7A: Movimiento unidimensional: Las ecuaciones de aceleración constante

Nota

Las ecuaciones de aceleración constante presentadas en este capítulo sólo son aplicables a situaciones en las que la aceleración es constante. El error más común que involucra las ecuaciones de aceleración constante es utilizarlas cuando la aceleración está cambiando.

En el capítulo 6 establecimos que, por definición de accelaración

\[a=\dfrac{dv}{dt} \label{defaccel}\]

donde\(a\) es la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta,\(v\) es la velocidad del objeto y\(t\), que representa el tiempo, representa la lectura de un cronómetro.

Esta ecuación se llama ecuación diferencial porque ese es el nombre que le damos a las ecuaciones que involucran derivadas. Es cierto para cualquier función que dé un valor de\(a\) por cada valor de\(t\). Un caso especial importante es el caso en el que a es simplemente una constante. Aquí derivamos algunas relaciones entre las variables de movimiento solo para ese caso especial, el caso en el que a es constante.

\(a=\dfrac{dv}{dt}\), con\(a\) estipulado que es una constante, puede considerarse como una relación entre\(v\) y\(t\). Resolverlo equivale a encontrar una expresión para la función que da el valor de\(v\) para cada valor de\(t\). Entonces nuestro objetivo es encontrar la función cuya derivada\(\dfrac{dv}{dt}\) es una constante. El derivado, con respecto a\(t\), de un tiempo constante\(t\) es sólo la constante. Recordando que queremos que esa constante sea\(a\), intentemos:\[v=at\]

Llamaremos a esto nuestra solución de prueba. Vamos a enchufarlo a Ecuación\(\ref{defaccel}\), y a ver si funciona. La ecuación se puede escribir:\[a=\dfrac{d}{dt}v\]

y cuando conectamos nuestra solución\(v=at\) de prueba obtenemos:

\[a=\dfrac{d}{dt}(at)\]

\[a=a\dfrac{d}{dt}t\]

\[a=a\cdot 1\]

\[a=a\]

Es decir, nuestra solución de prueba\(v=at\) conduce a una identidad. Por lo tanto, nuestra solución de prueba es efectivamente una solución a la Ecuación\(\ref{defaccel}\). Veamos cómo encaja esta solución con la situación de movimiento lineal en estudio.

En esa situación, tenemos un objeto moviéndose a lo largo de una línea recta y hemos definido un sistema de coordenadas unidimensional que puede representarse como

y consiste en nada más que un origen y una dirección positiva para la variable de posición\(x\). Imaginamos que alguien inicia un cronómetro en un momento que definimos como “tiempo cero”\(t=0\), un tiempo al que también nos referimos como “el inicio de las observaciones”. En lugar de limitarnos al caso especial de un objeto que está en reposo en el origen en el tiempo cero, asumimos que podría estar moviéndose con cualquier velocidad y estar en cualquier posición de la línea en el tiempo cero y definir la constante\(x_0\) para que sea la posición del objeto en el tiempo cero y la constante \(v_0\)para ser la velocidad del objeto en el tiempo cero.

Ahora la solución\(v=at\) a la ecuación diferencial\(a=\dfrac{dv}{dt}\) arroja el valor\(v=0\) cuando\(t=0\) (solo\(t=0\) conéctelo\(v=at\) para ver esto). Entonces, si bien\(v=at\) resuelve\(a=\dfrac{dv}{dt}\), no cumple con las condiciones en el tiempo cero, es decir, que\(v=v_0\) en el tiempo cero. Podemos solucionar el problema de condición inicial con bastante facilidad simplemente agregando\(v_0\) a la solución original rindiendo

\[v=v_0+at\]

Esto ciertamente lo hace así que\(v\) evalúe a\(v_0\) cuándo\(t=0\). Pero, ¿sigue siendo una solución para\(a=\dfrac{dv}{dt}\)?

Vamos a probarlo. Si\(v=v_0+at\), entonces

\[a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d}{dt}(v_0+at)=\dfrac{d}{dt}v_0+\dfrac{d}{dt}(at)=0+a\dfrac{d}{dt}t=a\]

\(v=v_0+at\), cuando se sustituye en Ecuación\(\ref{defaccel}\) conduce a una identidad por lo que\(v=v_0+at\) es una solución a la Ecuación\(\ref{defaccel}\). Lo que hemos hecho es aprovechar el hecho de que la derivada de una constante es cero, así que si agregas una constante a una función, no cambias la derivada de esa función. La solución no\(v=v_0+at\) es sólo una solución a la ecuación\(a=\dfrac{dv}{dt}\) (con\(a\) estipulado para ser una constante) sino que es una solución a todo el problema ya que también cumple con la condición de valor inicial que\(v=v_0\) en el tiempo cero. La solución:\[v=v_0+at\]

es la primera de un conjunto de cuatro ecuaciones de aceleración constante que se desarrollarán en este capítulo.

La otra definición proporcionada en el último apartado fue:

\[v=\dfrac{dx}{dt}\]

que en palabras puede leerse como: La velocidad de un objeto es la velocidad de cambio de la posición del objeto (ya que la derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad de cambio de la posición). Sustituyendo nuestra expresión recién encontrada por rendimientos de velocidad

\[v_0+at=\dfrac{dx}{dt}\]

que se puede escribir como:

\[\dfrac{dx}{dt}=v_0+at\]

Buscamos una función que dé un valor de\(x\) por cada valor de\(t\), cuya derivada\(\dfrac{dx}{dt}\) es la suma de términos\(v_0+at\). Dado que la derivada de una suma dará una suma de términos, es decir, la suma de las derivadas, intentemos una función representada por la expresión\(x=x_1+x_2\). Esto funciona si\(\dfrac{dx_1}{dt} \) es\(v_0\) y\(\dfrac{dx_2}{dt} \) es\(at\). Centrémonos\(x_1\) primero. Recordemos que\(v_0\) es una constante. Recordemos además que el\(t\) derivativo-con-respeto-a-a-de tiempos constantes\(t\), rinde esa constante. Así que echa un vistazo\(x_1=v_0t\). Efectivamente, la derivada de\(v_0t\) con respecto a\(t\) es\(v_0\), el primer término en la ecuación anterior. Hasta el momento tenemos\[x=v_0t+x_2\]

Ahora vamos a trabajar\(x_2\). Tenemos que\(\dfrac{dx_2}{dt}\) serlo\(at\). Sabiendo que cuando tomamos el derivado de algo con\(t^2\) en él obtenemos algo con\(t\) en él lo intentamos\(x_2=constant\cdot t^2\). La derivada de eso es la\(2\cdot constant \cdot t\) que es igual a\(at\) si elegimos\(\dfrac{1}{2}a\) por la constante. Si la constante es\(\dfrac{1}{2}a\) entonces nuestra solución de prueba para\(x_2\) es\(x_2=\dfrac{1}{2}at^2\). Al enchufar esto\(x_2\) en la ecuación\(x=v_0t+x_2\), arroja:

\[x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\]

Ahora estamos en una situación similar a la que nos encontramos con nuestra primera expresión para\(v(t)\). Esta expresión para\(x\) resuelve

\[\dfrac{dx}{dt}=v_0+at\]

pero no da\(x_0\) cuando enchufa\(0\) para\(t\). Nuevamente, aprovechamos que se puede agregar una constante a una función sin cambiar la derivada de esa función. Esta vez sumamos la constante\(x_0\) así

\[x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\]

Esto cumple con nuestros dos criterios: Resuelve ecuación\( \dfrac{dx}{dt}=v_0+at\), y evalúa a\(x_0\) cuándo\(t=0\). Hemos llegado a la segunda ecuación en nuestro conjunto de cuatro ecuaciones de aceleración constante. Los dos que tenemos hasta ahora son:

\[x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\]

y

\[v=v_0+at\]

Estos dos son suficientes, pero para simplificar la solución de problemas de aceleración constante, utilizamos álgebra para llegar a dos ecuaciones de aceleración constante más. Resolviendo\(v=v_0+at\), para\(a\) rendimientos\(a=\dfrac{v-v_0}{t}\) y si lo sustitues en\(x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\) ti llegas rápidamente a la tercera ecuación de aceleración constante:

\[x=x_0+\dfrac{V_0+V}{2}t\]

Resolviendo\(v=v_0+at\)\(t\) rendimientos\(t=\dfrac{v-v_0}{a}\) y si lo sustitues,\(x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\) llegas rápidamente a la ecuación final de aceleración constante:

\[V^2=V_0^2+2a(x-x_0)\]

Para su comodidad, copiamos todo el conjunto de ecuaciones de aceleración constante que se espera que use en sus soluciones a problemas que involucran aceleración constante:

\[x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\]

\[x=x_0+\dfrac{V_0+V}{2}t\]

\[v=v_0+at\]

\[V^2=V_0^2+2a(x-x_0)\]