B37: Ecuaciones de Maxwell

En este capítulo, el plan es resumir gran parte de lo que sabemos sobre la electricidad y el magnetismo de una manera similar a la forma en que James Clerk Maxwell resumió lo que se sabía sobre la electricidad y el magnetismo cerca de finales del siglo XIX. Maxwell no sólo organizó y resumió lo que se sabía, sino que sumó al conocimiento. De su trabajo, tenemos un conjunto de ecuaciones conocidas como Ecuaciones de Maxwell. Su obra culminó con el descubrimiento de que la luz son ondas electromagnéticas.

Al construir una presentación de las Ecuaciones de Maxwell, primero quiero volver a visitar las ideas que encontramos en el capítulo 20 y quiero comenzar esa revisión introduciendo una manera fácil de relacionar la dirección en la que la luz está viajando con las direcciones de los campos eléctricos y magnéticos que son la luz.

Recordemos la idea de que una partícula cargada que se mueve en un campo magnético estacionario

experimenta una fuerza dada por

\[\vec{F}=q\vec{V}_p \times \vec{B}\]

Esta fuerza, por cierto, se llama Fuerza Lorentz. Para el caso descrito anteriormente, por la regla de la derecha para el producto cruzado de dos vectores, esta fuerza sería dirigida fuera de la página.

Viendo exactamente la misma situación desde el marco de referencia en el que la partícula cargada está en reposo vemos un campo magnético moviéndose lateralmente (con velocidad\(\vec{v}=-\vec{v}_p\)) a través de la partícula. Como no hemos cambiado nada más que nuestro punto de vista, la partícula está experimentando la misma fuerza.

Introducimos a un “intermediario” adoptando la actitud de que el campo magnético en movimiento no ejerce realmente una fuerza sobre la partícula cargada, sino que provoca un campo eléctrico que hace eso. Para que la fuerza sea contabilizada por este campo eléctrico intermediario, este último debe estar en la dirección de la fuerza. La existencia de luz indica que se provoca que exista el campo eléctrico independientemente de que exista o no una partícula cargada sobre la que ejerza una fuerza.

La conclusión es que donde quiera que tenga un vector de campo magnético moviéndose lateralmente a través del espacio, usted tiene un vector de campo eléctrico, y, la dirección de la velocidad del vector de campo magnético es consistente con

\[\mbox{direction of} \, \vec{V}=\mbox{direction of} \space \vec{E}\times \vec{B}.\]

Se llega al mismo resultado para el caso de un campo eléctrico que se mueve lateralmente a través del espacio. (Recordemos que en el capítulo 20, discutimos el hecho de que un campo eléctrico que se mueve lateralmente a través del espacio provoca un campo magnético).

El propósito de esta breve revisión del material del capítulo 20 fue llegar al resultado\(\mbox{direction of} \, \vec{V}=\mbox{direction of} \space \vec{E}\times \vec{B}\). Esta relación de dirección será útil en nuestra discusión de dos de las cuatro ecuaciones conocidas como Ecuaciones de Maxwell.

Una de las ecuaciones de Maxwell se llama Ley de Faraday. Reúne un par de cosas de las que ya hemos hablado, a saber, la idea de que un número cambiante de líneas de campo magnético a través de un bucle o una bobina induce una corriente en ese bucle o bobina, y, la idea de que un vector de campo magnético que se mueve lateralmente a través de un punto en el espacio provoca un campo eléctrico existir en ese punto en el espacio. El primero es una manifestación de lo segundo. Por ejemplo, supongamos que tiene un número creciente de líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo a través de un bucle horizontal. La idea es que para que el número de líneas de campo magnético a través del bucle esté aumentando, debe haber líneas de campo magnético moviéndose lateralmente a través del material conductor del bucle (para meterse dentro del perímetro del bucle). Esto provoca un campo eléctrico en el material conductor del bucle que a su vez empuja sobre las partículas cargadas del material conductor del bucle y por lo tanto da como resultado una corriente en el bucle. Podemos discutir la producción del campo eléctrico en puntos en el espacio ocupado por el bucle conductor aunque el bucle conductor no esté ahí. Si consideramos un bucle imaginario en su lugar, las líneas de campo magnético que se mueven a través de él hacia el interior del bucle todavía producen un campo eléctrico en el bucle; simplemente no hay cargas para que ese campo empuje alrededor del bucle.

Supongamos que tenemos un número creciente de líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo a través de un bucle imaginario. Visto desde arriba la situación aparece como:

La gran idea aquí es que no se puede tener un número creciente de líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo a través de la región cercada por el bucle imaginario sin tener, tampoco, líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo que se mueven transversalmente y hacia adentro a través del bucle hacia la región cercada por el o, líneas de campo magnético dirigidas hacia arriba que se mueven transversalmente y hacia afuera a través del bucle fuera de la región circundada por el bucle. De cualquier manera tienes líneas de campo magnético cortando a través del bucle y con cada campo magnético cortando a través del bucle tiene que haber un campo eléctrico asociado con un componente tangente al bucle. Nuestra expresión técnica para el “número de líneas de campo magnético a través del bucle” es el flujo magnético, dado, en el caso de un campo magnético uniforme (pero variable en el tiempo) por

\[\Phi_B=\vec{B}\cdot\vec{A}\]

donde A es el área de la región cercada por el bucle.

La Ley de Faraday, tal como aparece en las Ecuaciones de Maxwell, es una relación entre la velocidad de cambio del flujo magnético a través del bucle y el campo eléctrico (producido por este flujo cambiante) en el bucle. Para llegar a él, consideramos un segmento infinitesimal\(dl\) del bucle y la contribución infinitesimal a la velocidad de cambio del flujo magnético a través del bucle resultante de líneas de campo magnético que se mueven a través de ese segmento\(dl\) hacia la región cercada por el bucle.

Si el campo magnético representado arriba se mueve lateralmente hacia el interior del bucle con una velocidad\(v=\frac{dx}{dt}\) entonces todas las líneas de campo magnético en la región del área\(A=dl\space dx\), con el tiempo\(dt\), se moverán hacia la izquierda una distancia\(dx\). Es decir, todos se moverán de fuera del bucle al interior del bucle creando un cambio de flujo, en el tiempo\(dt\), de

\[d\phi_B=B\space dA\]

\[d\phi_B=B\space dl\space dx\]

Ahora bien, si divido ambos lados de esta ecuación por el momento\(dt\) en que ocurre el cambio, tenemos

\[\frac{d\phi_B}{dt}=B\space dl \frac{dx}{dt}\]

que puedo escribir como

\[\dot{\phi_B}=B\space dl\space v\]

o

\[\dot{\phi_B}=v\space \, B\space dl\]

Para el caso que nos ocupa, mirando el diagrama, vemos eso\(\vec{B}\) y\(\vec{v}\) estamos en ángulo recto entre sí por lo que la magnitud de\(\vec{v}\times \vec{B}\) es justa\(vB\). En ese caso, ya que\(\vec{E}=-\vec{v}\times \vec{B}\) (a partir de la ecuación 20-1 con\(-\vec{v}\) en lugar de\(\vec{v}_P\)), tenemos\(E=vB\). Al reemplazar el producto\(vB\) que aparece en el lado derecho de la ecuación 37-1\(\dot{\phi}_B=Edl\) se\((\dot{phi}_B=vB\space dl)\) obtiene el cual copio en la parte superior de la siguiente página:

\[\dot{\phi}_B=Edl\]

Podemos generalizar esto al caso donde el vector de velocidad no\(\vec{v}\) es perpendicular al segmento de bucle infinitesimal en cuyo caso no\(\vec{E}\) está a lo largo\(\vec{dl}\). En ese caso el componente de\(\vec{E}\) eso está a lo largo\(\vec{dl}\), multiplicado por la longitud\(dl\) misma, es justo\(\vec{E}\cdot \vec{dl}\) y nuestra ecuación se convierte

\[\dot{\phi}_B=-\vec{E} \cdot \vec{dl}\]

En esta expresión, la dirección de\(\vec{dl}\) se determina una vez que se decide cuál de las dos direcciones en las que una línea de campo magnético puede extenderse a través de la región encerrada por el bucle se define para hacer una contribución positiva al flujo a través del bucle. La dirección de\(\vec{dl}\) es entonces la que relaciona el sentido en el que\(\vec{dl}\) apunta alrededor del bucle, con la dirección positiva para las líneas de campo magnético a través del bucle, por la regla de la mano derecha para algo rizado algo recto. Con esta convención se necesita el signo menos para que el producto punto tenga el mismo signo que el signo del cambio en curso en el flujo. Considere, por ejemplo, el caso representado en el diagrama:

Estamos viendo un bucle horizontal desde arriba. Hacia abajo se representa como en la página. Llamar hacia abajo la dirección positiva para el flujo hace que en el sentido horario, como se ve desde arriba, el sentido positivo para los\(\vec{dl}\)'s en el bucle, lo que significa que el\(\vec{dl}\) en el lado derecho del bucle apunta hacia la parte inferior de la página (como se representa). Para un campo magnético dirigido hacia abajo que se mueve hacia la izquierda en el bucle,\(\vec{E}\) debe dirigirse hacia la parte superior de la página (desde\(\mbox{direction of}\space \vec{v}=\mbox{direction of}\space \vec{E}\times \vec{B}\)). Ya que\(\vec{E}\) está en la dirección opuesta a la de\(\vec{dl}\),\(\vec{E} \cdot \vec{dl}\) debe ser negativo. Pero el movimiento de las líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo hacia la región cercada por el bucle, lo que al considerarse hacia abajo la dirección positiva para el flujo, significa una tasa positiva de cambio de flujo. El lado izquierdo de\(\dot{\phi}_B=-\vec{E}\cdot \vec{dl}\) es así positivo. \(\vec{E}\cdot \vec{dl}\)Al ser negativo, necesitamos el signo menos frente a él para que el lado derecho sea positivo también. Ahora\(\dot{\phi}_B\) es la tasa de cambio del flujo magnético a través de la región circundada por el bucle debido a las líneas de campo magnético que están entrando en esa región a través del infinitesimal\(\vec{dl}\) que hemos estado considerando. Hay un\(\dot{\phi}_B\) para cada infinitesimal\(\vec{dl}\) que compone el bucle. Así hay un número infinito de ellos. Llamar a la suma infinita de todos los\(\dot{\phi}_B\)'s\(\dot{\Phi}_B\) y nuestra ecuación se convierte en: