23.4: El campo eléctrico inducido y las corrientes parásitas

Hasta el momento, hemos descrito la inducción electromagnética en términos de la tensión que es inducida por un campo magnético cambiante. Este voltaje está relacionado con un campo eléctrico, que discutimos en esta sección. En la Ley de Faraday, el voltaje se induce a través de un bucle cerrado (y puede pensarse como una batería ideal colocada en el bucle). Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\) que muestra un bucle en el plano de la página, y un campo magnético fuera del plano de la página.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un campo magnético variable inducirá un campo eléctrico circular.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En la Figura\(\PageIndex{1}\), con el voltaje inducido como se muestra, ¿aumenta o disminuye el campo magnético?

1. El campo magnético va en aumento.
2. El campo magnético está disminuyendo.

Contestar

Como recordarán, la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos,\(A\) y\(B\), se obtiene del campo eléctrico:\[\begin{aligned} \Delta V = \int_A^B \vec E\cdot d\vec l\end{aligned}\] En el caso de una tensión inducida a través de un bucle, los puntos\(A\) y\(B\) son los mismos. La integral está así sobre un camino cerrado:\[\begin{aligned} \Delta V = \oint \vec E\cdot d\vec l\end{aligned}\] Podemos incluirlo en la Ley de Faraday usando el campo eléctrico en lugar de la diferencia de potencial:

\[\begin{aligned} \Delta V=-\frac{d\Phi_{B}}{dt} \end{aligned}\]

\[\therefore\oint\vec E\cdot d\vec l=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\]

donde la última línea es una forma más general de la Ley de Faraday. Obsérvese que en el caso de la electrostática, donde el campo eléctrico es producido por una distribución de cargas, la integral\(\oint \vec E\cdot d\vec l\) debe ser cero, ya que la fuerza eléctrica es conservadora; el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga\(q\) sobre un camino cerrado, que es apenas un carga\(q\) multiplicada por esa integral, debe ser cero. ¡La fuerza de un campo eléctrico que es inducida por un campo magnético variable en el tiempo no es conservadora!

La Ley de Faraday expresada con el campo eléctrico es mucho más general, e implica que un campo magnético variable en el tiempo inducirá un campo eléctrico. Esto es cierto, independientemente de que exista un cable físico para transportar la corriente inducida.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Una región circular con radio,\(R\), of space contains a magnetic field that is uniform, and decreasing in magnitude with time: \[\begin{aligned} \vec B(t) = B_0(1-at)\hat z\end{aligned}\] donde\(a\) y\(B_0\) son constantes positivas. Determinar el campo eléctrico a distancia,\(r\), desde el centro de la región, dentro y fuera de la región con el campo magnético.

Solución:

La figura\(\PageIndex{2}\) muestra la región circular del campo magnético, así como una trayectoria circular de radio,\(r\), que define la región sobre la que calculamos el flujo del campo magnético.

Figura\(\PageIndex{2}\): Las líneas de campo eléctrico inducido forman círculos cerrados cuando el campo magnético cambia.

Primero, consideramos el campo eléctrico inducido en la región con un campo magnético, donde\(r<R\). Elegimos un círculo de radio\(r\) para calcular el flujo del campo magnético. Dado que el campo magnético es uniforme dentro de esa región, el flujo viene dado por:\[\begin{aligned} \Phi_B = \vec B \cdot \vec A = BA = B_0(1-at) \pi r^2\end{aligned}\] La circulación del campo eléctrico se encuentra fácilmente, ya que el campo eléctrico forma círculos concéntricos (por simetría):\[\begin{aligned} \oint \vec E \cdot d\vec l = \oint Edl = E \oint dl = E(2\pi r)\end{aligned}\] Aplicando la Ley de Faraday, se encuentra que el campo eléctrico es:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec l &= -\frac{d\Phi_B}{dt}\\ E(2\pi r) &= -\frac{d}{dt} B_0(1-at) \pi r^2\\ 2E &= B_0ar\\ \therefore E&=\frac{B_0a}{2}r\quad\text{(inside the region of magnetic field)}\end{aligned}\] y vemos que, dentro de la región con el campo magnético, la intensidad del campo eléctrico inducido es proporcional a la distancia desde el centro de la región (es decir, aumenta linealmente con\(r\)).

Para la región donde el campo magnético es cero, nuevamente calculamos la circulación del campo eléctrico alrededor de un bucle circular de radio\(r>R\): Sin embargo,\[\begin{aligned} \oint \vec E \cdot d\vec l = \oint Edl = E \oint dl = E(2\pi r)\end{aligned}\] el flujo del campo magnético a través de ese bucle está relacionado con el área de la región con el campo magnético (de radio, \(R\)):\[\begin{aligned} \Phi_B = \vec B \cdot \vec A = BA = B_0(1-at) \pi R^2\end{aligned}\] Nuevamente, aplicando la Ley de Faraday:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec l &= -\frac{d\Phi_B}{dt}\\ E(2\pi r) &= -\frac{d}{dt} B_0(1-at) \pi R^2\\ 2Er&= B_0aR^2\\ \therefore E&=\frac{B_0aR^2}{2r}\quad\text{(outside the region of magnetic field)}\end{aligned}\] Fuera de la región con campo magnético, la magnitud del campo eléctrico disminuye con la distancia desde el centro de la región.

Discusión:

En este ejemplo, determinamos el campo eléctrico que es inducido por un campo magnético variable. En este caso, las líneas de campo eléctrico forman círculos cerrados y dan como resultado una fuerza no conservadora. Cuando el campo eléctrico está formado por una distribución de cargas eléctricas, las líneas de campo comienzan y terminan con cargas, lo que no es el caso de un campo eléctrico inducido.

Frenado magnético

Cuando un material conductor se mueve hacia una región de campo magnético, se induce un campo eléctrico que forma bucles cerrados en el material, induciendo así pequeños bucles de corriente, llamados “corrientes parásitas”. El campo magnético puede entonces ejercer una fuerza sobre esas corrientes, resultando efectivamente en una fuerza sobre el material. Este es el principio detrás del frenado magnético, que se utiliza en algunos trenes y en otras aplicaciones.

La figura\(\PageIndex{3}\) ilustra cómo se puede usar un freno magnético para ralentizar una rueda giratoria hecha de un material conductor (el material debe conducir o el campo eléctrico inducido no producirá ninguna corriente). Se produce un campo magnético (por ejemplo, mediante un imán permanente fijo) en una dirección perpendicular a la rueda, sobre un área pequeña (mostrada en la parte inferior de la rueda en la Figura\(\PageIndex{3}\)).

Figura\(\PageIndex{3}\): Una rueda giratoria hecha de un material conductor tiene una pequeña región con un campo magnético. Las corrientes parásitas en la región de flujo cambiante dan como resultado una corriente neta descendente en el centro de la región. La fuerza magnética que se ejerce sobre esa corriente ralentiza la rueda.

Para el material ubicado en la parte inferior izquierda de la rueda, el flujo magnético está aumentando, ya que el material se está moviendo de una región sin campo magnético a una región con un campo magnético. En esa parte de la región, se formarán corrientes parásitas en el sentido de las agujas del reloj, ya que esas dan como resultado un campo magnético hacia la página, para contrarrestar el flujo magnético creciente (Ley de Lenz). El lado inferior derecho de la rueda está dejando el campo magnético, y así tendrá corrientes parásitas en la dirección opuesta. Las corrientes de ambos lados se suman en el centro, dando como resultado una corriente neta descendente. La fuerza magnética sobre esa corriente descendente está a la izquierda, lo que resulta en un par que ralentiza la rueda. Esto es frenado magnético.

Nuevamente, esto no es más que la conservación de la energía en juego. Dado que inducimos corrientes haciendo que la rueda se mueva hacia/fuera de una región de campo magnético, la energía eléctrica en esas corrientes debe provenir de alguna parte (o bien trabajamos para mantener la rueda girando, o la rueda pierde energía cinética). Cada vez que intentemos mover un conductor a través de un campo magnético, de manera que se induzca la corriente, tendremos que ejercer una fuerza y hacer trabajo. En el caso del frenado magnético, la rueda convertirá su energía cinética rotacional en calor (las corrientes parásitas calentarán la rueda). El principal problema con el frenado magnético es que se necesita poder disipar el calor. La principal ventaja es que no hay piezas que se desgasten, a diferencia de frenar con fricción. Además, el frenado magnético es muy suave, y sólo actúa cuando hay movimiento. Tan pronto como la rueda deja de girar, el flujo magnético es constante en todas partes y las corrientes parásitas desaparecen.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que el campo magnético en la Figura\(\PageIndex{3}\) apuntaba a la página. ¿Seguiría funcionando la rotura magnética?

1. Sí.
2. No.

Contestar