidad de salida, dando como resultado,

\[\mathrm{v_e=\sqrt{2gh_t}}\]

donde nuevamente h _t es la diferencia de altura entre la parte superior del embalse y el orificio de salida. Debido a la asunción de un fluido ideal, todas las fuerzas que actúan sobre el fluido son conservadoras y por lo tanto hay un intercambio entre la energía potencial y la cinética. El resultado es que la velocidad adquirida por el fluido es la misma que adquiriría un cuerpo al simplemente caer desde la altura h _t^.

Un simple experimento para probar la ley de Torricelli consiste en llenar una botella de refresco con agua y pinchar el fondo con un pequeño agujero (aproximadamente 1 cm de diámetro). A medida que disminuye la altura en el reservorio, la velocidad de salida también disminuirá. La velocidad de salida se puede aumentar tapando la parte superior del depósito y presurizándolo.

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Ley de Toricelli: La velocidad de salida depende de la altura del fluido por encima del orificio de salida.

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Fluido Ideal: Se aplica a un fluido ideal (inviscido, incompresible)

Tensión superficial

La tendencia de la superficie de un líquido a resistir una fuerza y comportarse como una membrana y es resultado de la cohesión entre moléculas líquidas.

objetivos de aprendizaje

Resumir la causa de las diferentes tensiones superficiales en la superficie de un líquido

La tensión superficial es la tendencia de una superficie líquida a resistir las fuerzas que se le aplican. Este efecto es resultado de la cohesión de las moléculas del líquido provocando que la superficie del líquido se contraiga hasta el área más pequeña posible. Este efecto es visible en la naturaleza con insectos zancudos de agua que son capaces de caminar sobre el agua. Además, un clip o pasador puede ser soportado por la tensión superficial en una interfaz de agua y aire.

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Tensión superficial FBD: Diagramas de fuerza que muestran la dirección de las fuerzas para el agua que soporta un pie de zancuda de agua (insecto) y un pasador. En ambos casos, la componente vertical de la tensión superficial es suficiente para soportar el peso del objeto.

En la mayor parte del líquido, las moléculas son tiradas por igual en todas las direcciones. Las moléculas en la superficie sienten una mayor fuerza de atracción hacia el material a granel que el material de la interfaz.

La superficie de un líquido es una interfaz entre otro fluido, un cuerpo sólido o ambos. Por lo tanto, la tensión superficial será una propiedad de la interfaz en lugar de simplemente el líquido. La adhesión describe la fuerza de atracción entre moléculas de diferentes tipos. La superficie de un líquido en un recipiente es una interfaz entre el líquido, el aire y el recipiente. Donde las superficies se encuentran, las fuerzas deben estar en equilibrio. Esto da como resultado un ángulo de contacto en la interfaz. El ángulo de contacto se mide en el líquido y depende de la fuerza relativa de las fuerzas cohesivas en el líquido y las fuerzas adhesivas entre el líquido y los materiales de la interfaz. Si las moléculas líquidas son fuertemente atraídas por las moléculas de la superficie sólida (fuerzas adhesivas > fuerzas cohesivas), la caída tenderá a extenderse y el ángulo de contacto será cercano a cero grados. Si las fuerzas cohesivas son mayores que las fuerzas adhesivas, los ángulos de contacto resultantes serán grandes y formarán una caída más circular.

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Gotita de agua en la hoja: Cuando se forma una gotita de agua sobre una hoja, las fuerzas cohesivas entre las moléculas de agua son mayores que las fuerzas adhesivas entre el agua y la superficie de la hoja. La hoja es una superficie hidrofóbica.

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Ángulo de contacto: El ángulo de contacto es el ángulo, medido en el fluido, que resulta cuando una interfaz líquido-gas, se encuentra con una superficie sólida.

Cuando el líquido es agua, se dice que una superficie donde el ángulo de contacto es pequeño es hidrofílica. Grandes ángulos de contacto están presentes en las superficies hidrofóbicas. El ángulo de contacto determina la humectabilidad de la superficie.

Puntos Clave

La forma más simple de la ecuación de Bernoulli (flujo constante e incompresible) establece que la suma de energía mecánica, energía potencial y energía cinética, a lo largo de una línea aerodinámica es constante. Por lo tanto, cualquier incremento en una forma da como resultado una disminución en la otra.
La ecuación de Bernoulli considera solo la presión y las fuerzas gravitacionales que actúan sobre las partículas fluidas. Por lo tanto, si no hay cambio de altura a lo largo de una línea aerodinámica, la ecuación de Bernoulli se convierte en un equilibrio entre la presión estática y la velocidad.
La ecuación de Bernoulli incompresible en estado estacionario, se puede derivar integrando la segunda ley de Newton a lo largo de una línea aerodinámica.
La ley de Torricelli se aplica a un fluido inviscido e incompresible (fluido “ideal”).
Se pueden determinar los resultados de la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre la parte superior del embalse y el orificio de salida.
La relación surge de un intercambio de energía potencial en la parte superior del reservorio a energía cinética en la salida.
La energía cinética final es equivalente a lo que adquiriría un cuerpo sólido al caer desde la altura h.
La tensión superficial es el resultado de la cohesión entre las moléculas del líquido. Las moléculas en la superficie del líquido sienten una fuerza atractiva que las arrastra hacia la mayor parte del líquido más que el sólido o fluido en la interfaz.
Cuando se encuentra una interfaz líquido-sólido-gas, el ángulo de contacto representa una medida de la fuerza relativa de las fuerzas adhesivas y cohesivas.
El ángulo de contacto determina la humectabilidad de una superficie.

Términos Clave

viscosidad: Una cantidad que expresa la magnitud de la fricción interna en un fluido, medida por la fuerza por unidad de área que resiste el flujo uniforme.
Fluido Ideal: Un fluido inviscido e incompresible
incompresible: No se puede comprimir ni condensar.
inviscid: Un fluido con viscosidad cero (fricción interna). En realidad la viscosidad siempre está presente. Sin embargo, a menudo es muy pequeño en comparación con otras fuerzas (por ejemplo, gravedad, presión) y para fluidos comunes (agua y aire) el fluido puede aproximarse como que tiene viscosidad cero.
cohesión: Diversas fuerzas intermoleculares que mantienen unidos sólidos y líquidos.
humectabilidad: La capacidad de una superficie sólida para reducir la tensión superficial de un líquido en contacto con ella de tal manera que se extienda sobre la superficie y la humedezca.
adherencia: La capacidad de una sustancia para adherirse a una sustancia diferente.

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