2.7: Importancia de los números de Reynolds y los números de Froude

Se brinda una mayor comprensión de la importancia de los números de Reynolds y los números de Froude al mostrar que las variables adimensionales de esta forma siempre surgen en problemas que involucran fuerzas viscosas y fuerzas de gravedad. Pero primero quiero asegurarme de que sepas lo que es una ecuación de movimiento.

Ecuaciones de Movimiento

La ecuación de movimiento para algún cuerpo de materia, ya sea sólido o fluido, ya sea discreto o continuo, es solo la segunda ley de Newton escrita para ese cuerpo. Escribes la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y estableces esa suma igual a la masa multiplicada por la aceleración. La ecuación de movimiento para un medio continuo como un fluido resulta ser una ecuación diferencial. ¿Por qué? Porque para derivar la ecuación hay que escribirla para algún elemento de fluido con volumen finito, y luego observar lo que sucede con la ecuación a medida que el elemento volumen se encoge a un punto.

Piense en el equilibrio de fuerzas sobre algún pequeño elemento de fluido en cualquier problema de flujo de fluido (por ejemplo, el de una esfera que se mueve cerca de una superficie libre) que implica fuerzas de cizallamiento del fluido y también fuerzas de gravedad que no son simplemente equilibradas por la presión hidrostática. Cualquiera que sea la naturaleza exacta del problema, la segunda ley de Newton debe sostenerse para este pequeño elemento de fluido, para que podamos escribir para ello una ecuación general de movimiento en palabras:

\[\begin{array}{l}{\text { viscous force }+\text { gravity force }+\text { any other forces }}{=\text { rate of change of momentum }}\end{array} \label{2.11} \]

Todos los términos de esta ecuación tienen las mismas dimensiones, por lo que podemos dividir todos los términos por cualquiera de ellos para obtener una ecuación con todos los términos adimensionales. Dividiendo por el término a la derecha,

\[\frac{\text { viscous force }}{\text { ROC of momentum }}+\frac{\text { gravity force }}{\text { ROC of momentum }}+\frac{\text { other forces}}{\text {ROC of momentum }} = 1 \label{2.12} \]

¿Cuál será la forma de los dos primeros términos adimensionales del lado izquierdo de la Ecuación\ ref {2.12}, en términos de variables representativas que podrían estar involucradas en cualquier problema de flujo dado? Suponiendo que hay alguna variable de longitud característica\(L\) en el problema, como el tamaño de una esfera o profundidad de flujo, y alguna velocidad característica\(V\) como la velocidad de aproximación en el flujo más allá de una esfera o la velocidad media o la velocidad superficial en el flujo en un canal, entonces la tasa de cambio de momento, que tiene dimensiones de impulso divididas por un tiempo característico\(T\), puede escribirse como proporcional a\(rho L^{3} V / T\). (Recuerde que la masa se puede expresar como densidad por volumen y el volumen como el cubo de una longitud.) Y esto se puede escribir aún más\(rho L^{2} V^{2}\), porque la velocidad tiene las dimensiones\(L/T\). La fuerza viscosa es producto del esfuerzo de cizallamiento viscoso y del área sobre la que actúa. El área es proporcional al cuadrado de la longitud característica, y por la Ecuación 1.3.7 el esfuerzo cortante es proporcional a la viscosidad y al gradiente de velocidad, por lo que la fuerza viscosa es proporcional a\(\mu(V / L) L^{2}\), o\(\mu V L\). El primer término en la Ecuación\ ref {2.12} es entonces proporcional a\(\mu V L / \rho L^{2} V^{2}\), o\(\mu / \rho L V\). Esto es simplemente lo inverso de un número de Reynolds. El número de Reynolds en cualquier problema de fluidos es, por lo tanto, inversamente proporcional a la relación de una fuerza viscosa y una cantidad con las dimensiones de una fuerza, la tasa de cambio de momento, que generalmente se ve como una “fuerza inercial”.

¿Qué tal el segundo término en la Ecuación\ ref {2.12}? La fuerza de gravedad es el peso del elemento fluido, que es proporcional a\(\rho g L^{3}\). El segundo término es entonces proporcional a\(\rho g L^{3} / \rho L^{2} V^{2}\), o\(g L / V^{2}\). Este es el cuadrado de la inversa de un número de Froude. Por lo tanto, el cuadrado del número de Froude es proporcional a la relación de una fuerza de gravedad y una tasa de cambio de momento o una “fuerza inercial”.

Esto probablemente te parezca un ejercicio no muy riguroso y de hecho no lo es. Se pretende únicamente para darle una idea general de la importancia de los números de Reynolds y los números de Froude. A costa de alargar considerablemente este capítulo, la ecuación diferencial general de movimiento para el flujo de un fluido viscoso podría derivarse y luego hacerse adimensional introduciendo la misma longitud característica y velocidad característica, y también una presión de referencia. Verías que el número de Reynolds y el número de Froude emergen entonces como coeficientes del término de fuerza de viscosidad adimensional y del término de fuerza de gravedad adimensional, respectivamente. Esto lo hace especialmente lúcidamente Tritton (1988, capítulo 7). El valor de tal ejercicio es que entonces las magnitudes del número de Reynolds y el número de Froude le dicen si el término viscoso-fuerza o el término gravedad fuerza en la ecuación de movimiento se pueden descuidar en relación con el término masa-tiempo-aceleración. Esta es una forma productiva de simplificar la ecuación del movimiento para obtener una idea de la física del flujo.

Cuando estás decidiendo con qué conjunto de variables adimensionales trabajar en problemas como el de fluir más allá de una esfera, introducido anteriormente, tiene sentido usar variables adimensionales que tengan su propio significado físico, como los números de Reynolds y los números de Froude. En capítulos posteriores, se introducen otras variables adimensionales que representan relaciones de dos fuerzas en problemas específicos.

Conclusión

Antes de que te enfrentes más con la física de las esferas de flujo pasado, necesitas que te introduzcan un poco más de material sobre el flujo de fluidos. La primera parte del siguiente capítulo, el Capítulo 3, está dedicada a este material, antes más sobre el tema del flujo de las esferas pasadas.

Referencias Citadas

• Buckingham, E., 1914, Sobre sistemas físicamente similares; ilustraciones del uso de ecuaciones dimensionales: Physical Review, ser. 2, v. 4, p. 345-376.
• Buckingham, E., 1915, Experimentos modelo y las formas de ecuaciones empíricas: Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos, Transacciones, v. 37, p. 263- 292.
• Schiller, L., 1932, Fallversuche mit Kugeln und Scheiben, en Schiller, L., ed., Handbuch der Experimentalphysik, Vol. 4, Hydro-und Aeromechanik, Parte 2, Widerstand und Auftrieb, p. 339-398: Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 443 p.
• Tritton, D.J., 1988, Physical Fluid Dynamics, 2a Edición: Oxford, Reino Unido, Oxford University Press, 519 p.