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18.6: Resumen

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    Claves para llevar

    La fuerza eléctrica es conservadora, por lo que podemos definir una función energética potencial,\(U(\vec r)\). La función de energía potencial para una carga puntual\(q\), en posición\(\vec r\),, relativa a una carga puntual\(Q\), viene dada por:\[\begin{aligned} U(\vec r) = \frac{kQ}{r}q + C\end{aligned}\] donde\(C\), es una constante arbitraria, ya que solo las diferencias en la energía potencial son físicamente significativas (ya que corresponden al trabajo). Tenga en cuenta que el signo de la energía potencial eléctrica dependerá del signo relativo de\(q\) y\(Q\).

    Si una colección de cargas se mantiene unida, la energía potencial eléctrica total que se almacena se denomina “energía potencial electrostática”.

    De manera similar al campo eléctrico,\(\vec E(\vec r)\), corresponde a la fuerza eléctrica por unidad de carga, “potencial eléctrico”\(V(\vec r)\), corresponde a la energía potencial eléctrica por unidad de carga. El potencial eléctrico en una posición,\(\vec r\), relativo a una carga puntual\(Q\), viene dado por:\[\begin{aligned} V(\vec r) =\frac{U(\vec r)}{q}= \frac{kQ}{r} + C'\end{aligned}\] y también depende de una constante arbitraria\(C'\), ya que solo las diferencias en el potencial eléctrico conducirán a diferencias en la energía potencial. El valor del potencial eléctrico\(V\), en alguna posición en el espacio,\(\vec r\), nos permite determinar la energía potencial eléctrico,\(U\), en esa posición para cualquier carga,\(q\):\[\begin{aligned} U = qV\end{aligned}\] Esto es análogo a determinar la fuerza en una carga\(q\) cuando conocemos el campo eléctrico en algún momento del espacio:\[\begin{aligned} \vec F = q \vec E\end{aligned}\] Las diferencias en el potencial eléctrico se llaman “voltajes”, y la unidad de potencial S.I. se llama el “voltio” (V). En las unidades S.I. el campo eléctrico suele expresarse en unidades de voltios por metro (V/m).

    Cuando una partícula con carga,\(q\), cambia de posición de tal manera que el cambio correspondiente en el potencial eléctrico es\(\Delta V\), la energía potencial de la partícula cambiará por:\[\begin{aligned} \Delta U = q\Delta V\end{aligned}\] En particular, una carga negativa experimentará una disminución en la energía potencial cuando la eléctrica aumenta el potencial, mientras que una carga positiva experimentará un incremento en la energía potencial cuando aumente el potencial eléctrico. Esto refleja el hecho de que la fuerza eléctrica asociada al potencial eléctrico actuará en direcciones opuestas sobre una carga positiva y otra negativa.

    Para describir las energías de las partículas que interactúan con las fuerzas eléctricas, es más conveniente utilizar el “electrón voltio” en lugar del Joule. Un electrón voltio se define como la energía que se gana por una carga con una magnitud\(e\) (la magnitud de la carga del electrón) cuando se acelera a través de una diferencia de potencial de\(\Delta V=1\text{V}\):\[\begin{aligned} 1\text{eV}&=(e)(1\text{V})=1.6\times 10^{-19}\text{J}\end{aligned}\]

    La función del potencial eléctrico se puede determinar de dos maneras diferentes:

    1. Modelando la distribución de carga como la suma de cargas puntuales infinitesimales\(dq\), y sumando los potenciales eléctricos,\(dV\), de todas las cargas,\(dq\). Esto requiere que uno elija\(0\text{V}\) ubicarse en el infinito, de manera que los\(dV\) sean todos relativos al mismo punto.
    2. Calculando el campo eléctrico (ya sea como integral o a partir de la Ley de Gauss), y utilizando:\[\begin{aligned} \Delta V &=V(\vec r_B)-V(\vec r_A)=-\int_A^B \vec E\cdot d\vec r\end{aligned}\]

    Vale la pena señalar que hay que tener mucho cuidado con las señales al usar la integral anterior. En particular señalar que se toma lo negativo de la integral, de\(A\) a\(B\), para determinar el potencial en\(B\) menos el potencial at\(A\).

    De igual manera, se puede determinar el valor del campo eléctrico\(\vec E(\vec r)=\vec E(x,y,z)\),, a partir del potencial eléctrico,\(V(\vec r)=V(x,y,z)\):\[\begin{aligned} \vec E(x,y,z) = -\nabla V =-\frac{\partial V}{\partial x}\hat x-\frac{\partial V}{\partial y}\hat y-\frac{\partial V}{\partial z}\hat z\end{aligned}\] donde\(\nabla V\),, es el gradiente del potencial eléctrico.

    El potencial eléctrico se puede visualizar de varias maneras. El más común es dibujar contornos de potencial eléctrico constante, similar a los contornos en mapas geográficos que se utilizan para mostrar regiones de altitud constante (es decir, energía potencial gravitacional constante).

    Las regiones de potencial eléctrico constante se denominan “equipotenciales”, y pueden ser líneas, superficies o volúmenes. Los equipotenciales son siempre perpendiculares al campo eléctrico. En electrostática (cuando las cargas no se mueven), el campo eléctrico en un conductor debe ser cero, de manera que un conductor siempre forme un equipotencial, y el campo eléctrico en la superficie de un conductor siempre sea perpendicular a la superficie.

    Cuando se colocan cargas en un conductor, se extenderán a lo largo de la superficie exterior del conductor. La densidad superficial de las cargas será la más alta donde el conductor tenga el radio de curvatura más pequeño (por ejemplo, en un punto agudo). En consecuencia, el campo eléctrico en la superficie de un conductor cargado es más alto cerca de puntos agudos.

    Los capacitores son dispositivos que se utilizan para almacenar carga. Por lo general, se realizan utilizando dos placas conductoras (“terminales” o “electrodos”) que mantienen una carga igual y opuesta\(Q\),, a una diferencia de potencial fija\(\Delta V\),, entre los electrodos. Se observa que la cantidad de carga que se almacena en el condensador es proporcional a la diferencia de potencial entre los electrodos:\[\begin{aligned} Q=C\Delta V\end{aligned}\] donde la constante de proporcionalidad\(C\),, se llama la “capacitancia” del condensador. La unidad de capacitancia S.I. es el “Farad” (F). La capacitancia de un condensador depende de su geometría (por ejemplo, su tamaño) y de los materiales que se coloca entre los electrodos.

    Por lo general, se coloca un material dieléctrico entre los dos electrodos para aumentar la capacitancia, y reducir el riesgo de avería. Si ese material tiene una “constante dieléctrica”\(K\), entonces la capacitancia viene dada por:\[\begin{aligned} C=KC_0\end{aligned}\] donde\(C_0\),, corresponde a la capacitancia si hubiera vacío entre los electrodos. La constante dieléctrica del aire es muy cercana a 1, por lo que un condensador en el aire es muy similar a un condensador en vacío. Un material dieléctrico es aquel que está hecho de moléculas que pueden polarizarse bajo la presencia de un campo eléctrico; es decir, las moléculas tienen un momento dipolar eléctrico. Cuando las moléculas en un material están polarizadas, esto reduce el campo eléctrico total en el material, lo que aumenta la capacitancia del condensador. Dentro de un material dieléctrico, podemos definir la “permitividad”\(\epsilon\), como:\[\begin{aligned} \epsilon=K\epsilon_0\end{aligned}\] dónde\(\epsilon_0\) está la permitividad del espacio libre. Dentro de un material dieléctrico, la Ley de Gauss se modifica para:\[\begin{aligned} \oint \vec E \cdot d\vec A=\frac{Q^{enc}}{\epsilon}\end{aligned}\]

    Dado que las cargas se mantienen a una diferencia de potencial fija en un condensador, los condensadores son una forma de almacenar energía potencial eléctrica. La cantidad de energía potencial eléctrica almacenada en un condensador con capacitancia\(C\), cuando el condensador tiene una diferencia de potencial\(\Delta V\), a través de sus electrodos, viene dada por:\[\begin{aligned} U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2=\frac{1}{2}Q\Delta V\end{aligned}\]

    Ecuaciones Importantes

    Energía eléctrica potencial a partir de una carga puntual

    \[\begin{aligned} U(r)=\frac{kQq}{r}+C\end{aligned}\]

    Potencial eléctrico

    \[\begin{aligned} V=\frac{U}{q}\end{aligned}\]

    Potencial eléctrico:

    \[\begin{aligned} \Delta V = V(\vec r_B)-V(\vec r_A)\\ \Delta V = -\int_{A}^{B}\vec E \cdot d\vec r\end{aligned}\]

    Campo eléctrico:

    \[\begin{aligned} \vec E=-\nabla V =-\frac{\partial V}{\partial x}\hat x-\frac{\partial V}{\partial y}\hat y-\frac{\partial V}{\partial z}\hat z\end{aligned}\]


    Potencial eléctrico a partir de una carga puntual

    \[\begin{aligned} V(r)=\frac{kQ}{r}+C\end{aligned}\]


    Potencial eléctrico entre dos placas paralelas

    \[\begin{aligned} \Delta V = EL\end{aligned}\]


    Carga almacenada en un condensador:

    \[\begin{aligned} Q = C\Delta V\end{aligned}\]


    Energía almacenada en un condensador

    \[\begin{aligned} U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2=\frac{1}{2}Q\Delta V\end{aligned}\]

    Definiciones importantes

    Definición

    Potencial eléctrico: Energía potencial eléctrica por unidad de carga. Unidades SI:\([\text{V}]\). Variable (s) común (s):\(V\), apareciendo frecuentemente como\(\Delta V\) (diferencia de potencial).

    Definición

    Capacitancia: Cuánta carga puede contener un condensador dada la diferencia de potencial entre los terminales del condensador. Unidades SI:\([\text{F}]\). Variable (s) común (es):\(C\).

    Definición

    Constante dieléctrica: Constante que se define como la relación (adimensional) de la permitividad dieléctrica de una sustancia y la permitividad dieléctrica de un vacío. Variable (s) común (es):\(K\).


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