3.5: Resumen

Claves para llevar

Para describir el movimiento en una dimensión, debemos definir un eje con:

1. Un origen (donde\(x=0\)).
2. Una dirección (la dirección en la que\(x\) aumenta).
3. Una unidad para la longitud.

Describimos la posición de un objeto con una función\(x(t)\) que depende del tiempo. La tasa de cambio de posición se llama “velocidad”,\(v_{x}(t)\) y es una función dada por la derivada temporal de la posición. La tasa de cambio de velocidad se llama “aceleración”,\(a_{x}(t)\) y es una función dada por la derivada del tiempo de la velocidad.

Dada una función para la aceleración,\(a_x(t)\), se puede utilizar su anti-derivado para determinar la velocidad.

\(v_{x}(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\)

Dada una función para la velocidad,\(v_x(t)\), uno puede usar su anti-derivado para determinar la posición.

\(a_{x}(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_{x}}{dt}\)

Con una aceleración constante,\(a_{x}(t) = a_{x}\), si el objeto tenía velocidad\(v_{0x}\) y posición\(x_{0}\) en\(t = 0\):

\(\begin{aligned} v_{x}(t)&=v_{0x}t+a_{x}t \\ x(t)&=x_{0}+v_{0x}t+\frac{1}{2}a_{x}t^{2} \\ v^{2}-v_{0}^{2}&=2a(x-x_{0}) \end{aligned}\)

Un marco de referencia inercial es aquel que se mueve con una velocidad constante. Es imposible definir un marco de referencia que esté verdaderamente “en reposo”, por lo que consideramos marcos de referencia inerciales solo relativos a otros marcos de referencia que también consideramos inerciales. Si un objeto tiene una posición\(x^A(t)\) en un marco de referencia inercial dado,\(x\), es decir, se mueve con una velocidad\(v^{'B}\) en comparación con un marco de referencia inercial diferente\(x^{'}\), entonces la posición del objeto en el\(x^{'}\) marco de referencia es dado por\(x'(t)=v^{'B}+x^{A}(t)\).

\(\begin{aligned} x^{'A}(t)&=v^{'B}t+x^{A}(t) \\ v^{'A}(t)&=v^{'B}+v^{A}(t) \\ a^{'A}(t)&=a(t) \end{aligned}\)

Ecuaciones importantes

Si la posición de un objeto es descrita por una función\(x(t)\), entonces, su velocidad\(v_x(t)\), y aceleración,\(a_x(t)\), vienen dadas por:

\[\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\\end{aligned}\]

Por el contrario, dada la aceleración\(a_x(t)\),, on puede encontrar la velocidad y la posición:

\[\begin{aligned} v_x(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\sum_ia_x(t_i)\Delta t+C=\int a_x(t)dt+C\\ x(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\sum_iv_x(t_i)\Delta t+C=\int v_x(t)dt+C\\\end{aligned}\]

Con una aceleración constante,\(a_x(t)=a_x\), si el objeto tenía velocidad\(v_{0x}\) y posición\(x_0\) en\(t=0\):

\[\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}a_xt^2 \\ v^{2}-v_{0}^{2}&=2a(x-x_{0}) \end{aligned}\]

Si un objeto tiene la posición\(x^A\) medida en un marco de referencia\(x\) que se mueve a velocidad constante\(v'^B\) medida en un segundo marco de referencia\(x'\), entonces en el marco de\(x'\) referencia, las cantidades cinemáticas para el objeto se obtienen por la transformación galileana:

\[\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t)\end{aligned}\]

Definiciones importantes

Definición

Posición: La distancia entre el origen del sistema de coordenadas definido y un objeto. Unidades SI:\([\text{m}]\). Variable (s) común (es):\(\stackrel{\rightarrow}{x}, \stackrel{\rightarrow}{r}\).

Definición

Velocidad: La velocidad a la que cambia la posición con respecto al tiempo. Unidades SI:\([\text{ms}^{−1}]\). Variable (s) común (es):\(\stackrel{\rightarrow}{v}\).

Definición

Aceleración: la velocidad a la que cambia la velocidad con respecto al tiempo. Unidades SI:\([\text{ms}^{−2}]\). Variable (s) común (es):\(\stackrel{\rightarrow}{a}\).