2.3: Ecuaciones de Movimiento

Ahora que hemos puesto nuestros axiomas -las leyes del movimiento de Newton y las diversas leyes de fuerza- estamos listos para comenzar a combinarlos para obtener resultados útiles, cosas que no pusimos en los axiomas en primer lugar sino que seguimos de ellos. Lo primero que podemos hacer es anotar ecuaciones de movimiento: una ecuación que describe el movimiento de una partícula debido a la acción de cierto tipo de fuerza. Por ejemplo, supongamos que tomas una roca de cierta masa m y la sueltas a alguna altura h sobre el suelo, entonces ¿qué pasará? Una vez que has soltado la roca, solo hay una fuerza que actúa sobre la roca, es decir, la gravedad de la Tierra, y estamos bien dentro del régimen donde se aplica la Ecuación 2.2.2, entonces conocemos la fuerza. También sabemos que esta fuerza neta dará como resultado un cambio de impulso (Ecuación 2.1.4), que, debido a que la roca no perderá masa en el proceso de caída, puede reescribirse como Ecuación 2.1.5. Al igualar las fuerzas llegamos a una ecuación de movimiento para la roca, que en este caso es muy simple:

\[m \boldsymbol{g}=m \ddot{\boldsymbol{x}} \label{rock}\]

De inmediato vemos que la masa de la roca no importa (¡Galilei tenía razón! - aunque claro que estaba en nuestro conjunto de axiomas, porque llegamos a ellos asumiendo que tenía razón...). Menos trivialmente, la Ecuación (\ ref {rock}) es una ecuación diferencial de segundo orden para el movimiento de la roca, lo que significa que para encontrar el movimiento real, necesitamos dos condiciones iniciales, que en nuestro ejemplo actual son que la roca comience a la altura h y a la velocidad cero.

Figura\(\PageIndex{1}\): Caída bajo la fuerza de la gravedad. (a y b) Una bola liberada del reposo cae con una aceleración constante, resultando en una velocidad en constante aumento. Las imágenes en (a) se toman cada 0.05 s; las distancias son múltiplos de 12 mm. En (b) se muestra la trayectoria del balón resultante de rebotes repetidos con intervalos de 0.04 s [6], CC BY-SA 3.0. (c) Los parapentes necesitan equilibrar la fuerza de gravedad y la de arrastre para dejar de acelerar y caer a una velocidad continua (conocida como su velocidad terminal) [7], CC BY-SA 3.0.

La ecuación (\ ref {rock}) es esencialmente unidimensional - todo el movimiento ocurre a lo largo de la línea vertical. Por lo tanto, resolverlo es sencillo: simplemente se integra con el tiempo dos veces. La solución general es:

\[\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}(0)+\boldsymbol{v}(0) t+\frac{1}{2} \boldsymbol{g} t^{2}\]

que con nuestras condiciones limítrofes se convierte

\[\boldsymbol{x}(t)=\left(h-\frac{1}{2} g t^{2}\right) \hat{\boldsymbol{z}} \label{soln}\]

donde\(g\) está la magnitud de\(g\) (que apunta hacia abajo, de ahí el signo menos). Por supuesto Ecuación\ ref {soln} se descompone cuando la roca golpea el suelo en\(t=\sqrt{2h \over g}\), lo cual se entiende fácilmente porque en ese punto la gravedad ya no es la única fuerza que actúa sobre ella.

También podemos anotar inmediatamente la ecuación de movimiento para una masa en un resorte (sin gravedad en la actualidad), en la que la fuerza neta viene dada por la ley de Hooke. Equiparar esa fuerza a la fuerza neta en la segunda ley de movimiento de Newton da:

\[-k \boldsymbol{x}(t)=m \ddot{\boldsymbol{x}}(t) \label{spring}\]

Por supuesto, encontramos otra ecuación diferencial de segundo orden, por lo que nuevamente necesitamos la posición inicial y la velocidad para especificar una solución. La solución general de la Ecuación\ ref {spring} es una combinación de senos y cosenos, con una frecuencia\(\omega=\sqrt{k \over m}\) (como ya sabemos del análisis dimensional en la Sección 1.2):

\[\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}(0) \cos (\omega t)+\frac{\boldsymbol{v}(0)}{\omega} \sin (\omega t)\]

Estudiaremos este caso con más detalle en la Sección 8.1. En general, la fuerza en la segunda ley de Newton puede depender del tiempo y la posición, así como de la primera derivada de la posición, es decir, la velocidad. Para el caso especial de que sólo depende de una de las tres variables, podemos anotar la solución formalmente, en términos de una integral sobre la fuerza. Estas soluciones formales se dan en la Sección 2.6. Para ver cómo funcionan en la práctica, consideremos un problema un poco más involucrado, el de una piedra que cae con arrastre.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Falling Stone with Drag

Supongamos que tenemos una piedra esférica de radio a que se cae desde una altura h a t=0. ¿A qué hora, y con qué velocidad, la piedra golpeará el suelo?

Solución

Ya resolvimos este problema en el caso simple sin arrastrar arriba, pero ahora vamos a incluir drag. Entonces hay dos fuerzas que actúan sobre la piedra: gravedad (apuntando hacia abajo) con magnitud\(m_g\), y arrastre (apuntando en dirección opuesta al movimiento, en este caso hacia arriba) con magnitud\(6 \pi \eta a v=b v\), como lo da la ley de Stokes (Ecuación 2.2.5). Nuestra ecuación de movimiento ahora viene dada por (con x como la altura de la partícula, y la dirección hacia abajo como positiva):

\[m \ddot{x}=-b \dot{x}+m g\]

Vemos que nuestra fuerza no depende del tiempo ni de la posición, sino sólo de la velocidad -así que tenemos el caso 3 del Apéndice 2.6. Podríamos invocar ya sea E quation (2.33) o (2.34) para anotar una solución formal, pero hay una manera más fácil, que nos permitirá evaluar las integrales relevantes sin dificultad. Dado que nuestra ecuación de movimiento es lineal, sabemos que la suma de dos soluciones vuelve a ser una solución. Uno de los términos del lado derecho de la Ecuación (2.19) es constante, lo que quiere decir que nuestra ecuación no es homogénea (podemos reescribirla\(m \ddot{x}+b \dot{x}=m g\) para ver esto), por lo que una cosa útil es dividir nuestra solución en una parte homogénea y en particular. Reescribiendo nuestra ecuación en términos de en\(v=\dot{x}\) lugar de x, obtenemos\(m \dot{v}+b v=m g\), de la cual podemos obtener de inmediato una solución particular:\(v_{\mathrm{p}}= {m g \over b}\), a medida que la derivada del tiempo de esta constante se\(v_{\mathrm{p}}\) desvanece. Restando\(v_{\mathrm{p}}\), nos quedamos con una ecuación homogénea:\(m \dot{v}_{\mathrm{h}}+b v_{\mathrm{h}}\), que ahora resolvemos por separación de variables. Primero escribimos İ\(\dot{v}_{\mathrm{h}}={\mathrm{d} v_{\mathrm{h}} \over \mathrm{d} t}\), luego reorganizamos de manera que todos los factores que contienen\(v_{\mathrm{h}}\) estén en un lado y todos los factores que contienen t estén en el otro, lo que da\(-({m \over b})({1 \over v_h})dv_h=dt\). Ahora podemos integrarnos para obtener:

\[-\frac{m}{b} \int_{\nu_{0}}^{\nu} \frac{1}{v^{\prime}} \mathrm{d} v^{\prime}=-\frac{m}{b} \log \left(\frac{v}{v_{0}}\right)=t-t_{0}\]

que es un ejemplo de la Ecuación (2.33). Después de reorganizar y configurar\(t_0=0\):

\[v_{\mathrm{h}}(t)=v_{0} \exp \left(-\frac{b}{m} t\right)\]

Tenga en cuenta que esta solución homogénea se ajusta a nuestra intuición: si no hay fuerza extra sobre la partícula, la fuerza de arrastre la ralentizará exponencialmente. También tenga en cuenta que no establecimos\(v_0=0\), ya que la solución homogénea no equivale a la solución total. En cambio,\(v_0\) es una constante de integración que tendremos que establecer una vez que hayamos escrito la solución completa, que es:

\[v(t)=v_{\mathrm{h}}(t)+v_{\mathrm{p}}(t)=v_{0} \exp \left(-\frac{b}{m} t\right)+\frac{m g}{b}\]

Ahora el ajuste\(v(0)=0\) da\(v_0=-{mg \over b}\), entonces

\[v(t)=\frac{m g}{b}\left[1-\exp \left(-\frac{b}{m} t\right)\right]\]

Para obtener x (t), simplemente integramos v (t) a lo largo del tiempo, para obtener:

\[x(t)=\frac{m g}{b}\left[t+\frac{m}{b} \exp \left(-\frac{b}{m} t\right)\right]\]

Podemos encontrar cuando la piedra golpea el suelo estableciendo x (t) =h y resolviendo para t; podemos encontrar qué tan rápido va en ese punto sustituyendo ese valor de t de nuevo en v (t).