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9.1: Cantidades de Cinemática Rotacional

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    objetivos de aprendizaje

    • Evaluar la relación entre radianes la revolución de un CD

    Cuando los objetos giran alrededor de algún eje, por ejemplo, cuando el CD (disco compacto) gira alrededor de su centro, cada punto del objeto sigue un arco circular. Considera una línea desde el centro del CD hasta su borde. Cada hoyo utilizado para grabar sonido a lo largo de esta línea se mueve a través del mismo ángulo en la misma cantidad de tiempo. El ángulo de rotación es la cantidad de rotación, y es análogo a la distancia lineal. Definimos el ángulo de rotación\(\mathrm{Δθ}\) para que sea la relación entre la longitud del arco y el radio de curvatura:

    \(\mathrm{Δθ=\frac{Δs}{r}}\)(ilustrado en).

    imagen

    Ángulo de rotación: Todos los puntos de un CD viajan en arcos circulares. Los pozos a lo largo de una línea desde el centro hasta el borde se mueven todos a través del mismo ángulo Δ en un tiempo Δt.

    En matemáticas, el ángulo de rotación (o posición angular) es una medida de la cantidad (es decir, el ángulo) que una figura gira alrededor de un punto fijo (a menudo el centro de un círculo, como se muestra en).

    imagen

    Ángulo θ y Longitud del Arco s: El radio de un círculo se gira a través de un ángulo Δ. La longitud del arco Δs se describe en la circunferencia.

    La longitud del arco Δs es la distancia recorrida a lo largo de una trayectoria circular. r es el radio de curvatura de la trayectoria circular. Sabemos que para una revolución completa, la longitud del arco es la circunferencia de un círculo de radio r. La circunferencia de un círculo es 2πr. Así, para una revolución completa el ángulo de rotación es:

    \[\mathrm{Δθ=\dfrac{(2πr)}{r}=2π.}\]

    Este resultado es la base para definir las unidades utilizadas para medir los ángulos de rotación para que sean radianes (rad), definidas de manera que:

    \[\mathrm{2π \; rad = 1 \; revolution.}\]

    Si\(\mathrm{Δθ = 2π \; rad}\), entonces el CD ha hecho una revolución completa, y cada punto del CD vuelve a su posición original. Debido a que hay 360º en un círculo o una revolución, la relación entre radianes y grados es así\(\mathrm{2π \; rad=360º}\), de manera que:

    \[\mathrm{1 \; rad = \dfrac{360º}{2π} = 57.3º.}\]

    Velocidad Angular, Omega

    La velocidad angular ω es la velocidad de cambio de un ángulo, definida matemáticamente como\(\mathrm{ω = \frac{Δθ}{Δt}}\).

    objetivos de aprendizaje

    • Examinar qué tan rápido gira un objeto en función de la velocidad angular

    Para examinar qué tan rápido gira un objeto, definimos la velocidad angular ω como la velocidad de cambio de un ángulo. En símbolos, esto es

    \[\mathrm{ω=\dfrac{Δθ}{Δt},}\]

    donde una rotación angular Δ tiene lugar en un tiempo Δt. Cuanto mayor sea el ángulo de rotación en una cantidad de tiempo dada, mayor será la velocidad angular. Las unidades de velocidad angular son radianes por segundo (rad/s).

    La velocidad angular ω es análoga a la velocidad lineal v. Para encontrar la relación precisa entre la velocidad angular y la lineal, nuevamente consideramos un pozo en el CD giratorio. Este foso mueve una longitud de arco Δs en un tiempo Δt, y así tiene una velocidad lineal\(\mathrm{v = \frac{Δs}{Δt}}\).

    A partir de eso\(\mathrm{Δθ=\frac{(Δs)}{r}}\) vemos\(\mathrm{Δs=r \cdot Δθ}\). Sustituyendo esto en la expresión por v da\(\mathrm{v=\frac{(r \cdot Δθ)}{(Δt)}=r(\frac{Δθ}{Δt})=rω.}\)

    Podemos escribir esta relación de dos maneras distintas:\(\mathrm{v=rω}\) o\(\mathrm{ω=\frac{v}{r}}\).

    La primera relación establece que la velocidad lineal v es proporcional a la distancia desde el centro de rotación, por lo que es mayor para un punto en la llanta (mayor r), como cabría esperar. También podemos llamar a esta velocidad lineal v de un punto en la llanta la velocidad tangencial. La segunda relación se puede ilustrar considerando la llanta de un automóvil en movimiento, como se muestra en la siguiente imagen. Tenga en cuenta que la velocidad del punto en el centro de la llanta es la misma que la velocidad v del automóvil. Cuanto más rápido se mueve el automóvil, más rápido gira la llanta: v grande significa una ω grande, porque v=rω. De manera similar, un neumático de mayor radio que gire a la misma velocidad angular (ω) producirá una mayor velocidad lineal (v) para el automóvil.

    imagen

    Velocidad angular: Un automóvil que se mueve a una velocidad v hacia la derecha tiene un neumático que gira con una velocidad angular ω. La velocidad de la banda de rodadura de la llanta con respecto al eje es v, lo mismo que si el auto estuviera levantado. Así el carro avanza a velocidad lineal v=rω, donde r es el radio de la llanta. Una mayor velocidad angular para el neumático significa una mayor velocidad para el automóvil.

    Aceleración angular, Alfa

    La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular, expresada matemáticamente como\(\mathrm{α=\frac{Δω}{Δt}}\).

    objetivos de aprendizaje

    • Explicar la relación entre la aceleración angular y la velocidad angular

    La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular. En unidades SI, se mide en radianes por segundo al cuadrado (rad/s 2), y generalmente se denota con la letra griega alfa (\(\mathrm{α}\)).

    Considera las siguientes situaciones en las que la velocidad angular no es constante: cuando una patinadora tira de sus brazos, cuando un niño inicia un tiovivo desde el reposo, o cuando el disco duro de una computadora se ralentiza hasta pararse cuando se apaga. En todos estos casos, existe una aceleración angular en la que ωω cambia. Cuanto más rápido se produzca el cambio, mayor será la aceleración angular. La aceleración angular se define como la velocidad de cambio de la velocidad angular. En forma de ecuación, la aceleración angular se expresa de la siguiente manera:

    \[\mathrm{α=\dfrac{Δω}{Δt}}\]

    donde\(\mathrm{Δω}\) es el cambio en la velocidad angular y\(\mathrm{Δt}\) es el cambio en el tiempo. Las unidades de aceleración angular son (rad/s) /s, o rad/s 2. Si ωω aumenta, entonces αα es positivo. Si ωω disminuye, entonces αα es negativo.

    Es útil saber cómo se relacionan la aceleración lineal y angular. En movimiento circular, hay aceleración que es tangente al círculo en el punto de interés (como se ve en el diagrama a continuación). Esta aceleración se llama aceleración tangencial, a t.

    imagen

    Aceleración tangencial: En movimiento circular, la aceleración puede ocurrir a medida que cambia la magnitud de la velocidad: a es tangente al movimiento. Esta aceleración se llama aceleración tangencial.

    La aceleración tangencial se refiere a cambios en la magnitud de la velocidad pero no en su dirección. En movimiento circular, la aceleración centrípeta, a c, se refiere a cambios en la dirección de la velocidad pero no a su magnitud. Un objeto sometido a movimiento circular experimenta una aceleración centrípeta (como se ve en el diagrama a continuación). Así, a t y a c son perpendiculares e independientes entre sí. La aceleración tangencial a t está directamente relacionada con la aceleración angular y está vinculada a un aumento o disminución de la velocidad (pero no su dirección).

    imagen

    Aceleración centrípeta: La aceleración centrípeta ocurre a medida que cambia la dirección de la velocidad; es perpendicular al movimiento circular. La aceleración centrípeta y tangencial son así perpendiculares entre sí.

    Puntos Clave

    • La longitud del arco Δs es la distancia recorrida a lo largo de una trayectoria circular. r es el radio de curvatura de la trayectoria circular.
    • El ángulo de rotación es la cantidad de rotación y es análogo a la distancia lineal. Definimos el ángulo de rotación\(\mathrm{Δθ}\) para que sea la relación entre la longitud del arco y el radio de curvatura:\(\mathrm{Δθ = \frac{Δs}{r}}\).
    • Para una revolución completa el ángulo de rotación es 2π.
    • Cuanto mayor sea el ángulo de rotación en una cantidad de tiempo dada, mayor será la velocidad angular.
    • La velocidad angular ω es análoga a la velocidad lineal v.
    • Podemos escribir la relación entre velocidad lineal y velocidad angular de dos maneras diferentes:\(\mathrm{v=rω}\) o\(\mathrm{ω=\frac{v}{r}}\).
    • Cuanto más rápido se produce el cambio en la velocidad angular, mayor es la aceleración angular.
    • En movimiento circular, la aceleración lineal es tangente al círculo en el punto de interés, y se llama aceleración tangencial.
    • En movimiento circular, la aceleración centrípeta se refiere a cambios en la dirección de la velocidad pero no a su magnitud. Un objeto sometido a movimiento circular experimenta una aceleración centrípeta.

    Términos Clave

    • Posición angular: El ángulo en radianes (grados, revoluciones) a través del cual se ha girado un punto o línea en un sentido específico alrededor de un eje especificado.
    • velocidad angular: Una cantidad vectorial que describe un objeto en movimiento circular; su magnitud es igual a la velocidad de la partícula y la dirección es perpendicular al plano de su movimiento circular.
    • aceleración angular: La tasa de cambio de la velocidad angular, a menudo representada por α.
    • Aceleración tangencial: La aceleración en una dirección tangente al círculo en el punto de interés en el movimiento circular.

    LICENCIAS Y ATRIBUCIONES

    CONTENIDO CON LICENCIA CC, COMPARTIDO PREVIAMENTE

    CC CONTENIDO LICENCIADO, ATRIBUCIÓN ESPECÍFICA

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