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11A: Velocidad Relativa

Última actualización

30 oct 2022
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- 10A: Problemas de aceleración constante en dos dimensiones
- 12A: Fuerza Gravitacional Cerca de la Superficie de la Tierra, Primer Pincel con la Segunda Ley de Newton

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Los vectores agregan como vectores, no como números. Excepto en ese caso muy especial en el que los vectores que estás agregando se encuentran a lo largo de una y la misma línea, no puedes simplemente sumar las magnitudes de los vectores.

Imagina que tienes una pistola de dardos con una velocidad de hocico de $45 mph$ . Además imagina que estás en un autobús viajando por una autopista recta a $55 mph$ y que apuntas el arma para que el cañón quede nivelado y apuntando directamente hacia adelante, hacia la parte delantera del autobús. Asumiendo que no hay retroceso, ya que sale del hocico de la pistola, ¿qué tan rápido viaja el dardo con relación a la carretera? ¡Así es! $100 mph$ . El dardo ya está viajando hacia adelante en $55 mph$ relativo a la carretera solo porque está en un autobús que se mueve en $55 mph$ relativo a la carretera. A eso se suma la velocidad de $45 mph$ que adquiere como consecuencia del disparo de la pistola y se obtiene la velocidad total del dardo con respecto a la carretera. Este problema es un ejemplo de una clase de problemas de adición de vectores que vienen bajo el título de “Velocidad Relativa”. Es un problema de adición de vectores particularmente fácil porque ambos vectores de velocidad están en la misma dirección. El único reto es el diagrama de adición vectorial, ya que el resultante está justo encima de los otros dos. Lo desplazamos a un lado un poco en el diagrama de abajo para que puedas ver todos los vectores. Definiendo

$\vec{V}_{BR}$ to be the velocity of the bus relative to the road,
$\vec{V}_{DB}$ to be the velocity of the dart relative to the bus, and

$\vec{V}_{DR}$ to be the velocity of the dart relative to the road; we have

The vector addition problem this illustrates is
$\vec{V}_{DR}=\vec{V}_{BR}+\vec{V}_{DB}$

If we define the forward direction to be the positive direction,

then, because the vectors we are adding are both in the same direction, we are indeed dealing with that very special case in which the magnitude of the resultant is just the sum of the magnitudes of the vectors we are adding:

$\vec{V}_{DR}=\vec{V}_{BR}+\vec{V}_{DB}$

$V_{DR}=V_{BR}+V_{DB}$

$V_{DR}=55mph+45mph$

$V_{DR}=100mph$

$\vec{V}_{DR}=100mph$ in the direction in which the bus is traveling

Ya conoces todos los conceptos que necesitas saber para resolver problemas de velocidad relativa (sabes qué es la velocidad y sabes cómo hacer la adición de vectores) así que lo mejor que podemos hacer aquí es brindarte algunos ejemplos más trabajados. Acabamos de abordar el tipo más fácil de problema de velocidad relativa, el tipo en el que todas las velocidades están en una y la misma dirección. El segundo tipo más fácil es el tipo en el que las dos velocidades a sumar están en direcciones opuestas.

Un autobús viaja a lo largo de una autopista recta a una constante $55 mph$ . A person sitting at rest on the bus fires a dart gun that has a muzzle velocity of $45 mph$ straight backward, (toward the back of the bus). Find the velocity of the dart, relative to the road, as it leaves the gun.

Again defining:

$\vec{V}_{BR}$ to be the velocity of the bus relative to the road,

$\vec{V}_{DB}$ to be the velocity of the dart relative to the bus, and

$\vec{V}_{DR}$ to be the velocity of the dart relative to the road, and

defining the forward direction to be the positive direction; we have

$\vec{V}_{DR}=\vec{V}_{BR}+\vec{V}_{DB}$

$V_{DR}=V_{BR}-|V_{DB}|$

$V_{DR}=55mph-45mph$

$V_{DR}=10mph$

$\vec{V}_{DR}=10mph$ in the direction in which the bus is traveling

It would be odd looking at that dart from the side of the road. Relative to you it would still be moving in the direction that the bus is traveling, tail first, at $10 mph$ .

The next easiest kind of vector addition problem is the kind in which the vectors to be added are at right angles to each other. Let’s consider a relative velocity problem involving that kind of vector addition problem.

Un niño sentado en un automóvil que viaja hacia el norte en $65 mph$ aims a BB gun (a gun which uses a compressed gas to fire a small metal or plastic ball called a BB), with a muzzle velocity of $185 mph$ , due east, and pulls the trigger. Recoil (the backward movement of the gun resulting from the firing of the gun) is negligible. In what compass direction does the BB go?

Defining

$\vec{V}_{CR}$ to be the velocity of the car relative to the road,

$\vec{V}_{BC}$ to be the velocity of the BB relative to the car, and

$\vec{V}_{BR}$ to be the velocity of the BB relative to the road; we have

$tan\theta=\dfrac{V_{BC}}{V_{CR}}$

$\theta=tan^{-1}\dfrac{V_{BC}}{V_{CR}}$

$\theta=tan^{-1}\dfrac{185 mph}{65 mph}$

$\theta=70.6^\circ$

The BB travels in the direction for which the compass heading is $70.6^\circ$ .

Un barco viaja a través de un río que fluye hacia el este en $8.50 m/s$ . The compass heading of the boat is $15.0^\circ$ . Relative to the water, the boat is traveling straight forward (in the direction in which the boat is pointing) at $11.2 m/s$ . How fast and which way is the boat moving relative to the banks of the river?

Okay, here we have a situation in which the boat is being carried downstream by the movement of the water at the same time that it is moving relative to the water. Note the given information means that if the water was dead still, the boat would be going 11.2 m/s at $15.0^\circ$ East of North. The water, however, is not still. Defining

$\vec{V}_{WG}$ to be the velocity of the water relative to the ground,

$\vec{V}_{BW}$ to be the velocity of the boat relative to the water, and

$\vec{V}_{BG}$ to be the velocity of the boat relative to the ground; we have

Solving this problem is just a matter of following the vector addition recipe. First we define $+x$ to be eastward and $+y$ to be northward. Then we draw the vector addition diagram for $\vec{V}_{WG}$ . Breaking it up into components is trivial since it lies along the x-axis:

Breaking $\vec{V}_{BW}$ does involve a little bit of work:

Now we add the $x$ components to get the $x$ -component of the resultant

$V_{BGx}=V_{WGx}+V_{BWx}$

$V_{BGx}=8.50\dfrac{m}{s}+2.899\dfrac{m}{s}$

$V_{BGx}=11.299\dfrac{m}{s}$

and we add the y components to get the y-component of the resultant:

$V_{BGy}=V_{WGy}+V_{BWy}$

$V_{BGy}=0\dfrac{m}{s}+10.82\dfrac{m}{s}$

$V_{BGy}=10.82\dfrac{m}{s}$

Now we have both components of the velocity of the boat relative to the ground. We need to draw the vector component diagram for $\vec{V}_{BG}$ to determine the direction and magnitude of the velocity of the boat relative to the ground.

We then use the Pythagorean Theorem to get the magnitude of the velocity of the boat relative to the ground,

$\vec{V}_{BG}=\sqrt{V_{BGx}^2+V_{BGy}^2}$

$\vec{V}_{BG}=\sqrt{(11.299m/s)^2+(10.82m/s)^2}$

$\vec{V}_{BG}=15.64m/s$

and the definition of the tangent to determine the direction of $\vec{V}_{BG}$ :

$tan\theta=\dfrac{V_{BGy}}{V_{BGx}}$

$\theta=tan^{-1}\dfrac{V_{BGy}}{V_{BGx}}$

$\theta=tan^{-1}\dfrac{10.82m/s}{11.299m/s}$

$\theta=43.8^\circ$

Hence, $\vec{V}_{BG}=15.64m/s$ at $43.8^\circ$ North of East.

Los vectores agregan como vectores, no como números. Excepto en ese caso muy especial en el que los vectores que estás agregando se encuentran a lo largo de una y la misma línea, no puedes simplemente sumar las magnitudes de los vectores.

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