2.4: Resumen

Conclusiones clave

Las cantidades medibles tienen dimensiones y unidades. Siempre se debe reportar una cantidad física con unidades, preferiblemente unidades SI.

Cuando construyes un modelo para predecir una cantidad física, siempre debes preguntar si la predicción tiene sentido (¿Tiene un orden de magnitud razonable? ¿Tiene las dimensiones adecuadas?).

Cualquier cantidad que midas tendrá una incertidumbre. Casi cualquier cantidad que determine a partir de un modelo o teoría también tendrá una incertidumbre.

La mejor manera de determinar una incertidumbre es repetir la medición y usar la media y desviación estándar de las mediciones como el valor central y la incertidumbre. Si tenemos\(N\) medidas de alguna cantidad\(t\)\(\{t_{1}, t_{2}, t_{3}, . . . t_{N}\}\), entonces la media\(\overline{t}\), y la desviación estándar,\(σ_{t}\), se definen como:

\(\begin{aligned} \overline{t}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{i=N}t_{i}=\frac{t_{1}+t_{2}+t_{3}+...t_{N}}{N} \\ \sigma_{t}^{2}&=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_{i}-\overline{t})^{2}=\frac{(t_{1}-\overline{t})^{2}+(t_{2}-\overline{t})^{2}+(t_{3}-\overline{t})^{2}+...+(t_{N}-\overline{t})^{2}}{N-1} \\ \sigma_{t}&=\sqrt{\sigma_{t}^{2}} \end{aligned}\)

Hay que prestar especial atención a las incertidumbres sistemáticas, que son difíciles de determinar. Siempre debes pensar en formas en que tus valores medidos puedan estar equivocados, incluso después de mediciones repetidas. Las incertidumbres relativas le indican si su medición es precisa.

Existen múltiples formas de propagar las incertidumbres. Puede estimar la incertidumbre usando incertidumbres relativas o usar el método Min-Max, que tiende a sobreestimar las incertidumbres. La forma preferida de propagar incertidumbres es con el método derivado, que se puede utilizar siempre y cuando las incertidumbres relativas en las mediciones sean pequeñas. Si tenemos una función,\(F(x, y)\) eso depende de múltiples variables con incertidumbres (por ejemplo\(x±σ_{x}, y ±σ_{y})\), entonces el valor central y la incertidumbre en\(F(x, y)\) vienen dados por:

\(\begin{aligned} \overline{F}&=F(\overline{x},\overline{y}) \\ \sigma_{F}&=\sqrt{\left( \frac{\partial F}{\partial x}\sigma_{x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_{y} \right)^{2}} \end{aligned}\)

Esto se puede calcular fácilmente usando una computadora.

Si espera que dos cantidades medidas estén linealmente relacionadas (una es proporcional a la otra), ¡tráelas para averiguarlas! ¡Usa una computadora para hacerlo!

Ecuaciones Importantes

Valor central e incertidumbre:

\[\overline{t}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{i=N} t_{1}=\frac{t_{1}+t_{2}+t_{3}+...+t_{N}}{N}\]

\[\sigma_{t}^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_{i}-\overline{t})^{2}=\frac{(t_{1}-\overline{t})^{2}+(t_{2}-\overline{t})^{2}+(t_{3}-\overline{t})^{2}+...+(t_{N}-\overline{t})^{2}}{N-1} \]

\[\sigma_{t}=\sqrt{\sigma_{t}^{2}}\]

Método derivado:

\[\overline{F}=F(\overline{x}, \overline{y})\]

\[\sigma_{F}=\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_{x}\right)^{2} +\left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_{y} \right)^{2}}\]

Operación para obtener\(z\)	Incertidumbre en\(x\)
\ (z\) ">\(z=x+y\) (adición)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}}\)
\ (z\) ">\(z=x-y\) (resta)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}}\)
\ (z\) ">\(z=xy\) (multiplicación)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=xy\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{y}}{y} \right)^{2}}\)
\ (z\) ">\(z=\frac{x}{y}\) (división)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=\frac{x}{y}\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{y}}{y} \right)^{2}}\)
\ (z\) ">\(z=f(x)\) (una función de\(1\) variable)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=\left| \frac{df}{dx}\sigma_{x} \right|\)

Cuadro 2.4.1: Cómo propagar las incertidumbres a partir de los valores medidos\(x ± σ_{x}\) y\(y ± σ_{y}\) a una cantidad\(z(x, y)\) para operaciones comunes.