B36: La Ley Biot-Savart

La Ley Biot-Savart nos proporciona una manera de encontrar el campo magnético en un punto vacío en el espacio, llamémoslo punto\(P\), debido a la corriente en el cable. La idea detrás de la Ley Biot-Savart es que cada elemento infinitesimal del cable portador de corriente hace una contribución infinitesimal al campo magnético en el punto vacío en el espacio. Una vez que encuentres cada contribución, todo lo que tienes que hacer es sumarlas todas. Por supuesto, hay un número infinito de contribuciones al campo magnético en punto\(P\) y cada una es un vector, entonces, estamos hablando de una suma infinita de vectores. Este negocio debería parecerle familiar. Hiciste este tipo de cosas cuando calculabas el campo eléctrico de nuevo en el Capítulo 30 El Campo Eléctrico Debido a una Distribución Continua de Carga en una Línea. La idea es similar, pero aquí, claro, estamos hablando de magnetismo.

La Ley Biot-Savart da la contribución infinitesimal al campo magnético en el punto\(P\) debido a un elemento infinitesimal del alambre portador de corriente. El siguiente diagrama ayuda a ilustrar justo lo que nos dice la Ley Biot-Savart.

La Ley Biot-Savart establece que:

\[\vec{dB}=\frac{\mu_o}{4\pi}\frac{I \vec{dl}\times \vec{r}}{r^3}\]

La Ley Biot-Savart representa un poderoso método sencillo de calcular el campo magnético debido a una distribución de corriente.

Calcular el campo magnético debido a un cable recto largo que transporta una corriente\(I\) a lo largo del\(z\) eje en la\(z\) dirección positiva. Trate el cable como extendiéndose hasta el infinito en ambas direcciones.

Solución

Cada elemento infinitesimal del conductor portador de corriente hace una contribución\(\vec{dB}\) al campo magnético total en el punto\(P\).

El\(\vec{r}\) vector se extiende desde el elemento infinitesimal\((0,0,z')\) hasta el punto\(P\) en\((x,y,z)\).

\[\vec{r}=(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})-z' \hat{k}\]

\[\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+(z-z') \hat{k}\]

La magnitud de\(\vec{r}\) es así:

\[r=\sqrt{x^2+y^2+(z-z')^2}\]

El\(\vec{dl}\) vector apunta en la dirección +z para que pueda expresarse como\(\vec{dl}=dz' \hat{k}\)

Con estas expresiones para\(\vec{r}\),\(r\), y\(\vec{dl}\) sustituidas en la Ley Biot-Savart,

\[\vec{dB}=\frac{\mu_o}{4\pi} \frac{I\vec{dl}\times \vec{r}}{r^3}\]

obtenemos:

\[\vec{dB}=\frac{\mu_o I}{4\pi} \frac{dz'\hat{k}\times \Big (x\hat{i}+y\hat{j}+(z-z')\hat{k}\Big)}{\Big[x^2+y^2+(z-z')^2\Big] ^{3/2}}\]

\[\vec{dB}=\frac{\mu_o I}{4\pi} \frac{\Big(x\hat{k}\times\hat{i}+y\hat{k}\times\hat{j}+(z-z')\hat{k}\times\hat{k}\Big)}{\Big[x^2+y^2+(z-z')^2\Big] ^{3/2}}\]

\[\vec{dB}=\frac{\mu_o I}{4\pi} \frac{dz'(x\hat{j}-y\hat{i})}{\Big[x^2+y^2+(z-z')^2\Big] ^{3/2}}\]

\[\vec{dB}=-\frac{\mu_o I}{4\pi}y \frac{dz'}{\Big[x^2+y^2+(z-z')^2\Big]^{3/2}}\hat{i}+\frac{\mu_o I}{4\pi} x \frac{dz'}{\Big[x^2+y^2+(z-z')^2\Big]^{3/2}}\hat{j}\]

Trabajemos en esto un componente a la vez. Para el\(x\) componente, contamos con:

\[dB_x=-\frac{\mu_o I}{4\pi}y \frac{dz'}{\Big[ x^2+y^2+(z-z')^2\Big]^{3/2}}\]

Integrando más\(z'\) de\(-\infty\) a\(\infty\) rendimientos:

\[B_x=-\frac{\mu_o I}{4\pi} y \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dz'}{\Big[ x^2+y^2+(z-z')^2\Big]^{3/2}}\]

Voy a ir con la siguiente sustitución de variables:

\[u=z-z'\]

\[du=-dz',\space\mbox{so},\space dz'=du\]

Límite Superior: Evaluar\(u=z-z'\) a\(z'=\infty\) rendimientos\(-\infty\) para el límite superior de integración.

Límite Inferior: Evaluando\(u=z-z'\) a\(z'=-\infty\) rendimientos\(\infty\) para el límite superior de integración.

Entonces, nuestra integral se convierte en:

\[B_x=-\frac{\mu_o I}{4\pi} y \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-du}{(x^2+y^2+u^2)^{3/2}}\]

Elijo usar uno de los signos menos para intercambiar los límites de la integración:

\[B_x=-\frac{\mu_o I}{4\pi} y \int _{-\infty}^{\infty} \frac{du}{(x^2+y^2+u^2)^{3/2}}\]

Usando\(\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}=\frac{1}{a^2} \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\) de su hoja de fórmulas; e; identificando\(x^2+y^2\) como\(a^2\), y,\(u\) como\(x\) aparece en la hoja de fórmulas, obtenemos:

\[B_x=-\frac{\mu_o I}{4\pi} y \frac{1}{x^2+y^2} \frac{u}{\sqrt{u^2+x^2+y^2}} \Big\rvert _{-\infty}^{\infty}\]

Ahora, necesito tomar el límite de esa expresión como\(u\) va a\(\infty\) y otra vez como\(u\) va a\(-\infty\). Para facilitar eso, quiero factorial a\(u\) fuera de la raíz cuadrada en el denominador. Pero, tengo que tener cuidado. La expresión\(\sqrt{u^2+x^2+y^2}\), que equivale a\(\sqrt{(z-z')^2+x^2+y^2}\) es una distancia. Eso significa que es inherentemente positivo, ya sea\(u\) (o\(z′\) para el caso) positivo o negativo. Entonces, cuando factorial\(u\) fuera de la raíz cuadrada, voy a tener que usar signos de valor absoluto. Para el denominador:\(\sqrt{u^2+x^2+y^2}=\sqrt{u^2 \Big( 1+\frac{x^2}{u^2}+\frac{y^2}{u^2}\Big)}=|u| \sqrt{1+\frac{x^2}{u^2}+\frac{y^2}{u^2}}\), entonces,

\[B_x=-\frac{\mu_o I}{4\pi} y \frac{1}{x^2+y^2} \frac{u}{|u|} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{x^2}{u^2}+\frac{y^2}{u^2}}} \Big \rvert_{-\infty}^{\infty}\]

\[B_x=-\frac{\mu_o I}{4\pi} y \frac{1}{x^2+y^2} \Big( 1 \frac{1}{\sqrt{1+0+0}}- -1 \frac{1}{\sqrt{1+0+0}}\Big)\]

\[B_x=-\frac{\mu_o I}{4\pi} y\frac{1}{x^2+y^2}(2)\]

\[B_x=-\frac{\mu_o I}{2\pi} y \frac{1}{x^2+y^2}\]

Ahora para el\(y\) componente. Recordemos que teníamos:

\[\vec{dB}=-\frac{\mu_o I}{4\pi} y \frac{dz'}{\Big[x^2+y^2+(z-z')^2 \Big]^{3/2}}\hat{i}+\frac{\mu_o I}{4\pi} y \frac{dz'}{\Big[x^2+y^2+(z-z')^2 \Big]^{3/2}}\hat{j}\]

por lo que,

\[dB_y=\frac{\mu_o I}{4\pi}x \frac{dz'}{\Big[x^2+y^2+(z-z')^2 \Big]^{3/2}}\]

Pero, a excepción de la sustitución de\(–y\) por\(x\), esta es la misma expresión que teníamos para\(dB_x\). Y esos, (el\(–y\) en la expresión para\(dB_x\) y el\(x\) en la expresión para\(dB_y\)), son, en lo que\(z′\) va de la integración, constantes, al frente. No afectan la integración, simplemente “van a dar el paseo”. Entonces, podemos usar nuestro\(B_x\) resultado para\(B_y\) si solo reemplazamos el\(–y\), en nuestra expresión for\(B_x\), con\(x\). Es decir, sin tener que volver a pasar por todo el proceso de integración, tenemos:

\[B_y=\frac{\mu_o I}{2\pi}x \frac{1}{x^2+y^2}\]

Ya que no tenemos ningún\(z\) componente en nuestra expresión

\[\vec{dB}=-\frac{\mu_o I}{4\pi} y \frac{dz'}{\Big[x^2+y^2+(z-z')^2\Big] ^{3/2}} \hat{i}+ \frac{\mu_o I}{4\pi} y \frac{dz'}{\Big[ x^2+y^2+(z-z')^2\Big] ^{3/2}} \hat{j}\]

\(\vec{B}\)en sí no debe tener ningún componente z.

Sustituyendo nuestros resultados por\(B_x,B_y, \, \mbox{and} \, B_z\) en\(\hat{i},\hat{j},\hat{k}\) expresión por\(\vec{B}\), (Es decir,\(\vec{B}=B_x \hat{i}+B_y \hat{j}+B_z \hat{k}\)), tenemos:

\[\vec{B}=-\frac{\mu_o I}{2\pi} y \frac{1}{x^2+y^2}\hat{i}+\frac{\mu_o I}{2\pi}x\frac{1}{x^2+y^2}\hat{j}+0\hat{k}\]

\[\vec{B}=\frac{\mu_o I}{2\pi}\frac{1}{x^2+y^2}(-y\hat{i}+x\hat{j})\]

La cantidad\(x^2+y^2\) es justa\(r^2\), el cuadrado de la distancia que\(P\) se encuentra ese punto del cable portador de corriente (recordemos que estamos encontrando el campo magnético debido a un cable, con una corriente\(I\), que se extiende a lo largo del\(z\) eje de\(-\infty\) a\(\infty\))

\[\vec{B}=\frac{\mu_o I}{2\pi} \frac{1}{r^2} (-y\hat{i}+x\hat{j})\]

Además, el vector\((-y\hat{i}+x\hat{j})\) tiene magnitud\(\sqrt{(-y)^2+x^2}=\sqrt{x^2+y^2}=r\). Por lo tanto, el vector unitario\(\hat{u}_B\) en la misma dirección que\((-y\hat{i}+x\hat{j})\) viene dado por

\[\hat{u}_B=\frac{-y\hat{i}+x\hat{j}}{r}=-\frac{y}{r} \hat{i}+\frac{x}{r} \hat{j}\]

y, expresado como su magnitud multiplicada por el vector unitario en su dirección, el vector\((-y\hat{i}+x\hat{j})\) puede escribirse como:

\[(-y\hat{i}+x\hat{j})=r \hat{u}_B\]

Sustituir\((-y\hat{i}+x\hat{j})=r \hat{u}_B\) en nuestra expresión\(\vec{B}=\frac{\mu_o I}{2\pi} \frac{1}{r^2}(-y\hat{i}+x\hat{j})\) rinde:

\[\vec{B}=\frac{\mu_o I}{2\pi} \frac{1}{r^2} r \hat{u}_B\]

\[\vec{B}=\frac{\mu_o I}{2\pi} \frac{1}{r} \hat{u}_B\]

Obsérvese que la magnitud de aquí\(\vec{B}\) obtenida\(B=\frac{\mu_o I}{2\pi} \frac{1}{r}\), es decir, es idéntica a la magnitud obtenida utilizando la forma integral de la Ley de Ampere. La dirección\(\hat{u}_B=-\frac{y}{r} \hat{i}+\frac{x}{r}\hat{j}\) para el campo magnético en cualquier punto\(P\) que tenga coordenadas\((x, y, z)\), es también la misma que, “el campo magnético se extiende en círculos alrededor de ese alambre, en ese sentido de rotación (en sentido antihorario o horario) que es consistente con la regla de la mano derecha para algo rizado algo recto con el algo recto siendo la corriente y el algo rizado siendo el campo magnético”.