B1: Cargo y Ley de Coulomb

El cargo es una propiedad de la materia. Hay dos tipos de carga, positiva “+” y negativa “- ”. Un objeto puede tener carga positiva, carga negativa o ninguna carga en absoluto. Una partícula que tiene carga hace que exista un vector fuerza por carga de posible víctima en cada punto de la región del espacio alrededor de sí misma. El conjunto infinito de vectores fuerza-por-carga-de-sería-víctima se llama campo vectorial. Cualquier partícula cargada que se encuentre en la región del espacio donde existe el campo vector fuerza por carga de posible víctima tendrá una fuerza ejercida sobre ella por el campo fuerza por carga de la víctima. El campo de fuerza por carga de aspirante a ser víctima se llama campo eléctrico. La partícula cargada que provoca la existencia del campo eléctrico se llama carga fuente. (Respecto a la jerga: Una partícula cargada es una partícula que tiene carga. Una partícula cargada a menudo se conoce simplemente como “una carga”).

La carga fuente provoca un campo eléctrico que ejerce una fuerza sobre la carga de la víctima. El efecto neto es que la carga fuente provoca que se ejerza una fuerza sobre la víctima. Si bien tenemos mucho que discutir sobre el campo eléctrico, por ahora, nos enfocamos en el efecto neto, que declaramos simplemente (descuidando al “hombre medio”, el campo eléctrico) como, “Una partícula cargada ejerce una fuerza sobre otra partícula cargada”. Esta afirmación es la Ley de Coulomb en su forma conceptual. La fuerza se llama fuerza de Coulomb, también conocida como fuerza electrostática.

Tenga en cuenta que cualquiera de los cargos puede verse como el cargo de origen y cualquiera de ellos puede ser visto como el cargo de víctima. Identificar un cargo como el cargo de víctima equivale a establecer un punto de vista, similar a identificar un objeto cuyo movimiento o equilibrio se encuentra en estudio para efectos de aplicar la ^2ª Ley del movimiento de Newton. \(\vec{a}=\frac{\sum \vec{F}}{m}\). En la Ley de Coulomb, la fuerza ejercida sobre una partícula cargada por otra se dirige a lo largo de la línea que conecta las dos partículas, y, lejos de la otra partícula si ambas partículas tienen el mismo tipo de carga (ambas positivas o, ambas negativas) pero, hacia la otra partícula si el tipo de carga difiere (una positivo y el otro negativo). Este hecho probablemente te sea familiar ya que, “como los cargos repelen y a diferencia de atraer”.

La unidad de carga SI es el culombo, abreviado C. Un culombo de carga es mucha carga, tanto que, dos partículas, cada una con una carga de +1 C y separadas por una distancia de 1 metro ejercen una fuerza de\(9\times 10^9 N\), es decir 9 mil millones de newtons entre sí.

Esto nos lleva a la forma de ecuación de la Ley de Coulomb que puede escribirse para dar la magnitud de la fuerza ejercida por una partícula cargada sobre otra como:

\[F=k\frac{ | q_1 | | q_2 |}{r^2}\label{1-1}\]

donde:

• \(k=8.99\times 10^9 \frac{N\cdot m^2}{C^2}\), una constante universal llamada la constante de Coulomb,
• \(q_1\)es la carga de la partícula 1,
• \(q_2\)es la carga de la partícula 2, y
• \(r\)es la distancia entre las dos partículas.

Se espera que el usuario de la ecuación (todavía estamos hablando de ecuación\(\ref{1-1}\)\(F=k\frac{ | q_1 | | q_2 |}{r^2}\)) establezca la dirección de la fuerza por medio del “sentido común” (la comprensión del usuario de lo que significa para cargas similares repeler y a diferencia de cargas para atraerse entre sí).

Si bien la Ley de Coulomb en forma de ecuación está diseñada para ser exacta para partículas puntuales, también es exacta para distribuciones de carga esféricamente simétricas (como bolas de carga uniformes) siempre que se use la distancia de centro a centro para\(r\).

La Ley de Coulomb es también una buena aproximación en el caso de objetos sobre los que la carga no sea esféricamente simétrica siempre y cuando las dimensiones de los objetos sean pequeñas en comparación con la separación de los objetos (cuanto más cierto sea esto, mejor será la aproximación). Nuevamente, se utiliza la separación de los centros de las distribuciones de carga en la ecuación de la Ley de Coulomb.

La Ley de Coulomb se puede escribir en forma vectorial como:

\[\vec{F_{12}}=k\frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{12}\label{1-2}\]

donde:

• \(\vec{F_{12}}\)es la fuerza “de 1 sobre 2”, es decir, la fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la partícula 2,
• \(\hat{r}_{12}\)es un vector unitario en la dirección “de 1 a 2", y
• \(k\),\(q_1\) y\(q_2\) se definen como antes (la constante de Coulomb, la carga en la partícula 1 y la carga en la partícula 2 respectivamente).

Tenga en cuenta la ausencia de los signos de valor absoluto alrededor\(q_1\) y\(q_2\). Se dice que una partícula que tiene una cierta cantidad, digamos, 5 culombios del tipo negativo de carga tiene una carga de - 5 culombios y uno con 5 culombios del tipo positivo de carga se dice que tiene una carga de +5 culombios) y de hecho los signos más y menos que designan el tipo de carga tienen la significado aritmético habitual cuando las cargas entran en ecuaciones. Por ejemplo, si crea un objeto compuesto combinando un objeto que tiene una carga de\(q_1=+3 C\) con un objeto que tiene una carga de\(q_2=-5C\), entonces el objeto compuesto tiene una carga de

\[q=q_1+q_2\]

\[q=+3C+(-5C)\]

\[q=-2C\]

Obsérvese que la interpretación aritmética del tipo de carga en la forma vectorial de la Ley de Coulomb hace que esa ecuación dé la dirección correcta de la fuerza para cualquier combinación de tipos de carga. Por ejemplo, si una de las partículas tiene carga positiva y la otra negativa, entonces el valor del producto\(q_1q_2\) en la ecuación\(\ref{1-2}\)

\[\vec{F_{12}}=k\frac{q_1q_2}{r^2} \hat{r}_{12}\]

tiene un signo negativo que podemos asociar con el vector de unidad. Ahora\(-\hat{r}_{12}\) está en la dirección opuesta “de 1 a 2”, lo que significa que está en la dirección “de 2 a 1”. Esto significa que\(\vec{F_{12}}\), la fuerza de 1 sobre 2, se dirige hacia la partícula 1. Esto es consistente con nuestro entendimiento de que los opuestos se atraen. De igual manera, si\(q_1\) y\(q_2\) 2 son ambos positivos, o ambos negativos en\(\vec{F_{12}}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\hat{r}_{12}\) entonces el valor del producto\(q_1q_2\) es positivo lo que significa que la dirección de la fuerza de 1 sobre 2 es\(\hat{r}_{12}\) (de 1 a 2), es decir, lejos de 1, consistente con el hecho de que cargas similares repelen. Hemos estado hablando de la fuerza de 1 sobre 2. La partícula 2 ejerce una fuerza sobre la partícula 1 también. Está dado por\(\vec{F_{21}}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\hat{r}_{21}\). El vector unitario\(\hat{r}_{21}\), apuntando de 2 a 1, es solo el negativo del vector unitario que apunta de 1 a 2:

\[\hat{r_{21}}=-\hat{r}_{12}\]

Si hacemos esta sustitución en nuestra expresión por la fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la partícula 1, obtenemos:

\[\vec{F_{21}}=k\frac{q_1q_2}{r^2}(-\hat{r}_{12})\]

\[\vec{F_{21}}=-k\frac{q_1q_2}{r^2}\hat{r}_{12}\]

Comparando el lado derecho con nuestra expresión para la fuerza de 1 sobre 2 (es decir,\(\vec{F_{12}}=k\frac{q_1q_2}{r^2} \hat{r}_{12}\)), vemos que

\[\vec{F_{21}}=-\vec{F_{12}}\]

Entonces, según la Ley de Coulomb, si la partícula 1 está ejerciendo una fuerza\(\vec{F_{12}}\) sobre la partícula 2, entonces la partícula 2 está, al mismo tiempo, ejerciendo una fuerza igual pero opuesta de\(-\vec{F_{12}}\) nuevo sobre la partícula 2, que, como sabemos, por la ^3ª Ley de Newton, debe.

En nuestro mundo macroscópico encontramos que la carga no es una propiedad fija inherente de un objeto sino, más bien, algo que podemos cambiar. Frota una varilla de goma neutra con pelaje de animal, por ejemplo, y encontrarás que después, la caña tiene algo de carga y el pelaje tiene el tipo de carga opuesto. Ben Franklin definió el tipo de carga que aparece en la varilla de goma como carga negativa y el otro tipo como carga positiva. Para proporcionar alguna comprensión de cómo la vara llega a tener carga negativa, profundizamos brevemente en el mundo atómico e incluso en el mundo subatómico.

La materia estable con la que estamos familiarizados consiste en protones, neutrones y electrones. Los neutrones son neutros, los protones tienen una cantidad fija de carga positiva y los electrones tienen la misma cantidad fija de carga negativa. A diferencia de la varilla de goma de nuestro mundo macroscópico, no se puede dar carga al neutrón y no se puede añadir carga, ni quitar carga de, ni del protón ni del electrón. Cada protón tiene la misma cantidad fija de carga, es decir\(1.60\times 10^{-19} C\). Los científicos nunca han podido aislar una cantidad menor de carga. A esa cantidad de cargo se le da un nombre. Se llama el\(e\), abreviado\(e\) y se pronuncia “ee”. El\(e\) es una unidad de carga no SI. Como se ha dicho\(1e=1.60\times 10^{-19} C\). En unidades de\(e\), la carga de un protón es\(1e\) (exactamente) y la carga de un electrón es\(-1e\). Por alguna razón, existe una tendencia entre los humanos a interpretar el hecho de que la unidad la e es equivalente\(1.60\times 10^{-19} C\) a significar que\(1e\) es igual\(-1.60\times 10^{-19} C\). ¡Esto está mal! Más bien,

\[1e=1.60\times 10^{-19} C\]

Un átomo neutro típico consiste en un núcleo formado por neutrones y protones rodeados por electrones orbitantes de tal manera que el número de electrones en órbita alrededor del núcleo es igual al número de protones en el núcleo. Veamos qué significa esto en términos de un objeto cotidiano como una copa de poliestireno. Una copa típica de poliestireno tiene una masa de aproximadamente 2 gramos. Consiste en aproximadamente:\(6\times 10^{23}\) neutrones,\(6\times 10^{23}\) protones y, cuando son neutrales,\(6\times 10^{23}\) electrones. Así, cuando es neutral tiene aproximadamente\(1\times 10^5 C\) de carga positiva y\(1\times 10^5 C\) de carga negativa, para un total de 0 carga. Ahora bien, si frotas una copa de poliestireno con pelaje de animal puedes darle una carga notable. Si lo frotas por todas partes con el pelaje en un día seco y luego determinas experimentalmente la carga en la copa, encontrarás que se trata\(-5\times 10^{-8}C\). Esto representa un incremento de aproximadamente\(0.00000000005 \%\) en el número de electrones en la copa. Fueron trasladados del pelaje a la copa. Estamos hablando de\(3\times 10 ^{10}\) electrones, que seguro serían muchos mármoles pero representa una minúscula fracción del número total de electrones en el material de la copa.

Los puntos principales de la discusión anterior son:

• Un objeto macroscópico neutro típico consiste en cantidades increíblemente enormes de ambos tipos de carga (alrededor de 50 millones de culombios de cada uno por cada kilogramo de materia), la misma cantidad de cada tipo.
• Cuando cargamos un objeto, transferimos una cantidad relativamente minúscula de carga hacia o desde ese objeto.
• Una cantidad típica de carga diaria (como la cantidad de carga en un calcetín ceñido que acaba de salir de la secadora) son los\(10^{−7}\) culombs.
• Cuando transferimos carga de un objeto a otro, en realidad estamos moviendo partículas cargadas, típicamente electrones, de un objeto a otro.

Un punto que no hicimos en la discusión anterior es que se conserva el cargo. Por ejemplo, si, frotando una varilla de goma con pelaje, transferimos una cierta cantidad de carga negativa a la varilla de goma, entonces, el pelaje originalmente neutro se deja con la misma cantidad exacta de carga positiva. Recordando el equilibrio exacto entre la increíblemente enorme cantidad de carga negativa y la increíblemente enorme cantidad de carga positiva en cualquier objeto macroscópico, reconocemos que, al cargar la varilla de goma, el pelaje se carga positivamente no porque de alguna manera gane carga positiva, sino porque pierde carga negativa, lo que significa que la cantidad increíblemente enorme original de carga positiva ahora (ligeramente) excede la (todavía increíblemente enorme) cantidad de carga negativa restante en y en el pelaje.

Cargando por frotamiento

Uno bien podría preguntarse por qué frotar una varilla de goma con pelaje de animal haría que los electrones se transfirieran del pelaje a la varilla. Si uno pudiera imaginar de alguna manera que incluso un electrón pudiera, por casualidad, encontrar su camino desde el pelaje hasta la vara, parecería que, entonces, la varilla estaría cargada negativamente y el pelaje cargado positivamente para que cualquier electrón que se liberara del pelaje sería atraído de nuevo al pelaje por la carga positiva sobre él y repelidos por la carga negativa en la varilla. Entonces, ¿por qué alguna vez se transferiría más carga del pelaje a la vara? La respuesta viene bajo el epígrafe de “la distancia importa”. Al frotar la caña con el pelaje traes muchas moléculas de piel muy cerca de las moléculas de goma. En algunos casos, los electrones externos en los átomos del pelaje se acercan tanto a los núcleos de los átomos en la superficie del caucho que la fuerza de atracción de estos núcleos positivos es mayor que la fuerza de atracción del núcleo del átomo del que forman parte. La fuerza neta es entonces hacia la varilla, los electrones en cuestión experimentan una aceleración hacia la varilla que cambia la velocidad de tal manera que los electrones se mueven hacia la varilla. La carga por frotamiento depende fuertemente de la estructura molecular de los materiales en cuestión. Un aspecto interesante del proceso es que el frotamiento solo hace que muchas moléculas en el pelaje se acerquen mucho a las moléculas en el caucho. No es como si la energía asociada con el movimiento de frotamiento se diera de alguna manera a los electrones haciendo que saltaran del pelaje al caucho. Cabe señalar que el pelaje no es el único material que tiene tendencia a renunciar a los electrones y el caucho no es el único material con tendencia a adquirirlos. El fenómeno de la carga por frotamiento se llama triboelectrificación. La siguiente lista ordenada de la tendencia de (un número limitado de) materiales a renunciar o aceptar electrones se llama secuencia triboeléctrica:

La presencia y posición del aire en la lista sugiere que es más fácil mantener una carga negativa sobre los objetos en el aire que mantener una carga positiva sobre ellos.

Conductores y Aisladores

Supongamos que se carga una varilla de goma y luego la toca a un objeto neutro. Alguna carga, repelida por la carga negativa en la varilla, se transferirá al objeto originalmente neutro. Lo que suceda con esa carga depende entonces del material del que consiste el objeto originalmente neutro. En el caso de algunos materiales, la carga permanecerá en el lugar donde el objeto originalmente neutro es tocado por la varilla cargada. Dichos materiales se denominan aislantes, materiales a través de los cuales la carga no puede moverse, o, a través de los cuales el movimiento de la carga es muy limitado. Ejemplos de buenos aislantes son el cuarzo, el vidrio y el aire. En el caso de otros materiales, la carga, casi instantáneamente se extiende por todo el material en cuestión, en respuesta a la fuerza de repulsión (recordando esa fuerza causa aceleración que conduce al movimiento) que cada partícula elemental de la carga ejerce sobre cada otra partícula elemental de carga. Los materiales en los que la carga es libre de moverse se denominan conductores. Ejemplos de buenos conductores son los metales y el agua salada.

Cuando pones algo de carga en un conductor, inmediatamente se extiende por todo el conductor. Cuanto más grande es el conductor, más se extiende. En el caso de un objeto muy grande, la carga puede extenderse tanto que cualquier trozo del objeto tiene una cantidad insignificante de carga y por lo tanto, se comporta como si fuera neutral. Cerca de la superficie de la tierra, la tierra misma es lo suficientemente grande como para desempeñar tal papel. Si enterramos un buen conductor como una larga varilla o tubería de cobre, en la tierra, y conectamos a él otro buen conductor como un cable de cobre, que podríamos conectar a otro objeto metálico, como una placa de cubierta para una toma de corriente, por encima pero cerca de la superficie de la tierra, podemos aprovechar la la naturaleza como un enorme objeto hecho en gran parte de material conductor. Si tocamos una varilla de goma cargada a la placa de cubierta metálica que acabamos de mencionar, y luego retiramos la varilla, la carga que se transfiere a la placa metálica se extiende sobre la tierra en la medida en que la placa de cubierta es neutra. Utilizamos la expresión “la carga que se transfirió a la placa de cubierta ha fluido hacia la tierra”. Un conductor que está conectado a tierra de la manera en que se conecta la placa de cubierta que se acaba de discutir se llama “tierra”. El acto de tocar un objeto cargado con tierra se conoce como poner a tierra el objeto. Si el objeto en sí es un conductor, conectarlo a tierra (en ausencia de otros objetos cargados) hace que se vuelva neutro.

Carga por Inducción

Si mantiene un lado de un conductor en contacto con tierra y lleva un objeto cargado muy cerca del otro lado del conductor, y luego, manteniendo el objeto cargado cerca del conductor sin tocarlo, rompa el contacto del conductor con tierra, encontrará que el conductor está cargado con el tipo opuesto de la carga que originalmente estaba sobre el objeto cargado. He aquí por qué. Cuando lleva el objeto cargado cerca del conductor, repele la carga en el conductor justo fuera del conductor y hacia la tierra. Entonces, con esas cargas desaparecidas, si rompes el camino a tierra, el conductor queda atascado con la ausencia de esas partículas cargadas que fueron repelidas en el suelo. Dado que el objeto cargado original repele el mismo tipo de carga que tiene, el conductor se queda con el tipo de carga opuesto.

Polarización

Volvamos a frotar esa varilla de goma con pelaje y acerquemos la varilla de goma a un extremo de una pequeña tira de papel de aluminio neutro. Encontramos que la lámina se siente atraída por la varilla de goma, a pesar de que la lámina permanece neutra. He aquí por qué:

La varilla de goma cargada negativamente repele la carga negativa de movimiento libre en la tira al otro extremo de la tira. Como resultado, el extremo cercano de la tira de aluminio se carga positivamente y el extremo lejano se carga negativamente. Entonces, la varilla de goma atrae el extremo cercano de la varilla y repele el extremo más alejado. Pero, debido a que el extremo cercano está más cerca, la fuerza de atracción es mayor que la fuerza de repulsión y la fuerza neta es hacia la varilla. A la separación de carga que se produce en la tira neutra de aluminio se le llama polarización, y, cuando la tira de aluminio neutro es positiva en un extremo y negativa en el otro, decimos que está polarizada.

La polarización se produce también en el caso de los aislantes, a pesar de que la carga no es libre de moverse dentro de un aislante. Llevemos una varilla cargada negativamente cerca de un extremo de un trozo de papel. Cada molécula en el artículo tiene una parte positiva y una parte negativa. La parte positiva es atraída por la varilla y la parte negativa es repelida. El efecto es que cada molécula en el papel está polarizada y estirada. Ahora bien, si cada pedacito de carga positiva se tira un poco más cerca de la varilla y cada pedacito de carga negativa se empuja un poco más lejos, el efecto neto en la mayor parte del papel es dejarlo neutral, pero, en los extremos hay una carga neta. En el extremo cercano, la carga negativa repelida deja la carga positiva atraída por sí sola, y, en el otro extremo, la carga positiva atraída deja la carga negativa repelida por sí sola.

Al igual que en el caso de la tira de aluminio, la varilla de goma negativa atrae el extremo cercano, positivo, y repele el extremo lejano, negativo, pero, el extremo cercano está más cerca por lo que la fuerza de atracción es mayor, lo que significa que la fuerza neta sobre la tira de papel es atractiva. Nuevamente, la separación de la carga en el papel se llama polarización y el hecho de que un extremo de la tira neutra de papel sea negativo y el otro positivo significa que la tira de papel está polarizada.