2A: Conservación de Energía Mecánica I: Energía Cinética y Energía Potencial Gravitacional

Los profesores de física suelen asignar problemas de conservación de energía que, en términos de complejidad matemática, son muy fáciles, para asegurarse de que los estudiantes puedan demostrar que saben lo que está pasando y pueden razonar a través del problema de manera correcta, sin tener que dedicar mucho tiempo a las matemáticas. Una buena imagen antes y después que represente correctamente la configuración y el estado de movimiento en cada uno de los dos instantes bien elegidos en el tiempo es crucial para mostrar la comprensión adecuada. Una presentación del resto de la solución conceptual más-matemática del problema comenzando con una afirmación en forma de ecuación de que la energía en la imagen anterior es igual a la energía en la imagen posterior, continuando a través de una solución analítica y, si se proporcionan valores numéricos, solo después se ha llegado a la solución analítica, sustituir valores por unidades, evaluar y registrar el resultado es casi tan importante como la imagen. El problema es que, en esta etapa del curso, los alumnos suelen pensar que es la respuesta final lo que importa más que la comunicación del razonamiento lo que lleva a la respuesta. Además, los problemas elegidos suelen ser tan fáciles que los estudiantes pueden llegar a la respuesta final correcta sin comprender o comunicar completamente el razonamiento que la lleva. Los estudiantes se sorprenden desagradablemente al descubrir que las respuestas finales correctas ganan poco o ningún crédito en ausencia de una buena imagen correcta antes y después y un resto bien escrito de la solución que parte de los primeros principios, es consistente con la imagen del antes y el después, y lleva lógicamente, sin pasos omitidos, a la respuesta correcta. Tenga en cuenta que los estudiantes que se enfocan en comunicar correctamente toda la solución, por su cuenta, en cada problema de tarea que hagan, tienen muchas más posibilidades de hacerlo con éxito en una prueba que aquellos que “solo intentan obtener la respuesta numérica correcta” sobre problemas con la tarea.

Energía Mecánica

La energía es una cantidad física transferible que se puede decir que tiene un objeto. Si se transfiere energía a una partícula material que inicialmente está en reposo, la velocidad de esa partícula cambia a un valor que es un indicador de cuánta energía se transfirió. La energía tiene unidades de julios, abreviado J. La energía no se puede medir directamente pero cuando la energía se transfiere hacia o desde un objeto, alguna característica medible (o características) de ese objeto cambia (cambia) de tal manera que, los valores medidos de esa característica o esas características (en combinación con una o más características como la masa que no cambian en ninguna cantidad medible) para determinar cuánta energía se transfirió. La energía a menudo se categoriza según la cual las características medibles cambian cuando se transfiere energía. En otras palabras, categorizamos la energía de acuerdo con la forma en que se nos revela. Por ejemplo, cuando la característica medible es la temperatura, llamamos a la energía energía térmica; cuando la cantidad medible es velocidad, llamamos a la energía energía cinética. Si bien se puede argumentar que solo hay una forma o tipo de energía, en la jerga de la física llamamos a la energía que se revela de una manera un tipo o forma de energía (como la energía térmica) y la energía que se revela de otra manera otra clase o forma de energía (como la energía cinética). En los procesos físicos suele ocurrir que la forma en que la energía se está revelando cambia. Cuando eso sucede decimos que la energía se transforma de un tipo de energía a otro.

La energía cinética es la energía del movimiento. Un objeto en reposo no tiene movimiento; por lo tanto, no tiene energía cinética. La energía cinética K de un objeto rígido no giratorio en movimiento depende de la masa m y la velocidad v del objeto de la siguiente manera:

\[K=\dfrac{1}{2}mV^2\]

La masa m de un objeto es una medida de la inercia del objeto, la tendencia inherente del objeto a mantener una velocidad constante. La inercia de un objeto es lo que dificulta que ese objeto se mueva. Las palabras “masa” e “inercia” significan lo mismo. Los físicos suelen utilizar la palabra “inercia” cuando se habla de la propiedad en términos conceptuales generales, y la palabra “masa” cuando le están asignando un valor, o la usan en una ecuación. La masa tiene unidades de kilogramos, abreviado kg. La velocidad v tiene unidades de metros por segundo, abreviado m/s. Echa un vistazo a las unidades en la ecuación 2-1:

\[K=\dfrac{1}{2}mV^2\]

A la izquierda tenemos la energía cinética que tiene unidades de julios. A la derecha tenemos el producto de una masa y el cuadrado de una velocidad. Así son las unidades de la derecha\(kg\dfrac{m^2}{s^2}\), y podemos deducir que un joule es un\(kg\dfrac{m^2}{s^2}\).

La energía potencial es la energía que depende de la disposición de la materia. Aquí, consideramos un tipo de energía potencial:

La Energía Potencial Gravitacional de un objeto cerca de la superficie de la tierra es la energía (relativa a la energía potencial gravitacional que tiene el objeto cuando está en el nivel de referencia a mi alrededor mencionado) que tiene el objeto porque está “arriba alto” por encima de un nivel de referencia como el suelo, el piso o una mesa. Al caracterizar la energía potencial gravitacional relativa de un objeto es importante especificar qué se está utilizando para un nivel de referencia. Al utilizar el concepto de energía potencial gravitacional cercana a la tierra para resolver un problema de física, aunque eres libre de elegir lo que quieras como nivel de referencia, es importante seguir con uno y el mismo nivel de referencia a lo largo del problema. La energía potencial gravitacional relativa U _g de un objeto cerca de la superficie de la tierra depende de la altura del objeto y por encima del nivel de referencia elegido, la masa m del objeto y la magnitud g del campo gravitacional de la tierra, que a una buena aproximación tiene el mismo valor\(g=9.80\dfrac{N}{Kg}\) en todas partes cerca de la superficie de la tierra, de la siguiente manera:\[U_g=mgy\]

El N en\(g=9.80\dfrac{N}{Kg}\) significa newtons, la unidad de fuerza. (La fuerza es un empuje o tirón continuo). Al tratarse de una energía, las unidades de U _g son julios, y las unidades del lado derecho de la ecuación 2-2, siendo la altura y en metros, resultan ser newtons por metros. Así, un joule debe ser un newton metro, y efectivamente lo es. Justo arriba demostramos que un joule es un\(kg\dfrac{m^2}{s^2}\). Si un joule también es un newton metro entonces un newton debe ser un\(kg\dfrac{m^2}{s^2}\).

Un caso especial de la conservación de la energía mecánica

La energía es muy útil para hacer predicciones sobre procesos físicos porque nunca se crea ni se destruye. Para tomar prestadas expresiones de la economía, eso significa que podemos usar la contabilidad simple o la contabilidad para hacer predicciones sobre los procesos físicos. Por ejemplo, supongamos que creamos, con el propósito de hacer tal predicción, un límite imaginario que encierra parte del universo. Entonces cualquier cambio en la cantidad total de energía dentro del límite corresponderá exactamente a la transferencia de energía a través del límite. Si la energía total dentro del límite aumenta en ∆E, entonces exactamente esa misma cantidad de energía ∆E debe haber sido transferida a través del límite a la región encerrada por el límite desde fuera de esa región. Y si la energía total dentro del límite disminuye en ∆E, entonces exactamente esa cantidad de energía ∆E debe haber sido transferida a través del límite fuera de la región encerrada por el límite desde dentro de esa región. Por extraño que parezca, al mantener un libro sobre la energía en una parte tan cerrada del universo, rara vez, si alguna vez sabemos o nos importa cuál es la cantidad total total de energía. Basta con hacer un seguimiento de los cambios. Lo que puede dificultar la contabilidad es que hay tantas formas diferentes en las que la energía puede manifestarse (lo que llamamos las diferentes “formas” de energía), y no hay un medidor de energía simple que nos diga cuánta energía hay en nuestra región cerrada. Aún así, hay procesos para los que la contabilidad energética es relativamente sencilla. Por ejemplo, es relativamente simple cuando no hay (o insignificante) transferencia de energía dentro o fuera de la parte del universo que nos interesa, y cuando hay pocas formas de energía para las que cambia la cantidad de energía. Los dos tipos de energía discutidos anteriormente (la energía cinética de un objeto rígido no giratorio y la energía potencial gravitacional) son ejemplos de energía mecánica, a contrastar, por ejemplo, con la energía térmica. Bajo ciertas condiciones la energía mecánica total de un sistema de objetos no cambia a pesar de que la configuración de los objetos sí lo hace. Esto representa un caso especial del principio más general de la energía de conservación. Las condiciones bajo las cuales la energía mecánica total de un sistema no cambia son:

1. No se transfiere energía hacia o desde los alrededores.
2. Ninguna energía se convierte a o desde otras formas de energía (como la energía térmica).

Considera un par de procesos en los que la energía mecánica total de un sistema no permanece igual:

Caso #1
Se cae una roca desde la altura del hombro. Golpea el suelo y llega a una parada completa.

El “sistema de objetos” en este caso es solo la roca. A medida que cae la roca, la energía potencial gravitacional disminuye continuamente. Como tal, la energía cinética de la roca debe estar aumentando continuamente para que la energía total permanezca igual. En la colisión con el suelo, parte de la energía cinética que gana la roca al caer a través del espacio se transfiere al suelo y el resto se convierte en energía térmica y la energía asociada al sonido. No se cumple ninguna condición (sin transferencia y sin transformación de energía) requerida para que la energía mecánica total del sistema permanezca igual; por lo tanto, sería incorrecto escribir una ecuación que establezca la energía mecánica inicial de la roca (al liberarse) igual a la energía mecánica final de la roca ( después de aterrizar).

¿Se puede utilizar la idea de una cantidad total inmutable de energía mecánica en el caso de un objeto que cae? La respuesta es sí. Las dificultades asociadas con el proceso previo ocurrieron en el momento de la colisión con el suelo. Puedes usar la idea de una cantidad total inmutable de energía mecánica para decir algo sobre la roca si terminas tu consideración de la roca antes de que golpee el suelo. Por ejemplo, dada la altura desde la que se cae, puedes usar la idea de una cantidad total inmutable de energía mecánica para determinar la velocidad de la roca en el último instante antes de que golpee el suelo. El “último instante antes” de que choca con el suelo corresponde a la situación en la que la roca aún no ha tocado el suelo sino que tocará el suelo en una cantidad de tiempo que es demasiado pequeña para medirla y por lo tanto se puede descuidar. Está tan cerca del suelo que la distancia entre éste y el suelo es demasiado pequeña para medirla y por lo tanto se puede descuidar. Está tan cerca del suelo que la velocidad adicional que recogería al continuar cayendo al suelo es demasiado pequeña para medirla y por lo tanto se puede descuidar. La cantidad total de energía mecánica no cambia durante este proceso. Sería correcto escribir una ecuación que establezca la energía mecánica inicial de la roca (al liberarse) igual a la energía mecánica final de la roca (en el último instante antes de la colisión).

Caso #2
Una cuadra, en contacto con nada más que una acera, se desliza por la acera.

La cantidad total de energía mecánica no permanece igual porque hay fricción entre el bloque y la acera. En cualquier caso que implique fricción, la energía mecánica se convierte en energía térmica; por lo tanto, la cantidad total de energía mecánica después del deslizamiento, no es igual a la cantidad total de energía mecánica anterior al deslizamiento.

Aplicación del Principio de Conservación de Energía para el Caso Especial en el que la Energía Mecánica de un Sistema no Cambia

Al aplicar el principio de conservación de la energía mecánica para el caso especial en el que la energía mecánica de un sistema no cambia, se escribe una ecuación que establece la energía mecánica total de un objeto u objetos del sistema en un instante en el tiempo igual a la energía mecánica total en otro instante en el tiempo. El éxito depende de la elección apropiada de los dos instantes. El principio se aplica a todos los pares de instantes del intervalo de tiempo durante los cuales la energía no se transfiere dentro o fuera del sistema ni se transforma en formas no mecánicas. Se caracterizan las condiciones en el primer instante por medio de un “Antes de la Imagen” y las condiciones en el segundo instante por medio de una “After Picture”. Al aplicar el principio de conservación de la energía mecánica para el caso especial en el que la energía mecánica de un sistema no cambia, se escribe una ecuación que establece la energía mecánica total en la Imagen Antes igual a la energía mecánica total en la Imagen Posterior. (En ambos casos, la energía mecánica “total” en cuestión es la cantidad que tiene el sistema en relación con la energía mecánica que tendría si todos los objetos estuvieran en reposo en el nivel de referencia). Para hacerlo de manera efectiva, es necesario esbozar una Imagen de Antes y una Imagen de Después por separado. Después de hacerlo, la primera línea en la solución de uno a un problema que involucra un total inmutable de energía mecánica siempre se lee

\[ \text{energy before} =\text{energy after}\]

Podemos escribir esta primera línea más simbólicamente de varias maneras diferentes:

\[E_1=E_2\]

o

\[E_i=E_f\]

o

\[E=E'\]

Las dos primeras versiones utilizan subíndices para distinguir entre las energías “antes de la imagen” y “después de la imagen” y deben leerse “E-sub-uno es igual a E-sub-dos” y “E-sub-i es igual a E-sub-F”. En este último caso los símbolos i y f representan inicial y final. En la versión final, el símbolo primo se agrega a la E para distinguir la energía “después de la imagen” de la energía “antes de la imagen”. La última ecuación debe leerse “E es igual a E-prime”. (El símbolo primo a veces se usa en matemáticas para distinguir una variable de otra y a veces se usa en matemáticas para significar la derivada con respecto a x. Nunca se usa para significar la derivada en este libro). La notación sin primed/prime es la notación que se utilizará en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.1

Se deja caer una roca desde una altura de 1.6 metros. ¿Qué tan rápido está cayendo la roca justo antes de que golpee el suelo?

Solución

Elija la “imagen de antes” para que corresponda al instante en el que se libera la roca, ya que se especifican las condiciones en este instante (“caída” indica que la roca se liberó del reposo, su velocidad es inicialmente cero, se da la altura inicial de la roca). Elija el “después de la imagen” para que se corresponda con el último instante antes de que la roca haga contacto con el suelo ya que la pregunta se refiere a una condición (velocidad) en este instante.

Tenga en cuenta que la unidad, 1 newton, abreviada como 1 N, es\(1\dfrac{kg*m}{s^2}\). De ahí que la magnitud del campo gravitacional cercano a la superficie terrestre también se\(g=9.80\dfrac{N}{kg}\) pueda expresar\(g=9.80\dfrac{m}{s^2}\) como lo hemos hecho en el ejemplo para fines de elaborar las unidades.

La solución que se presenta en el ejemplo te proporciona un ejemplo de lo que se requiere de los estudiantes en la resolución de problemas de física. En los casos en que se evalúa el trabajo de los estudiantes, es la solución la que se evalúa, no solo la respuesta final. En la siguiente lista se discuten los requisitos generales de soluciones, con referencia a la solución del problema del ejemplo:

1. Sketch (las imágenes de antes y después en el ejemplo).
Comience cada solución con un boceto o bocetos apropiados al problema en cuestión. Utilice el boceto para definir símbolos y, según corresponda, para asignar valores a símbolos. El boceto te ayuda a resolver el problema y es importante para comunicar tu solución al lector. Tenga en cuenta que cada boceto representa una configuración en un instante determinado en el tiempo en lugar de un proceso que se extiende a lo largo de un intervalo de tiempo.

2. Escribe la “Ecuación conceptual” (\(E = E′\)en el ejemplo).

3. Reemplazar cantidades en la “Ecuación Conceptual” con representaciones más específicas de las mismas cantidades. Repita según corresponda.

En el ejemplo dado, el símbolo E que representa la energía mecánica total en la imagen anterior se sustituye por “lo que es”, es decir, la suma de la energía cinética y la energía potencial\(K+U\) de la roca en la imagen anterior. En la misma línea se\(E′\) ha sustituido por lo que es, es decir, la suma de la energía cinética y la energía potencial\(K′ +U′\) en la imagen posterior. Las cantidades que obviamente son cero tienen barras recortadas a través de ellas y se omiten en los pasos posteriores.

Este paso se repite en la siguiente línea (\(mgy=\dfrac{1}{2}mV'^2\)) en la que la energía potencial gravitacional en la imagen anterior,\(U\), ha sido reemplazada por lo que es, es decir\(mgy\), y a la derecha, la energía cinética en la imagen posterior ha sido reemplazada por lo que es, a saber,\(\dfrac{1}{2}mV'^2\). El símbolo\(m\) que aparece en este paso se define en el diagrama.

4. Resolver el problema algebraicamente. Se requiere que el alumno resuelva el problema manipulando algebraicamente los símbolos en lugar de sustituir valores y evaluarlos y manipularlos simultáneamente. Las razones por las que los profesores de física requieren que los estudiantes tomen cursos universitarios de física para resolver los problemas algebraicamente en términos de los símbolos en lugar de trabajar con los números son:

a) Se espera que los profesores universitarios de física brinden al alumno experiencia en “el siguiente nivel” en razonamiento abstracto más allá de trabajar con los números. Para adquirir esta experiencia, los estudiantes deben resolver los problemas algebraicamente en términos de símbolos.

b) Se espera que los estudiantes sean capaces de resolver el problema más general en el que, mientras que ciertas cantidades deben ser tratadas como si fueran conocidas, no se dan valores reales. Las soluciones a tales problemas se utilizan a menudo en programas informáticos que permiten al usuario obtener resultados para muchos valores diferentes de las “cantidades conocidas”. Los valores reales se asignan a las cantidades conocidas solo después de que el usuario del programa los proporcione al programa como entrada, mucho después de que se resuelva el problema algebraico.

c) Muchos problemas más complicados que el ejemplo dado pueden resolverse más fácilmente algebraicamente en términos de los símbolos. La experiencia ha demostrado que los estudiantes acostumbrados a sustituir valores numéricos por símbolos en la etapa más temprana posible en un problema son incapaces de resolver los problemas más complicados.

En el ejemplo, la solución algebraica comienza con la línea\(\dfrac{1}{2}mV'^2\). Los\(m'\) s que aparecen en ambos lados de la ecuación han sido cancelados (este es el paso algebraico) en la solución proporcionada. Obsérvese que en el ejemplo, si los m's no se hubieran cancelado, no se pudo haber determinado una respuesta numérica al problema ya que no se dio valor para m. Las dos líneas siguientes representan los pasos adicionales necesarios para resolver algebraicamente para la velocidad final\(v′\). La línea final en la solución algebraica (\(v ′=\sqrt{2gy}\)en el ejemplo) siempre tiene la cantidad que se resuelve para todos por sí misma en el lado izquierdo de la ecuación que se establece igual a una expresión que involucra solo cantidades conocidas en el lado derecho de la ecuación. La solución algebraica no está completa si aparecen cantidades desconocidas (especialmente la cantidad buscada) en la expresión del lado derecho. Escribir la línea final de la solución algebraica en el orden inverso, e.g.\(\sqrt{2gy}=v′\), es poco convencional y por lo tanto inaceptable. Si tu solución algebraica conduce naturalmente a eso, deberías escribir una línea más con la respuesta algebraica escrita en el orden correcto.

5. Reemplazar símbolos por valores numéricos por unidades,\(v'=\sqrt{2(9.80\dfrac{m}{s^2})1.6m}\) en el ejemplo; las unidades son las unidades de medida:\(\dfrac{m}{s^2}\) y\(m\) en el ejemplo).

No se deben realizar cálculos en esta etapa. Simplemente copie la solución algebraica pero con símbolos que representen cantidades conocidas reemplazadas por valores numéricos con unidades. Use paréntesis y corchetes según sea necesario para mayor claridad.

6. Escribe la respuesta final con unidades (\(v'=5.6\dfrac{m}{s}\)en el ejemplo).

Las evaluaciones numéricas deben realizarse directamente en la calculadora y/o en papel rascar. Es inaceptable abarrotar la solución con respuestas aritméticas y numéricas intermedias entre el paso anterior y este paso. Las unidades deben ser elaboradas y provistas de la respuesta final. Es bueno mostrar algunos pasos en la elaboración de las unidades pero para casos simples las unidades (no soluciones algebraicas) pueden ser trabajadas en tu cabeza. En el ejemplo proporcionado, es fácil ver que al tomar la raíz cuadrada del producto de\(\dfrac{m}{s^2}\) y\(m\), se obtiene\(\dfrac{m}{s}\) por lo tanto no se representaron pasos adicionales.