B30: El campo eléctrico debido a una distribución continua de carga en una línea

Toda integral debe incluir un diferencial (como dx, dt, dq, etc.). Una integral es una suma infinita de términos. El diferencial es necesario para hacer cada término infinitesimal (desaparecidamente pequeño). $\int f(x)dx$está bien,$\int g(y)dy$ está bien, y$\int h(t) dt$ está bien, pero nunca escribas$\int f(x)$, nunca escribas$\int g(y)$ y nunca escribas$\int h(t)$.

Aquí repasamos la Ley de Coulomb para el Campo Eléctrico. Recordemos que la Ley de Coulomb para el Campo Eléctrico da una expresión para el campo eléctrico, en un punto vacío en el espacio, debido a una partícula cargada. Ha tenido práctica para encontrar el campo eléctrico en un punto vacío en el espacio debido a una sola partícula cargada y debido a varias partículas cargadas. En este último caso, simplemente calculó la contribución al campo eléctrico en un punto vacío en el espacio debido a cada partícula cargada, y luego agregó las contribuciones individuales. Tuviste cuidado de tener en cuenta que cada contribución al campo eléctrico en el punto vacío en el espacio era un vector de campo eléctrico, un vector más que un escalar, de ahí que las contribuciones individuales se tuvieran que sumar como vectores.

Un problema de revisión para el campo eléctrico debido a una distribución discreta de carga

Comencemos este capítulo haciendo un problema de revisión. El siguiente ejemplo es uno de los que aprendiste a hacer cuando te encontraste por primera vez con la Ley de Coulomb para el Campo Eléctrico. Se le da una distribución discreta de las cargas de fuente y se le pide que encuentre el campo eléctrico (en el caso que nos ocupa, solo el$x$ componente del campo eléctrico) en un punto vacío en el espacio.

El ejemplo se presenta en la página siguiente. Aquí, una palabra sobre una pieza de notación utilizada en la solución. El símbolo P se utiliza para identificar un punto en el espacio para que el escritor pueda referirse a ese punto, sin ambigüedades, como “punto”$P$. El símbolo$P$ en este contexto no representa una variable o una constante. Es sólo una etiqueta de identificación. No tiene valor. No se le puede asignar un valor. No representa una distancia. Simplemente etiqueta un punto.

Hay dos partículas cargadas en el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas,$q_1$ at $x=x_1$ and $q_2$ at $x=x_2$ where $x_2>x_1$. Find the $x$ component of the electric field, due to this pair of particles, valid for all points on the $x$-$y$ plane for which $x>x_2$.

$\vec{E_1}$ is the contribution to the electric field at point $P$ (at x,y) due to charge $q_1$. Charge $q_2$ contributes to $\vec{E_2}$ to the electric field at $P$. $\vec{E}=\vec{E_1}+\vec{E_2}$ $E_x=E_{1x}+E_{2x}$ First, let's get $E_{1x}$: $\frac{E_{1x}}{E_1}=\cos \theta_1$ $E_{1x}=E_1\cos\theta_1$ Looking at the diagram at the top of this column, we see that Coulomb's Law for the Electric Field yields: $E_1=\frac{kq_1}{r_1^2}$ $E_{1x}=\frac{kq_1}{r_1^2}\cos\theta_1$

Again, from that first diagram, $r_1=\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}$ and $\cos\theta_1=\frac{x-x_1}{r_1}=\frac{x-x_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}}$ Substitute both of these into $E_{1x}=\frac{kq_1}{r_1^2}\cos\theta_1$ yields: $E_{1x}=\frac{kq_1}{(\sqrt{(x-x_1)^2+y^2})^2}\frac{x-x_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}}$ $E_{1x}=\frac{kq_1(x-x_1)}{\Big[(x-x_1)^2+y^2 \Big] ^{\frac{3}{2}}}$ It is left as an exercise for the reader to show that: $E_{2x}=\frac{kq_2(x-x_2)}{\Big[(x-x_2)^2+y^2\Big]^{\frac{3}{2}}}$ Since $E_x=E_{1x}+E_{2x}$, we have: $E_x=\frac{kq_1(x-x_1)}{\Big[(x-x_2)^2+y^2\Big]^{\frac{3}{2}}}+\frac{kq_2(x-x_2)}{\Big[(x-x_2)^2+y^2\Big]^{\frac{3}{2}}}$

Densidad de carga lineal

Bien, suficiente revisión, ahora consideremos el caso en el que tenemos una distribución continua de carga a lo largo de algún segmento de línea. En la práctica, podríamos estar hablando de un trozo de cuerda o hilo cargado, una varilla delgada cargada, o incluso un trozo de alambre cargado. Primero tenemos que discutir cómo se especifica incluso tal situación. Lo hacemos declarando cuál es la densidad de carga lineal, la carga por longitud.$\lambda$ Por ahora consideraremos el significado de$\lambda$ para algunas situaciones diferentes (antes de llegar al meollo de la materia, encontrando el campo eléctrico debido a la distribución lineal de la carga). Supongamos, por ejemplo, que tenemos una cadena de un metro que se extiende desde el origen hasta$x=1.00 m$ lo largo$x$ del eje, y que la densidad de carga lineal en esa cadena viene dada por:

$$\lambda=1.56 \frac{\mu}{m^2}x.$$

(Justo debajo de la ecuación, hemos representado gráficamente la densidad de carga lineal dibujando una línea cuya oscuridad representa la densidad de carga).

Tenga en cuenta que si el valor de$x$ se expresa en metros,$\lambda$ tendrá unidades de$\frac{\mu C}{m}$, unidades de carga por longitud, como debe. Obsérvese además que para valores pequeños de$x$,$\lambda$ es pequeño, y para valores mayores de$x$,$\lambda$ es mayor. Eso significa que la carga está más densamente empaquetada cerca del extremo lejano (relativo al origen) de la cadena. Para familiarizarnos aún más con lo que$\lambda$ es, calculemos la cantidad total de carga en el segmento de cadena. Lo que haremos es obtener una expresión para la cantidad de carga en cualquier longitud infinitesimal$dx$ de la cadena, y sumar todas esas cantidades de carga para todas las longitudes infinitesimales que componen el segmento de cadena.

La cantidad infinitesimal de carga$dq$ en la longitud infinitesimal$dx$ de la cadena es solo la carga por longitud$\lambda$ multiplicada por la longitud$dx$ del segmento de cadena infinitesimal.

$$dq=\lambda dx$$

Tenga en cuenta que no puede tomar la cantidad de carga en una longitud finita (como$15 cm$) de la cadena para que sea$\lambda$ multiplicada por la longitud del segmento porque$\lambda$ varía sobre la longitud del segmento. En el caso de un segmento infinitesimal, cada parte del mismo se encuentra dentro de una distancia infinitesimal de la posición especificada por uno y el mismo valor de$x$. La densidad de carga lineal no varía en un segmento infinitesimal$x$ porque no, el segmento es simplemente demasiado corto.

Para obtener el cargo total solo tenemos que sumar todos los dq's. cada dq se especifica por su valor correspondiente de$x$. Para cubrir todos los$dq$'s tenemos que tomar en cuenta todos los valores$x$ de$0$ a$1.00$ m. Debido a que cada uno$dq$ es la carga sobre una longitud infinitesimal de la línea de carga, la suma va a tener un número infinito de términos. Una suma infinita de piezas infinitesimales es una integral. Cuando integramos

$$dq=\lambda dx$$

obtenemos, a la izquierda, la suma de todas las piezas infinitesimales de carga que componen el conjunto. Por definición, la suma de todas las cantidades infinitesimales de carga es solo la carga total$Q$ (que por cierto, es lo que estamos resolviendo); no necesitamos las herramientas de cálculo integral para hacer frente al lado izquierdo de la ecuación. La integración de ambos lados de la ecuación rinde:

$$Q=\int_0^{1.00m} \lambda dx$$

Usando la expresión dada$\lambda=1.56 \frac{\mu}{m^2}x$ obtenemos

$$Q=\int_0^{1.00m} 2.56\frac{\mu C}{m^2}xdx=2.56\frac{\mu C}{m^2} \int_0^{1.00m}xdx=2.56 \frac{\mu C}{m^2} \frac{x^2}{2} \Big|_0^{1.00m}=2.56\frac{\mu C}{m^2} \Big[\frac{(1.00m)^2}{2}-\frac{(0)^2}{2}\Big]=1.28 \mu C$$

A continuación se ofrecen algunos ejemplos más de distribuciones de carga:

Por ejemplo, considere la carga distribuida a lo largo del eje x, de$x=0$ a$x=L$ para el caso en que la densidad de carga viene dada por

$$\lambda=\lambda_{MAX} \sin(\pi \mbox{rad} x/L$$

donde$\lambda_{MAX}$ es una constante que tiene unidades de carga por longitud, rad representa las unidades radianes,$x$ es la variable de posición y$L$ es la longitud de la distribución de carga. Dicha distribución de carga tiene una densidad de carga máxima igual a la$\lambda_{MAX}$ que ocurre en el medio del segmento de línea.

Otro ejemplo sería un caso en el que la carga se distribuye sobre un segmento lineal de longitud L que se extiende a lo largo del eje y de$y=a$ a$y=a+L$ con un ser una constante y la densidad de carga dada por

$$\lambda=\frac{38 \mu C \cdot m}{y^2}$$

En este caso la carga en la línea está más densamente empaquetada en la región más cercana al origen. (Cuanto menor$y$ es, mayor es el valor de$\lambda$, la carga por longitud.)

El caso más simple es aquel en el que la carga se extiende uniformemente sobre la línea en la que hay carga. En el caso de una distribución de carga lineal uniforme, la densidad de carga es la misma en todas partes de la línea de carga. En tal caso, la densidad de carga lineal$\lambda$ es simplemente una constante. Además, en un caso tan simple, y solo en un caso tan simple, la densidad de carga$\lambda$ es solo la cantidad total de carga$Q$ dividida por la longitud$L$ de la línea a lo largo de la cual esa carga se distribuye uniformemente. Por ejemplo, supongamos que se le dice que una cantidad de carga$Q=2.45C$ se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla delgada de longitud$L=0.840 m$. Entonces$\lambda$ viene dado por:

$$\lambda=\frac{Q}{L}$$

$$\lambda=\frac{2.45C}{0.840m}$$

$$\lambda=2.92\frac{C}{m}$$

El campo eléctrico debido a una distribución continua de carga a lo largo de una línea

Bien, ahora estamos listos para llegar al meollo. Se nos da una distribución continua de carga a lo largo de un segmento de línea recta y se nos pide encontrar el campo eléctrico en un punto vacío en el espacio cercano a la distribución de carga. Consideraremos el caso en el que tanto la distribución de carga como el punto vacío en el espacio se encuentran en el$y$ plano$x$ -. Los valores de las coordenadas del punto vacío en el espacio no se especifican necesariamente. Podemos llamarlos$x$ y$y$. Al resolver el problema para un solo punto en el espacio con coordenadas no especificadas$(x,y)$, nuestra respuesta final tendrá los símbolos$x$ y$y$ en él, y nuestro resultado realmente dará la respuesta para un conjunto infinito de puntos en el$y$ plano$x$ -.

El plan para resolver tal problema es encontrar el campo eléctrico, debido a un segmento infinitesimal de la carga, en un punto vacío en el espacio. Lo hacemos por cada segmento infinitesimal de la carga, y luego sumamos los resultados para obtener el campo eléctrico total.

Ahora bien, una vez que cortamos la distribución de carga (en nuestra mente, para fines de cálculo) en piezas infinitesimales (desaparecidamente pequeñas), vamos a terminar con un número infinito de piezas y de ahí una suma infinita cuando vayamos a sumar las contribuciones al campo eléctrico en un solo punto vacío en espacio debido a todos los segmentos infinitesimales de la distribución lineal de carga. Es decir, el resultado va a ser una integral.

Una consideración importante que debemos abordar es el hecho de que el campo eléctrico, debido a cada elemento de carga, en un punto vacío en el espacio, es un vector. De ahí que de lo que estamos hablando es una suma infinita de vectores infinitesimales. En general, los vectores que se agregan están todos en direcciones diferentes entre sí. (¿Se te ocurre un caso tan especial que el conjunto infinito de vectores infinitesimales de campo eléctrico estén todos en la misma dirección que los demás? Tenga en cuenta que estamos considerando el caso general, no un caso tan especial.) Sabemos mejor que simplemente sumar las magnitudes de los vectores, suma infinita o no. Los vectores que no están todos en la misma dirección que los demás, agregan como vectores, no como números. El caso es, sin embargo, que los$x$ componentes de todos los vectores de campo eléctrico infinitesimal en un punto vacío en el espacio sí agregan como números. De igual manera para los$y$ componentes. Así, si, por cada elemento infinitesimal de la distribución de carga, encontramos, no solo el campo eléctrico en el punto vacío en el espacio, sino el$x$ componente de ese campo eléctrico, entonces podemos sumar todos los$x$ componentes del campo eléctrico en el punto vacío en el espacio para obtener el$x$ componente del campo eléctrico, debido a toda la distribución de carga, en un punto vacío en el espacio. La suma sigue siendo una suma infinita, pero esta vez es una suma infinita de escalares en lugar de vectores, y tenemos las herramientas para manejarlo. Por supuesto, si nos piden el campo eléctrico total, tenemos que repetir todo el procedimiento para obtener el$y$ componente del campo eléctrico y luego combinar los dos componentes del campo eléctrico para obtener el total.

La manera más fácil de hacer el último paso es usar la$\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ notación. Es decir, una vez que tenemos$E_x$ y$E_y$, simplemente podemos escribir:

$$\vec{E}=E_x \hat{i}+E_y \hat{j}$$

Encuentra el campo eléctrico válido para cualquier punto en el positivo$x$ axis due a $36.0 cm$ long line of charge, lying on the $y$ axis and centered on the origin, for which the charge density is given by

$$\lambda=0.00120\frac{C}{m^2}y^2$$

As usual, we’ll start our solution with a diagram:

Note that we use (and strongly recommend that you use) primed quantities $(x′, y′)$ to specify a point on the charge distribution and unprimed quantities $(x, y)$ to specify the empty point in space at which we wish to know the electric field. Thus, in the diagram, the infinitesimal segment of the charge distribution is at $(0, y′)$ and point $P$, the point at which we are finding the electric field, is at $(x,0)$. Also, our expression for the given linear charge density $\lambda=0.00120\frac{C}{m^2}y^2$ expressed in terms of $y′$ rather than y is:

$$\lambda=0.00120\frac{C}{m^2}y'^2$$

The plan here is to use Coulomb’s Law for the Electric Field to get the magnitude of the infinitesimal electric field vector $\vec{dE}$ at point $P$ due to the infinitesimal amount of charge $dq$ in the infinitesimal segment of length $dy′$.

$$dE=\frac{kdq}{r^2}$$

The amount of charge $dq$ in the infinitesimal segment $dy′$ of the linear charge distribution is given by

$$dq=\lambda dy'$$

From the diagram, it clear that we can use the Pythagorean theorem to express the distance $r$ that point $P$ is from the infinitesimal amount of charge $dq$ under consideration as:

$$r=\sqrt{x^2+y'^2}$$

Substituting this and $dq=\lambda dy'$ into our equation for $dE$ ($dE=\frac{kdq}{r^2}$) we obtain

$$dE=\frac{k\lambda dy'}{x^2+y'^2}$$

Recall that our plan is to find $E_x$, then $E_y$ and then put them together using $\vec{E}=E_x\hat{i}+E_y\hat{j}$. So for now, let’s get an expression for $E_x$.

Based on the vector component diagram at right we have

$$dE_x=dE\cos\theta$$

The $\theta$ appearing in the diagram at right is the same $\theta$ that appears in the diagram above. Based on the plane geometry evident in that diagram (above), we have:

$$\cos\theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y'^2}}$$

Substituting both this expression for $\cos \theta(\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y'^2}})$ and the expression we derived for $dE$ above $(dE=\frac{k\lambda dy'}{(x^2+y'^2)^2})$ into the expression $dE_x=dE\cos\theta$ from the vector component diagram yields:

$$(dE=\frac{k\lambda dy'}{(x^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}})$$

Also, let’s go ahead and replace $\lambda$ with the given expression $\lambda=0.00120 \frac{C}{m^3}y'^2$:

$$dE_x=\Big(0.00120 \frac{C}{m^3} \Big) \frac{ky'^2x dy'}{(x^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

Now we have an expression for $dE_x$ that includes only one quantity, namely $y′$, that depends on which bit of the charge distribution is under consideration. Furthermore, although in the diagram

it appears that we picked out a particular infinitesimal line segment $dy′$, in fact, the value of $y′$ needed to establish its position is not specified. That is, we have an equation for $dE_x$ that is good for any infinitesimal segment $dy′$ of the given linear charge distribution. To identify a particular $dy′$ we just have to specify the value of $y′$. Thus to sum up all the $dE_x’$s we just have to add, to a running total, the $dE_x$ for each of the possible values of $y′$. Thus we need to integrate the expression for $dE_x$ for all the values of $y′$ from $– 0.180 m$ to $+0.180 m$.

$$\int dE_x=\int_{-0.180m}^{+0.180m} \Big( 0.00120 \frac{C}{m^3}\Big) \frac{ky'^2 xdy'}{(x^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

Copying that equation here:

$$\int dE_x=\int_{-0.180m}^{+0.180m} \Big( 0.00120 \frac{C}{m^3}\Big) \frac{ky'^2xdy'}{(x^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

we note that on the left is the infinite sum of all the contributions to the $x$ component of the electric field due to all the infinitesimal elements of the line of charge. We don’t need any special mathematics techniques to evaluate that. The sum of all the parts is the whole. That is, on the left, we have $E_x$.

The right side, we can evaluate. First, let’s factor out the constants:

$$E_x=\Big(0.00120 \frac{C}{m^3}\Big)kx \int_{-0.180m}^{+0.180m} \frac{y'^2dy'}{(x^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

The integral is given on your formula sheet. Carrying out the integration yields:

$$E_x=\Big(0.00120 \frac{C}{m^3} \Big)k x \Big[\frac{y'}{\sqrt{x^2+y'^2}}+ln(y'+\sqrt{x^2+y'^2}) \Big]_{-0.180m}^{+0.180m}$$

$$E_x=\Big(.00120\frac{C}{m^3}\Big) kx\cdot\Big\{\Big( \Big[ \frac{+.018m}{\sqrt{x^2+(+.180m)^2}}+ln\Big( +.018m+\sqrt{x^2+(+.018m)^2}\Big) \Big]-$$

$$\Big[ \frac{-.180m}{\sqrt{x^2+(-.180)^2}}+ln(-.180m+\sqrt{x^2+(-.180m)^2})\Big]\Big\}$$

$$E_x=\Big(.00120\frac{C}{m^3}\Big) kx\cdot \Big[\frac{.360m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}}+\ln \frac{\sqrt{x^2+(.180m)^2}+.180m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}-.180m}\Big]$$

Substituting the value of the Coulomb constant k from the formula sheet we obtain

$$E_x=\Big(.00120\frac{C}{m^3}\Big)8.99\times 10^9 \frac{N\cdot m^2}{C^2}x\cdot\Big[ \frac{.360m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}}+\ln \frac{\sqrt{x^2+(.180m)^2}+.180m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}-.180m}\Big]$$

Finally we have

$$E_x=1.08\times10^7\frac{N}{C\cdot m}\cdot \Big[\frac{.360m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}}+\ln \frac{\sqrt{x^2+(.180m)^2}+.180m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}-.180m}\Big]$$

It is interesting to note that while the position variable x (which specifies the location of the empty point in space at which the electric field is being calculated) is a constant for purposes of integration (the location of point $P$ does not change as we include the contribution to the electric field at point $P$ of each of the infinitesimal segments making up the charge distribution), an actual value $x$ was never specified. Thus our final result

$$E_x=1.08\times 10^7 \frac{N}{C\cdot m} x \cdot \Big[\frac{.360m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}}+\ln\frac{\sqrt{x^2+(.180m)^2}+.180m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}-.180m}\Big ]$$

for $E_x$ is a function of the position variable $x$.

Getting the y-component of the electric field can be done with a lot less work than it took to get $E_x$ if we take advantage of the symmetry of the charge distribution with respect to the $x$ axis. Recall that the charge density $\lambda$, for the case at hand, is given by:

$$\lambda=0.00120\frac{C}{m^3} y'^2$$

Because $\lambda$ is proportional to $y'^2$, the value of $\lambda$ is the same at the negative of a specified $y'$ value as it is at the $y'$ value itself. More specifically, the amount of charge in each of the two samesize infinitesimal elements $dy′$ of the charge distribution depicted in the following diagram:

is one and the same value because one element is the same distance below the $x$ axis as the other is above it. This position circumstance also makes the distance $r$ that each element is from point P the same as that of the other, and, it makes the two angles (each of which is labeled $\theta$ in the diagram) have one and the same value. Thus the two $\vec{dE}$ vectors have one and the same magnitude. As a result of the latter two facts (same angle, same magnitude of $\vec{dE}$), the $y$ components of the two $\vec{dE}$ vectors cancel each other out. As can be seen in the diagram under consideration:

one is in the $+y$ direction and the other in the $–y$ direction. The $y$ components are “equal and opposite.”) In fact, for each and every charge distribution element $dy′$ that is above the $x$ axis and is thus creating a downward contribution to the $y$ component of the electric field at point $P$, there is an element $dy′$ that is the same distance below the x axis that is creating an upward contribution to the $y$ component of the electric field at point $P$, canceling the $y$ component of the
former. Thus the net sum of all the electric field $y$ components (since they cancel pair-wise) is zero. That is to say that due to the symmetry of the charge distribution with respect to the $x$ axis, $E_y=0$. Thus,

$$\vec{E}=E_x \hat{i}$$

Using the expression for $E_x$ that we found above, we have, for our final answer:

$$\vec{E}=1.08\times 10^7\frac{N}{C\cdot m} x\Big[\frac{.360m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}}+\ln\frac{\sqrt{x^2+(.180m)^2}+.180m}{\sqrt{x^2+(.180m)^2}-.180m}\Big] \hat{i}$$