16A: Leyes de Newton #3: Componentes, Fricción, Rampas, Poleas y Cuerdas

Habiendo aprendido a usar diagramas corporales libres, y luego haber aprendido a crearlos, estás en una posición bastante buena para resolver una gran cantidad de problemas de la ^2ª Ley de Newton. Una comprensión de las consideraciones de este capítulo le permitirá resolver una clase de problemas aún mayor. Nuevamente, utilizamos ejemplos para transmitir la información deseada.

Un profesor está empujando sobre un escritorio con una fuerza de magnitud$F$ en un ángulo agudo$\theta$ por debajo de la horizontal. El escritorio está sobre un piso de baldosas plano y horizontal y no se mueve. Para el escritorio, dibuje el diagrama de cuerpo libre que facilite la aplicación directa y directa de la 2ª Ley del movimiento de Newton. Dar la tabla de fuerzas.

Solución

Si bien no es una parte requerida de la solución, un boceto a menudo facilita la elaboración del diagrama de cuerpo libre correcto. Solo asegúrate de no combinar el boceto y el diagrama de cuerpo libre. En este problema, un boceto ayuda a aclarar qué se entiende por “en un ángulo agudo por$\theta$ debajo de la horizontal”.

Empujar con una fuerza que se dirige en algún ángulo agudo por debajo de la horizontal es empujar horizontalmente y hacia abajo al mismo tiempo.

Aquí está el diagrama inicial de cuerpo libre y la tabla de fuerzas correspondiente

Tabla de Fuerzas

Símbol=?	Nombre	Agente	Víctima
$$F_N\notag$$	Fuerza Normal	El Piso	Escritorio
$$F_{sf}\notag$$	Fuerza de fricción estática	El Piso	Escritorio
$$F_g=mg\notag$$	Fuerza Gravitacional	El Campo Gravitacional de la Tierra	Escritorio
$$F_p\notag$$	Fuerza del Profesor	Manos del Profesor	Escritorio

Tenga en cuenta que no hay dos líneas mutuamente perpendiculares a las que todas las fuerzas sean paralelas. La mejor opción de líneas mutuamente perpendiculares sería una vertical y una horizontal. Tres de las cuatro fuerzas se encuentran a lo largo de una u otra de tales líneas. Pero la fuerza del profesor no lo hace. No podemos usar este diagrama de cuerpo libre directamente. Estamos ante un caso que requiere un segundo diagrama de cuerpo libre.

Casos que requieren un segundo diagrama de cuerpo libre en el que una o más de las fuerzas que estaban en el primer diagrama de cuerpo libre se reemplaza con sus componentes

Establecer un par de líneas mutuamente perpendiculares de manera que la mayoría de los vectores se encuentren a lo largo de una u otra de las dos líneas. Después de haberlo hecho, rompa cada uno de los otros vectores, los que se encuentran a lo largo de ninguna de las líneas, (llamemos a estos los vectores deshonestos) en componentes a lo largo de las dos líneas. (La ruptura de vectores en sus componentes implica dibujar un diagrama de componentes vectoriales). Dibuja un segundo diagrama de cuerpo libre, idéntico al primero, excepto con vectores deshonestos reemplazados por sus vectores componentes. En el nuevo diagrama de cuerpo libre, dibuja los vectores componentes en la dirección en la que realmente apuntan y etiquétalos con sus magnitudes (sin signos menos).

Para el caso que nos ocupa, nuestra fuerza pícara es la fuerza del profesor. Lo dividimos en componentes de la siguiente manera:

$$\frac{F_{Px}}{F_P}=\cos\theta \quad \frac{|F_{Py}|}{F_P}=\sin\theta$$

$$F_{Px}=F_P\cos\theta \quad |F_{Py}|=F_P \sin \theta$$

Luego dibujamos un segundo diagrama de cuerpo libre, el mismo que el primero, excepto con$F_P$ reemplazado por sus vectores componentes:

Un bloque de madera de masa m se desliza por una pendiente metálica plana (una rampa metálica plana) que forma un ángulo agudo$\theta$ con la horizontal. El bloqueo se está desacelerando. Dibuja el diagrama de cuerpo libre directamente utilizable del bloque. Proporcionar una tabla de fuerzas.

Solución

Elegimos iniciar la solución a este problema con un boceto. El boceto facilita la creación del diagrama de cuerpo libre pero de ninguna manera lo reemplaza.

Dado que el bloque se desliza en la dirección hacia abajo de la inclinación, la fuerza de fricción debe estar en la dirección ascendente de la inclinación. Dado que la velocidad del bloque está en la dirección descendente de la pendiente y decreciente, la aceleración debe ser en la dirección ascendente de la inclinación.

Tabla de Fuerzas

Símbol=?	Nombre	Agente	Víctima
$$F_N\notag$$	Fuerza Normal	La Rampa	El Bloque
$$F_{kf}=\mu_K F_N\notag$$	Fuerza de fricción cinética	La Rampa	El Bloque
$$F_g=mg\notag$$	Fuerza de Gravitación	El Campo Gravitacional de la Tierra	El Bloque

No importa lo que escojamos para un par de ejes de coordenadas, no podemos hacerlo de manera que todos los vectores en el diagrama de cuerpo libre sean paralelos a una u otra de las dos líneas de ejes de coordenadas. En el mejor de los casos, el par de líneas, una línea paralela a la fuerza de fricción y la otra perpendicular a la rampa, deja un vector pícaro, a saber, el vector de fuerza gravitacional. Dicho sistema de coordenadas está inclinado en la página.

Casos que involucran sistemas de coordenadas inclinadas

Para fines de comunicación efectiva, los estudiantes que dibujan diagramas que representan fenómenos que ocurren cerca de la superficie de la tierra deben usar la convención de que hacia abajo está hacia la parte inferior de la página (correspondiente a una vista lateral) o la convención de que hacia abajo está en la página (correspondiente a una vista superior). Si se quiere representar un sistema de coordenadas para un caso en el que la dirección “hacia abajo” sea paralela a ninguna línea de eje de coordenadas, el sistema de coordenadas debe dibujarse para que aparezca inclinado en la página.

En el caso de un problema del sistema de coordenadas inclinadas que requiera un segundo diagrama de cuerpo libre del mismo objeto, es una buena idea definir el sistema de coordenadas en el primer diagrama de cuerpo libre. Utilice líneas discontinuas para que los ejes de coordenadas no se vean como vectores de fuerza. Aquí redibujamos el primer diagrama de cuerpo libre. (Cuando llegue a esta etapa en un problema, simplemente agregue los ejes de coordenadas a su diagrama existente).

Ahora nos separamos$F_g$ en sus$x$, vectores$y$ componentes. Esto requiere un diagrama de componentes vectoriales.

$$\frac{F_{gx}}{F_g}=\sin\theta \quad \frac{|F_{gy}|}{F_g}=\cos \theta$$

$$F_{gx}=F_g \sin\theta \quad |F_{gy}|= F_g \cos\theta$$

A continuación, redibujamos el diagrama de cuerpo libre con el vector de fuerza gravitacional reemplazado por sus vectores componentes.

Un cilindro de latón macizo de masa m está suspendido por una cuerda sin masa que está unida al extremo superior del cilindro. A partir de ahí, la cuerda se extiende recta hacia arriba hasta una polea ideal sin masa. La cuerda pasa sobre la polea y se extiende hacia abajo, en un ángulo agudo theta a la vertical, a la mano de una persona que está tirando de la cuerda con fuerza$F_T$. La polea y todo el segmento de cuerda, desde el cilindro hasta la mano, se encuentran en un mismo plano. El cilindro está acelerando hacia arriba. Proporcione tanto un diagrama de cuerpo libre como una tabla de fuerzas para el cilindro.

Solución

Un boceto es útil para este:

Para continuar con esta, necesitamos alguna información sobre el efecto de una polea ideal sin masa en una cuerda que pasa sobre la polea.

Efecto de una Polea Ideal Sin Masas

El efecto de una polea ideal sin masa en una cuerda que pasa sobre la polea es cambiar la dirección en la que se extiende la cuerda, sin cambiar la tensión en la cuerda.

Al tirar del extremo de la cuerda con una fuerza de magnitud$F_T$, la persona provoca que haya una tensión$F_T$ en la cuerda. (La fuerza aplicada a la cuerda por la mano de la persona, y la fuerza de tensión de la cuerda que tira de la mano de la persona, son un par de fuerzas de interacción de Newton's-3 ^rd -law. Son iguales en magnitud y opuestos en dirección. Elegimos usar uno y el mismo símbolo$F_T$ para la magnitud de ambas fuerzas. Las direcciones son opuestas entre sí.) La tensión es la misma en toda la cuerda, por lo que, donde la cuerda está unida al cilindro de latón, la cuerda ejerce una fuerza de magnitud$F_T$ dirigida alejándose del cilindro a lo largo de la longitud de la cuerda. Aquí está el diagrama de cuerpo libre y la tabla de fuerzas para el cilindro:

Tabla de Fuerzas

Símbol=?	Nombre	Agente	Víctima
$$F_T\notag$$	Fuerza de tensión	La cuerda	El cilindro
$$F_g=mg\notag$$	Fuerza Gravitacional	El Campo Gravitacional de la Tierra	El cilindro

Un carro de masa$m_c$ está en una pista horizontal sin fricción. Un extremo de un segmento de cuerda ideal sin masa está unido a la mitad del extremo frontal del carrito. Desde allí la cuerda se extiende horizontalmente, hacia adelante y alejándose del carro, paralela a la línea central de la pista, hasta una polea vertical. La cadena pasa sobre la polea y se extiende hacia abajo hasta un bloque de masa de metal sólido$m_B$. La cadena está unida al bloque. Una persona sostenía el carro en su lugar. El bloque quedó suspendido en reposo, muy por encima del piso, por la cuerda. La persona ha soltado el carrito. El carro ahora está acelerando hacia adelante y el bloque está acelerando a la baja. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada objeto.

Solución

Un boceto nos ayudará a llegar a la respuesta correcta a este problema.

Recordemos del último ejemplo que sólo hay una tensión en la cuerda. Llámalo$F_T$. A partir de nuestro conocimiento de la fuerza ejercida sobre un objeto por una cuerda, vista para que el aparato aparezca como lo hace en el boceto, la cuerda ejerce una fuerza hacia la derecha$F_T$ sobre el carro, y una fuerza ascendente de magnitud FT sobre el bloque.

Existe una relación entre cada una de varias variables de movimiento de un objeto unido por una cuerda tensa, que permanece tensa durante todo el movimiento del objeto, y las correspondientes variables de movimiento del segundo objeto. Las relaciones son tan simples que podrías considerarlas triviales, pero son críticas para la solución de problemas que involucran objetos conectados por un resorte tenso.

Las relaciones entre las variables de movimiento para dos objetos, uno en un extremo y otro en el otro

Extremo, de una cuerda siempre tensa, no estirable

Considera el siguiente diagrama.

Debido a que están conectados entre sí por una cadena de longitud fija, si el objeto$1$ va hacia abajo$5 cm$, entonces el objeto$2$ debe ir hacia la derecha$5 cm$. Entonces, si el objeto$1$ va hacia abajo en$5 cm/s$ entonces el objeto$2$ debe ir hacia la derecha en$5 cm/s$. De hecho, no importa cuán rápido$1$ vaya el objeto hacia abajo, el objeto$2$ debe ir hacia la derecha exactamente a la misma velocidad (siempre y cuando la cuerda no se rompa, se estire o se quede floja). Para que las velocidades sean siempre las mismas, las aceleraciones tienen que ser las mismas entre sí. Entonces, si el objeto$1$ está recogiendo velocidad en la dirección descendente en, por ejemplo,$5 cm/s^2$, entonces el objeto$2$ debe estar recogiendo velocidad en la dirección hacia la derecha en$5 cm/s^2$. Las magnitudes de las aceleraciones son idénticas. La forma de lidiar con esto es usar uno y el mismo símbolo para la magnitud de la aceleración de cada uno de los objetos. Las ideas relevantes para este sencillo ejemplo se aplican a cualquier caso que involucre dos objetos, uno en cada extremo de una cadena inextensible, siempre y cuando cada objeto se mueva solo a lo largo de una línea colineal con el segmento de cadena al que se une el objeto.

Volvamos al problema de ejemplo que involucra el carro y el bloque. Los dos diagramas de cuerpo libre siguen:

Tenga en cuenta que el uso del mismo símbolo$F_T$ en ambos diagramas es importante, así como el uso del mismo símbolo$a$ en ambos diagramas.