B29: Lentes Delgadas - Ecuación de Lente, Potencia Óptica
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Considere por ejemplo el caso de una lente convergente con un objeto más distante del plano de la lente que el punto focal. Aquí está el diagrama del último capítulo. En este ejemplar, he sombreado dos triángulos con el fin de llamar su atención sobre ellos. Además, he etiquetado los lados de esos dos triángulos con sus longitudes.
Por inspección, los dos triángulos sombreados son similares entre sí. Como tal, las proporciones de los lados correspondientes son iguales. Así:
\[ \frac{|h'|}{h}=\frac{i}{o}\]
Recordemos las convenciones señaladas en el último capítulo:
| Cantidad Física | Símbolo | Convención de Firmar |
|---|---|---|
| distancia focal | \(f\) | + para lente convergente - para lente divergente |
| distancia de imagen | \(i\) | + para imagen real - para imagen virtual |
| altura de la imagen | \(h'\) | + para imagen erecta - para imagen invertida |
| magnificación | \(M\) | + para imagen erecta - para imagen invertida |
En el caso que nos ocupa, tenemos una imagen invertida, así\(h'\) es negativa, entonces\(|h'|=-h'\). Así, la ecuación\(\frac{|h'|}{h}=\frac{i}{o}\) puede escribirse como\(\frac{-h'}{h}=\frac{i}{o}\), o, como
\[\frac{h'}{h}=-\frac{i}{o}\]
Pero\(\frac{h'}{h}\) es, por definición, la ampliación. Así, podemos escribir la ampliación como:
\[M=-\frac{i}{o} \label{29-1}\]
Aquí hay otra copia del mismo diagrama con otro triángulo sombreado.
Por inspección, ese triángulo sombreado es similar al triángulo que se sombrea en la siguiente copia del mismo diagrama:
Usando el hecho de que las proporciones de lados correspondientes de triángulos similares son iguales, establecemos la relación de los dos lados superiores (uno de cada triángulo) igual a la relación de los dos lados derechos:
\[\frac{o}{f}=\frac{h+|h'|}{|h'|}\]
Nuevamente, ya que la imagen está al revés,\(h'\) es negativa así\(|h'|=-h'\). Así
\[\frac{o}{f}=\frac{h-h'}{-h'}\]
\[\frac{o}{f}=1-\frac{h}{h'}\]
De nuestro primer par de triángulos similares encontramos\(\frac{h'}{h}=-\frac{i}{o}\) lo que se puede escribir\(\frac{h}{h'}=-\frac{o}{i}\) Sustituyendo esto en la expresión\(\frac{o}{f}=1-\frac{h}{h'}\) que acabamos de encontrar, tenemos
\[\frac{o}{f}=1-\Big(-\frac{o}{i} \Big)\]
Dividiendo ambos lados\(o\) y simplificando los rendimientos:
\[\frac{1}{f}=\frac{1}{o}+\frac{1}{i} \label{29-2}\]
Esta ecuación se conoce como la ecuación de lente. Junto con nuestra definición de la ampliación\(M=\frac{h'}{h}\), la expresión que derivamos para la ampliación\(M=-\frac{i}{o}\), y nuestras convenciones:
| Cantidad Física | Símbolo | Convención de Firmar |
|---|---|---|
| distancia focal | \(f\) | + para lente convergente - para lente divergente |
| distancia de imagen | \(i\) | + para imagen real - para imagen virtual |
| altura de la imagen | \(h'\) | + para imagen erecta - para imagen invertida |
| magnificación | \(M\) | + para imagen erecta - para imagen invertida |
La ecuación de lente nos dice todo lo que necesitamos saber sobre la imagen de un objeto que se encuentra a una distancia conocida del plano de una lente delgada de distancia focal conocida. Si bien lo hemos derivado para el caso de un objeto que es una distancia mayor que la distancia focal, a partir de una lente convergente, funciona para todas las combinaciones de lente y distancia de objeto para las cuales la aproximación de lente delgada es buena. (La aproximación de la lente delgada es buena siempre que\(i\),\(o\), y todos\(f\) sean grandes en comparación con el grosor de la lente). En cada caso, derivamos la ecuación de lente (siempre resulta ser la misma ecuación), dibujando el diagrama de trazado de rayos y analizando los triángulos similares que aparecen en él.
Un punto conceptual importante
(Lo mencionamos en el último capítulo pero merece mayor atención.) Un conjunto infinito de rayos contribuye a cualquier punto dado de una imagen formada por una lente. Considere, por ejemplo, el caso de un objeto a una distancia mayor que la distancia focal de una lente convexa esférica delgada (convergente). Además, debido a que es fácil de especificar, consideraremos la imagen de la punta del objeto (flecha). Hemos estado utilizando los rayos principales para localizar la imagen, como en el siguiente diagrama:
en la que intencionadamente he usado un pequeño icono de lente para recordarles que, al usar el diagrama de rayos principal para localizar la imagen, realmente no nos importa si los rayos principales realmente golpean o no la lente. Consideremos, para el caso que nos ocupa, que el diagrama es un diagrama a tamaño real de una lente real. Por muy importantes que sean para ayudarnos a identificar la ubicación de la imagen, claramente, para el caso que nos ocupa, los Rayos Principales II y III en realidad no contribuyen a la imagen. El director Ray I sí contribuye a la imagen. Dibujemos algunos más de los colaboradores:
El hecho de que cada rayo que viene de la punta del objeto y golpea la lente contribuya a la imagen de la punta de la flecha (y el hecho correspondiente para todos y cada uno de los puntos del objeto) explica por qué puedes cubrir una fracción de la lente (como la mitad de la lente) y aún así obtener una imagen completa (aunque dimmer).
El poder de una lente
Cuando un oftalmólogo escribe una receta para una lente esférica, normalmente escribirá un valor alrededor\(-.5\) o\(.5\), o, un valor alrededor\(-500\) o\(500\) sin unidades. Bien podría preguntarse para qué cantidad es un valor el número dado, y cuáles deberían ser las unidades. La respuesta a la primera pregunta es que la cantidad física es el poder de la lente que se prescribe. En este contexto, a la potencia se le llama a veces la potencia óptica de la lente. El poder de una lente no tiene nada que ver con la velocidad a la que se transforma o transfiere la energía, sino que representa la asignación de un significado completamente diferente a la misma palabra. De hecho, el poder de una lente es, por definición, el recíproco de la distancia focal de la lente:
\[P=\frac{1}{f} \label{29-3}\]
En que la unidad SI de distancia focal es el medidor (m), la unidad de potencia óptica es claramente el medidor recíproco que puedes escribir como\(\frac{1}{m}\) o\(m^{-1}\) de acuerdo con tus preferencias personales. A esta unidad se le ha asignado un nombre. Se llama la dioptría, abreviada\(D\). Así, por definición,
\[1D=\frac{1}{m}\]
Así, un valor de\(-.5\) en la prescripción del oftalmólogo puede interpretarse en el sentido de que lo que se está prescribiendo es una lente que tiene un poder de\(-0.5\) dioptrías. El signo menos significa que la lente es una lente cóncava (divergente). Tomando los rendimientos recíprocos:
\[f=\frac{1}{P}=\frac{1}{-0.5 D}=-2 \frac{1}{D}=-2m\]
Si ves un número alrededor\(-500\) o\(500\) en la prescripción de lentes del oftalmólogo, puedes asumir que el oftalmólogo está dando el poder del cristalino en unidades de milidioptrías (mD). \(500\)mD es, por supuesto, equivalente a\(.5D\). Para evitar confusiones, si se le da una potencia óptica en unidades de\(mD\), conviértela en unidades de dioptrías antes de utilizarla para calcular la distancia focal correspondiente.
Sistemas de Dos Lentes
Para calcular la imagen de un sistema de dos lentes, uno simplemente calcula la posición de la imagen para la lente que la luz del objeto golpea primero, y luego usa esa imagen como el objeto para la segunda lente. En general, hay que tener cuidado para reconocer que para la primera lente, tanto la distancia del objeto como la distancia de imagen se miden en relación con el plano de la primera lente. Luego, para la segunda lente, se miden la distancia del objeto y la distancia de imagen con respecto al plano de la segunda lente. Eso significa que, en general, la distancia del objeto para la segunda lente no es igual en valor a la distancia de imagen para la primera lente.
Por ejemplo, en el siguiente diagrama de dos lentes separadas por\(12\) cm, si el objeto está a la izquierda de la primera lente, y\(i_1\) resulta ser\(8\) cm a la derecha de la primera lente,
entonces\(o_2\), la distancia del objeto para la segunda lente, es\(4\) cm. Una circunstancia peculiar surge cuando la segunda lente está más cerca de la primera lente que la imagen formada por la primera lente. Supongamos por ejemplo, que tenemos la imagen representada arriba, formada por la primera lente:
Ahora supongamos que ponemos una segunda lente entre la lente 1ª y la imagen.
Tenga en cuenta que, para la segunda lente, tenemos un objeto a la derecha de la lente, pero, ¡la luz asociada a ese objeto se acerca al objeto desde la izquierda! Esto sólo puede suceder cuando el objeto es en realidad una imagen formada por otra lente. En tal caso, llamamos al objeto un objeto virtual. De manera más general, cuando la luz de un objeto se acerca a una lente desde el lado opuesto a ese lado al que se encuentra el objeto, se considera que el objeto es un objeto virtual, y, la distancia del objeto, es, por convención, negativa. Entonces, tenemos una convención más para poner en una mesa para ti:
| Cantidad Físico | Símbolo | Convención de Firmar |
| Distancia del objeto | \(o\) | + para objeto real (siempre el caso de un objeto físico) - para objeto virtual (solo posible si “object” es realmente la imagen formada por otra lente) |
Al formar el diagrama de trazado de rayos para el caso del objeto virtual, tenemos que recordar que cada rayo que entra en la segunda lente se dirige recto hacia la punta de la flecha que es el objeto virtual para la segunda lente. Así, nuestro Principal Rayo I es uno que se dirige recto hacia la punta de la flecha, y, se dirige recto hacia el centro de la lente. Va directo a través.
El rayo principal II se dirige recto hacia la cabeza del objeto a lo largo de una línea paralela al eje principal de la lente. En el plano de la lente salta sobre la trayectoria de línea recta que la lleva recta a través del punto focal en el otro lado de la lente.
Rayo Principal III, se dirige recto hacia la punta del objeto virtual, y, en su camino hacia la lente, pasa a través del punto focal en el lado de la lente desde el que se acerca a la lente. Cuando golpea el plano de la lente, Principal Ray III adopta una trayectoria que es paralela al eje principal de la lente.
Tenga en cuenta que, para el caso que nos ocupa, obtenemos una imagen real. En relación con el objeto virtual, la imagen no se invierte. El objeto virtual ya estaba al revés. El hecho de que podamos dibujar un diagrama de trazado de rayos para el caso de un objeto virtual significa que podemos identificar y analizar triángulos similares para establecer la relación entre la distancia del objeto, la distancia de imagen y la distancia focal de la lente. Al hacerlo, con la convención de que la distancia del objeto de un objeto virtual es negativa, vuelve a producir la ecuación de lente\(\frac{1}{f}=\frac{1}{o}+\frac{1}{i}\).
Aquí hay un diagrama de todo el sistema de dos lentes para el caso en cuestión:
Tenga en cuenta que la imagen real de la lente 1 por sí sola nunca se forma realmente, pero fue crucial en nuestra determinación de la ubicación, orientación y tamaño de la imagen, en el caso del sistema de dos lentes.