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19.5: Corrientes alternas

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    objetivos de aprendizaje

    • Discutir las aplicaciones de un vector de fase

    Fasores

    Los números complejos juegan un papel importante en la física. Por lo general, los números complejos se escriben en términos de su parte real más la parte imaginaria. Por ejemplo,\(\mathrm{a+bi}\) donde a y b son números reales, y ii señala la parte imaginaria. Sin embargo, a menudo es práctico escribir números complejos en forma de un exponencial llamado fasor.

    En física, un vector de fase, o fasor, es una representación de una función sinusoidal cuya amplitud (A), frecuencia (ω) y fase (θ) son invariables en el tiempo, como se diagrama en. Los fasores separan las dependencias en\(A\)\(ω\), y\(θ\) en tres factores independientes. Esto puede ser particularmente útil porque el factor de frecuencia (que incluye la dependencia del tiempo de la sinusoide) a menudo es común a todos los componentes de una combinación lineal de sinusoides. En esas situaciones, los fasores permiten factorizar esta característica común, dejando solo las características A y θ. El resultado es que la trigonometría se reduce a álgebra, y las ecuaciones diferenciales lineales se convierten en algebraicas. El término fasor, por lo tanto, a menudo se refiere solo a esos dos factores.

    imagen

    Diagrama de fasores: Un ejemplo de circuito RLC en serie y diagrama de fasores respectivo para una ω específica. Ingenieros eléctricos, ingenieros electrónicos, técnicos de ingeniería electrónica e ingenieros de aeronaves utilizan diagramas de fasores para visualizar constantes y variables complejas (fasores). Al igual que los vectores, flechas dibujadas en papel cuadriculado o pantallas de computadora representan fasores.

    Los fasores se utilizan a menudo en sistemas eléctricos cuando se consideran voltajes y corrientes que varían sinusoidalmente en el tiempo, como en los circuitos RLC.

    Definición

    Los sinusoides se pueden representar matemáticamente como la suma de dos funciones de valor complejo:

    \[\mathrm { A } \cdot \cos ( \omega t + \theta ) = \mathrm { A } \cdot \dfrac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega t + \theta ) } + \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \omega t + \theta ) } } { 2 }\]

    o como parte real de una de las funciones:

    \[\mathrm { A } \cdot \cos ( \omega t + \theta ) = \operatorname { Re } \left\{ \mathrm { A } \cdot \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega t + \theta ) } \right\} = \operatorname { Re } \left\{ \mathrm { A } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } \cdot \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega t } \right\}\]

    Como se indicó anteriormente, el fasor puede referirse a AEIθEiΩTAEIθEiΩT o simplemente a la constante compleja, AEIθAEIθ. En este último caso, se entiende como una notación taquigráfica, que codifica la amplitud y fase de una sinusoide subyacente.

    Representación fasor de señales

    Hay dos ideas clave detrás de la representación fasora de una señal:

    1. una señal real, variable en el tiempo, puede estar representada por una señal compleja, variable en el tiempo; y
    2. una señal compleja que varía en el tiempo puede representarse como el producto de un número complejo que es independiente del tiempo y una señal compleja que depende del tiempo.

    La señal:

    \[\mathrm { x } ( \mathrm { t } ) = \operatorname { Acos } ( \omega \mathrm{t} + \theta )\]

    En la siguiente figura se ilustra una señal cosinusoidal con amplitud A, frecuencia y fase θ. La amplitud A caracteriza la oscilación pico a pico de 2A, la frecuencia angular ω caracteriza el periodo T = 2π/ ω entre cruces por cero negativos a positivos (o picos positivos o picos negativos), y la fase θ caracteriza el tiempo τ =− θ/ω cuando la señal alcanza su primer pico. Con esta definición, la señal x (t) también puede escribirse como

    \[\mathrm { x } ( \mathrm { t } ) = \operatorname { Acos } ( \mathrm { t } - \tau )\]

    imagen

    Señal cosinusoidal: Una señal cosinusoidal.

    Cuando τ es positivo, entonces τ es un “retardo de tiempo” que describe el tiempo (mayor que cero) cuando se alcanza el primer pico. Cuando τ es negativo, entonces τ es un “avance de tiempo” que describe el tiempo (menor que cero) cuando se logró el último pico. Con la sustitución =2π/t obtenemos una tercera forma de escribir x (t):

    \[\mathrm { x } ( \mathrm { t } ) = \operatorname { Acos } \frac { 2 \pi } { \mathrm { T } } ( \mathrm { t } - \boldsymbol { \tau } )\]

    En esta forma la señal es fácil de trazar. Simplemente dibuje una onda cosinusoidal con amplitud A y periodo T; luego golpee el origen (t=0) para que la señal alcance su pico en τ. En resumen, los parámetros que determinan una señal cosinusoidal tienen las siguientes unidades:

    • A, arbitrario (por ejemplo, voltios o metros/seg, dependiendo de la aplicación)
    • ω, en radianes /seg (rad/seg)
    • T, en segundos (seg)
    • θ, en radianes (rad)
    • τ, en segundos (seg)

    Estado estacionario sinusoidal y el circuito RLC serie Los fasores se pueden utilizar para analizar el comportamiento de sistemas eléctricos y mecánicos que han alcanzado una especie de equilibrio llamado estado estacionario sinusoidal.

    En el estado estacionario sinusoidal, cada voltaje y corriente (o fuerza y velocidad) en un sistema es sinusoidal con frecuencia angular ω. Sin embargo, las amplitudes y fases de estos voltajes y corrientes sinusoidales son todas diferentes.

    Por ejemplo, el voltaje a través de una resistencia podría conducir el voltaje a través de un condensador en 90 ° y retardar el voltaje a través de un inductor en 90 °. Para hacer concreta nuestra aplicación de fasores a sistemas eléctricos, consideramos el circuito RLC en serie ilustrado en. La flecha etiquetada i (t) denota una corriente que fluye en respuesta al voltaje aplicado.

    imagen

    Circuito RLC en serie: Circuito RLC en serie.

    Supondremos que la fuente de voltaje es un oscilador de audio que produce el voltaje:

    \[\mathrm { V } ( \mathrm { t } ) = \operatorname { Acos } ( \omega \mathrm { t } + \theta )\]

    Representamos este voltaje como la señal compleja:

    \[\mathrm { V } ( \mathrm { t } ) \leftrightarrow \mathrm { A } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } \cdot \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega \mathrm { t } }\]

    y darle la representación fasora,

    \[\mathrm { V } ( \mathrm { t } ) \leftrightarrow \mathrm { V } ; \mathrm { V } = \mathrm { A } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta }\]

    Luego describimos la fuente de voltaje por el fasor V y recordamos que siempre podemos calcular el voltaje real multiplicando por e iωt y tomando la parte real.

    Valores cuadráticos medios de raíz

    La tensión o corriente cuadrática media (RMS) es la tensión o corriente promediada en el tiempo en un sistema de CA.

    objetivos de aprendizaje

    • Relacionar el voltaje y la corriente cuadrática media en un circuito alterno con la tensión y corriente pico y la potencia promedio

    Valores cuadráticos medios y corriente alterna

    Recordemos que en el caso de la corriente alterna (CA) el flujo de carga eléctrica invierte periódicamente dirección. A diferencia de la corriente continua (CC), donde las corrientes y voltajes son constantes, las corrientes y voltajes de CA varían con el tiempo. Recordemos que la mayoría de las fuentes de energía residenciales y comerciales utilizan CA. A menudo es el caso que deseamos saber el tiempo promedio de corriente, o voltaje. Dada la corriente o voltaje en función del tiempo, podemos tomar la raíz cuadrática media a lo largo del tiempo para reportar las cantidades promedio.

    Definición

    La raíz cuadrática media (RMS abreviada o rms), también conocida como la media cuadrática, es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable. Es especialmente útil cuando la función alterna entre valores positivos y negativos, por ejemplo, sinusoides.El valor RMS de un conjunto de valores (o una función de tiempo continuo como una sinusoide) es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores originales (o el cuadrado de la función). En el caso de un conjunto de n valores {x 1, x 2,... , x n}, el valor RMS viene dado por esta fórmula:

    \[\mathrm { x } _ { \mathrm { rms } } = \sqrt { \dfrac { 1 } { \mathrm { n } } \left( \mathrm { x } _ { 1 } ^ { 2 } + \mathrm { x } _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + \mathrm { x } _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } \right) }\]

    La fórmula correspondiente para una función continua f (t) definida en el intervalo T1 ≤ t ≤ T 2 es la siguiente:

    \[\mathrm { f } _ { \mathrm { rms } } = \sqrt { \dfrac { 1 } { \mathrm { T } _ { 2 } - \mathrm { T } _ { 1 } } \int _ { \mathrm { T } _ { 1 } } ^ { \mathrm { T } _ { 2 } } [ \mathrm { t } ( \mathrm { t } ) ] ^ { 2 } \mathrm { d } \mathrm { t } }\]

    El RMS para una función en todos los tiempos está por debajo.

    \[\mathrm { f } _ { \mathrm { rms } } = \lim _ { T \rightarrow \infty } \sqrt { \dfrac { 1 } { \mathrm { T } } \int _ { 0 } ^ { \mathrm { T } } [ \mathrm { t } ( \mathrm { t } ) ] ^ { 2 } \mathrm { d } t }\]

    El RMS sobre todo el tiempo de una función periódica es igual al RMS de un periodo de la función. El valor RMS de una función o señal continua se puede aproximar tomando el RMS de una serie de muestras equidistantes.

    Aplicación a voltaje y corriente

    Considere el caso de voltaje sinusoidalmente variable:

    imagen

    Voltaje y Corriente Sinusoidales: (a) El voltaje y la corriente de CC son constantes en el tiempo, una vez establecida la corriente. (b) Un gráfico de voltaje y corriente versus tiempo para alimentación de CA de 60 Hz. El voltaje y la corriente son sinusoidales y están en fase para un circuito de resistencia simple. Las frecuencias y los voltajes máximos de las fuentes de CA difieren mucho.

    \[\mathrm { V } = \mathrm { V } _ { 0 } \sin ( 2 \pi \mathrm { ft } )\]

    V es el voltaje en el tiempo t, V 0 es el voltaje pico y f es la frecuencia en hercios. Para este circuito de resistencia simple, I=V/R, y así la corriente de CA es la siguiente:

    \[\mathbf { I } = \mathbf { I } _ { 0 } \sin ( 2 \pi \mathrm { ft } )\]

    Aquí, I es la corriente en el tiempo t, y I 0 =V 0 /R es la corriente pico. Ahora usando la definición anterior, calculemos el voltaje rms y la corriente rms. Primero, tenemos

    \[\mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } = \sqrt { \dfrac { 1 } { \mathrm { T } _ { 2 } - \mathrm { T } _ { 1 } } } \int _ { \mathrm { T } _ { 1 } } ^ { \mathrm { T } _ { 2 } } \left[ \mathrm { V } _ { 0 } \sin ( \omega \mathrm { t } ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } \mathrm { t }\]

    Aquí, hemos reemplazado 2πf por ω. Dado que V 0 es una constante, podemos factorizarla fuera de la raíz cuadrada, y usar una identidad trigonada para reemplazar la función sinusoidal cuadrada.

    \[\mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } = \mathrm { V } _ { 0 } \sqrt { \dfrac { 1 } { \mathrm { T } _ { 2 } - \mathrm { T } _ { 1 } } } \int _ { \mathrm { T } _ { 1 } } ^ { \mathrm { T } _ { 2 } } \dfrac { 1 - \cos ( 2 \omega t ) } { 2 } \mathrm { d } t \]

    Integrando lo anterior, contamos con:

    \[\mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } = \mathrm { V } _ { 0 } \sqrt { \dfrac { 1 } { \mathrm { T } _ { 2 } - \mathrm { T } _ { 1 } } \left[ \dfrac { t } { 2 } - \dfrac { \sin ( 2 \omega t ) } { 4 \omega } \right] _ { \mathrm { T } _ { 1 } } ^ { \mathrm { T } _ { 2 } } } \]

    Dado que el intervalo es un número entero de ciclos completos (por definición de RMS), los términos se cancelarán, dejando:

    \[\mathrm { V } _ { \mathrm { rm } } = \mathrm { V } _ { 0 } \sqrt { \frac { 1 } { \mathrm { T } _ { 2 } - \mathrm { T } _ { 1 } } \left[ \dfrac { \mathrm { t } } { 2 } \right] \mathrm { T } _ { 1 } } = \mathrm { V } _ { 0 } \sqrt { \dfrac { 1 } { \mathrm { T } _ { 2 } - \mathrm { T } _ { 1 } } \dfrac { \mathrm { T } _ { 2 } - \mathrm { T } _ { 1 } } { 2 } }\]

    \[= \dfrac { V _ { 0 } } { \sqrt { 2 } } \]

    Del mismo modo, puede encontrar que la corriente RMS se puede expresar de manera bastante simple:

    \[\mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } = \mathrm { I } _ { 0 } / \sqrt { 2 } \]

    Ecuaciones de circuito actualizadas para CA

    Muchas de las ecuaciones que derivamos para la corriente CC se aplican igualmente a CA. Si nos preocupa el resultado promediado en el tiempo y las variables relevantes se expresan como sus valores rms. Por ejemplo, la Ley de Ohm para AC está escrita de la siguiente manera:

    \[\mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } = \dfrac { \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } } { \mathrm { R } }\]

    Las diversas expresiones para la alimentación de CA están a continuación:

    \[\mathrm { P } _ { \mathrm { ave } } = \mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } }\]

    \[\mathrm { P } _ { \mathrm { ave } } = \dfrac { \mathrm { V } _ { \mathrm { ms } } ^ { 2 } } { \mathrm { R } }\]

    \[\mathrm { P } _ { \mathrm { ave } } = \mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } ^ { 2 } \mathrm { R }\]

    Podemos ver a partir de las ecuaciones anteriores que podemos expresar la potencia promedio en función de la tensión y la corriente pico (en el caso de corriente y voltaje variables sinusoidalmente):

    imagen

    Potencia promedio: alimentación de CA en función del tiempo. Dado que el voltaje y la corriente están en fase aquí, su producto no es negativo y fluctúa entre cero e I0V0. La potencia promedio es (1/2) I0V0.

    \[\mathrm { P } _ { \mathrm { ave } } = \mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } V _ { \mathrm { rms } } = \dfrac { \mathrm { I } _ { 0 } } { \sqrt { 2 } } \dfrac { \mathrm { V } _ { 0 } } { \sqrt { 2 } } = \dfrac { 1 } { 2 } \mathrm { V } _ { 0 } \mathrm { I } _ { 0 }\]

    Los valores RMS también son útiles si el voltaje varía en alguna forma de onda distinta a las sinusoides, como con ondas cuadradas, triangulares o en dientes de sierra.

    imagen

    Formas de onda: formas de onda sinusoidales, cuadradas, triangulares y dientes de sierra

    Precauciones de Seguridad en el Hogar

    Los sistemas y dispositivos de seguridad eléctrica están diseñados y ampliamente utilizados para reducir los riesgos de riesgos térmicos y de choque.

    objetivos de aprendizaje

    • Identificar los principales riesgos asociados con los circuitos eléctricos y estrategias para mitigarlos

    Seguridad Eléctrica y Electrodomésticos

    La electricidad tiene dos peligros. Un peligro térmico ocurre en casos de sobrecalentamiento eléctrico. Un peligro de choque ocurre cuando una corriente eléctrica pasa a través de una persona. Existen muchos sistemas y dispositivos que previenen peligros eléctricos.

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    Circuito de CA Carente de Seguridad Características: Un esquema de un circuito de CA simple con una fuente de voltaje y un solo aparato representado por la resistencia R. Carece de características de seguridad.

    En la práctica, un simple circuito de CA sin características de seguridad no es como se distribuye la energía. El cableado doméstico e industrial moderno requiere el sistema de tres cables, que tiene varias características de seguridad. La primera característica de seguridad es el conocido disyuntor (o fusible) que evita la sobrecarga térmica. En segundo lugar, hay una funda protectora alrededor del aparato, como con una tostadora o refrigerador. El estuche evita que las personas toquen los cables expuestos y entren en contacto eléctrico con el circuito, ayudando a prevenir choques.

    imagen

    Sistema de tres hilos: El sistema de tres hilos conecta el cable neutro a tierra en la fuente de voltaje y la ubicación del usuario. Existe a cero voltios y suministra una ruta de retorno alternativa para la corriente a través de la tierra. La caja del aparato también está puesta a tierra a cero voltios. Un disyuntor o fusible evita la sobrecarga térmica y existe en serie en el cable activo (vivo/caliente). Los colores de aislamiento de cables varían según la región. Es esencial verificar localmente para determinar qué códigos de color están en uso, incluso si se siguieron en una instalación en particular.

    Hay tres conexiones a tierra o tierra (tierra/tierra,). Una conexión tierra/tierra es un camino de baja resistencia directamente a la tierra. Las dos conexiones de tierra/tierra en el cable neutro lo obligan a existir a cero voltios con respecto a la tierra, dando nombre al cable. Por lo tanto, este cable es seguro de tocar incluso si falta su aislamiento. El cable neutro es la ruta de retorno para que la corriente siga con el fin de completar el circuito.

    Las dos conexiones tierra/tierra suministran una ruta alternativa a través de la tierra para completar el circuito, ya que la tierra es un buen conductor. La conexión tierra/tierra más cercana a la fuente de energía podría estar en la planta generadora, mientras que la otra se encuentra en la ubicación del usuario. La tercera conexión tierra/tierra involucra el caso del aparato, a través del cable verde de tierra/tierra, obligando a la caja a estar a cero voltios. El cable vivo o caliente (vivo/caliente) suministra el voltaje y la corriente para operar el aparato. El sistema de tres hilos está conectado a un aparato a través de un enchufe de tres clavijas.

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    Enchufe de tres clavijas: El enchufe estándar de tres clavijas solo se puede insertar de una manera para garantizar el correcto funcionamiento del sistema de tres hilos.

    El enchufe de tres clavijas

    El sistema de tres hilos reemplazó al sistema de dos hilos más antiguo, que carece de un cable de tierra/tierra. En circunstancias ordinarias, el aislamiento en los cables vivo/caliente y neutro evita que la caja se sitúe directamente dentro del circuito, de manera que el cable de tierra/tierra puede parecer una doble protección. Sin embargo, poner a tierra la caja resuelve más de un problema. El problema más simple es el aislamiento desgastado en el cable vivo/caliente que le permite entrar en contacto con la caja. Al carecer de una conexión tierra/tierra (algunas personas cortan la tercera clavija del enchufe porque solo tienen receptáculos anticuados de dos orificios), es posible un choque severo. Esto es particularmente peligroso en la cocina, donde una buena conexión tierra/tierra está disponible a través del agua en el piso o un grifo de agua.

    Con la conexión tierra/tierra intacta, el disyuntor se desconectará, requiriendo así la reparación del aparato. Algunos electrodomésticos todavía se venden con enchufes de dos clavijas. Estos aparatos, incluidas las herramientas eléctricas con cajas de plástico resistentes a los impactos, tienen estuches no conductores y se denominan 'doblemente aislados'. Los enchufes modernos de dos clavijas se pueden insertar en la toma estándar asimétrica de una sola manera, asegurando la conexión adecuada de cables vivo/calientes y neutros.

    Codificación de colores

    El plástico aislante está codificado por colores para identificar los cables vivo/calientes, neutros y de tierra, pero estos códigos varían en todo el mundo. Los cables vivo/calientes pueden ser de color marrón, rojo, negro, azul o gris. Los cables neutros pueden ser azules, negros o blancos. Dado que el mismo color se puede usar para cables vivos/calientes o neutros en diferentes partes del mundo, es esencial confirmar el código de color para cualquier región local determinada. La única excepción es el cable de tierra/tierra, que a menudo es verde pero puede ser amarillo o 'alambre desnudo'. recubrimientos rayados a veces se utilizan para el beneficio de quienes son daltónicos.

    Corriente de Inducción y Fuga

    La inducción electromagnética provoca un problema más sutil resuelto al poner a tierra la caja. La corriente alterna en los aparatos puede inducir un EMF en la caja. Si está conectado a tierra, el voltaje de la caja se mantiene cerca de cero, pero si la caja no está puesta a tierra, puede ocurrir un choque. La corriente que es accionada por el EMF de caso inducido se denomina corriente de fuga, aunque la corriente no necesariamente pasa de la resistencia a la caja.

    Puntos Clave

    • Un fasor es una representación de una función sinusoidal cuya amplitud (A), frecuencia (ω) y fase (θ) son invariables en el tiempo. Si ω es compartido por todos los componentes del sistema, se puede factorizar, dejando solo A y ω. El término fasor suele referirse a los dos últimos factores.
    • Los fasores reducen en gran medida la complejidad de expresar señales sinusoidalmente variables.
    • Los fasores pueden ser utilizados para analizar el comportamiento de los sistemas eléctricos, como los circuitos RLC, que han alcanzado una especie de equilibrio llamado estado estacionario sinusoidal. En el estado estacionario sinusoidal, cada voltaje y corriente en un sistema es sinusoidal con frecuencia angular ω.
    • Los fasores nos permiten aplicar técnicas utilizadas para resolver circuitos de CC para resolver circuitos RC.
    • Recordemos que a diferencia de la corriente y voltaje CC, que son constantes, la corriente y el voltaje de CA varían con el tiempo. A esto se le llama corriente alterna porque la dirección alterna.
    • La raíz cuadrática media (RMS abreviado o rms) es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable. Utilizamos la raíz cuadrada media para expresar la corriente o voltaje promedio en un sistema de CA.
    • La corriente y el voltaje RMS (para sistemas sinusoidales) son la corriente máxima y el voltaje sobre la raíz cuadrada de dos.
    • La potencia promedio en un circuito de CA es el producto de la corriente RMS y el voltaje RMS.
    • Los circuitos eléctricos conllevan el riesgo de sobrecalentamiento y posibles descargas eléctricas.
    • Los fusibles y disyuntores se utilizan para detener las corrientes que exceden un límite de seguridad establecido, evitando así el sobrecalentamiento.
    • El sistema de tres hilos protege contra los peligros térmicos y de choque mediante el uso de cables vivos, neutros y de tierra, y poniendo a tierra el cable neutro y las cajas conductoras de los aparatos.
    • Antes de alterar cualquier circuito, es importante establecer el esquema de codificación de colores correcto para su región (el color de los cables vivos/calientes, neutros y de tierra).
    • La corriente alterna tiene el potencial de inducir un EMF en la caja de un aparato, lo que representa un peligro de choque, por lo que es importante conectar a tierra la caja.

    Términos Clave

    • estado estacionario sinusoidal: Indica que cada voltaje y corriente en un sistema es sinusoidal con la misma frecuencia angular ω.
    • números complejos: Números que tienen una parte imaginaria. Generalmente representado como i.
    • fasor: Una representación de un número complejo en términos de un exponencial complejo.
    • raíz cuadrática media: La raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados.
    • corriente rms: la raíz cuadrática media de la corriente,\(\mathrm{I_{rms}=\frac{I_0}{\sqrt{2}}}\), donde I0 es la corriente pico, en un sistema de CA
    • voltaje rms: la raíz cuadrática media del voltaje,\(\mathrm{V_{rms}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}}\), donde V0 es el voltaje pico, en un sistema de CA
    • peligro térmico: un peligro eléctrico causado por sobrecalentamiento (por ejemplo, en un elemento resistivo)
    • peligro de choque: un peligro eléctrico que plantea el riesgo de pasar corriente a través del cuerpo
    • sistema de tres hilos: un sistema de cableado moderno con precauciones de seguridad; contiene cables vivos, neutros y de tierra

    LICENCIAS Y ATRIBUCIONES

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