4.3: Marcos de Referencia

Marco de Centro de Masa

El centro de masa no necesita ser fijado en el espacio, por lo que puede tener una velocidad distinta de cero, que por supuesto simplemente viene dada por\(v_{cm} = \dot r_{cm}\). Para cada una de las partículas en un sistema de múltiples partículas, podemos descomponer su velocidad escribiéndola como la suma del centro de la velocidad de masa y una velocidad relativa al centro de masa:

\[v_{\alpha}=v_{\mathrm{cm}}+v_{\alpha, \mathrm{rel}} \label{cmframe}\]

En muchas aplicaciones, la información está en la componente de velocidad relativa al centro de masa. Después de todo, la conservación del impulso implica que para un sistema sin fuerzas externas que actúen sobre él, el centro de la velocidad de la masa no puede cambiar, aunque todos los momentos individuales sí cambien (como sucede en las colisiones). Por lo tanto, a menudo es conveniente analizar su sistema en un marco que se mueve con el centro de masa, conocido (como era de esperar), como el marco del centro de masa. En este marco, la velocidad del centro de masa es idénticamente cero, y nuevamente debido a la conservación del momento, todas las demás velocidades en este marco deben sumar a cero. El marco del “mundo real” con una velocidad de centro de masa distinta de cero se conoce como el marco de laboratorio.

Transformaciones Galileanas y Marcos Inerciales

Como muestra la Ecuación (\ ref {cmframe}), si conoces la velocidad de una partícula en el marco del centro de masa, puedes calcular fácilmente la velocidad en el cuadro de laboratorio agregando la velocidad del centro de masa. Yendo por otro lado, para calcular la velocidad en el marco del centro de masa, restas v _cm de la velocidad en el cuadro de laboratorio. Además, si el centro de masa se mueve a velocidad constante, también podemos relacionar fácilmente posiciones en ambos cuadros. Si denotamos coordenadas en el marco de laboratorio por r y las del centro de masa marco por r', obtenemos fácilmente:

\[\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}^{\prime}+\boldsymbol{v}_{\mathrm{cm}} t \label{rprime}\]

\[\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}^{\prime}+\boldsymbol{v}_{\mathrm{cm}}\]

La ecuación (\ ref {rprime}) es un ejemplo de una transformación galileana entre marcos de referencia (aquí el marco de laboratorio y el marco del centro de masa). De hecho, se mantiene para cualquier par de marcos de referencia que se mueven a velocidad constante entre sí. Tales marcos de referencia se conocen como marcos inerciales si la primera ley de movimiento de Newton se mantiene en ellos; por la segunda ley de Newton, si uno de los marcos es un marco inercial, entonces el que se obtiene de él por una transformación galileana (es decir, uno que se mueve a velocidad constante con respecto al primer fotograma) es también un marco inercial. La razón de esto es que una velocidad constante no juega ningún papel en la segunda ley de Newton, ya que relaciona la derivada de la velocidad (es decir, la aceleración) con una fuerza. En consecuencia, no sólo es válida la primera ley del movimiento de Newton en ambos marcos inerciales, sino que todas las leyes de la física son las mismas en dos de esos marcos. Este hecho es conocido como el principio de la relatividad. No aplica, por ejemplo, a los marcos que rotan uno con respecto al otro, como veremos en el Capítulo 7. Además, aunque el principio de relatividad es universalmente válido (de hecho es uno de los dos supuestos básicos detrás de la teoría de la relatividad de Einstein), las transformaciones galileanas no lo son. Se descomponen a velocidades que se acercan a la velocidad de la luz, como exploraremos en detalle en la Parte II.

Energía cinética de una colección de partículas

Hemos establecido anteriormente que tanto el impulso total como la energía se conservan en sistemas cerrados, pero los componentes, por supuesto, pueden cambiar. El impulso se puede transferir de una partícula a otra, y también la energía (cinética); además, la energía cinética se puede generar a partir de la energía potencial. Desafortunadamente, a diferencia del momento, la energía cinética de una colección de partículas no es igual a la del centro de masa, esto se debe a que la energía cinética depende cuadráticamente en lugar de linealmente de la velocidad. La energía cinética total, por supuesto, equivale a la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales. Además, aquí también la descomposición (\ ref {cmframe}) es útil:

\[K=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}\left(v_{\mathrm{cm}}+v_{\alpha, \mathrm{rel}}\right) \cdot\left(v_{\mathrm{cm}}+v_{\alpha, \mathrm{rel}}\right)\]

\[=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha} v_{\mathrm{cm}}^{2}+\sum_{\alpha} m_{\alpha} v_{\mathrm{cm}} \cdot {v}_{\alpha, \mathrm{rel}}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha} v_{\alpha, \mathrm{rel}}^{2} \label{sumsumsum}\]
\[=\quad K_{\mathrm{cm}}+K_{\mathrm{int}}\]

Debido a que la velocidad del centro de masa es la misma para todas las partículas, se puede sacar de la suma en la ecuación (\ ref {sumsumsum}). Por lo tanto, el primer término es igual\(\frac{1}{2} M v_{\mathrm{cm}}^{2}=K_{\mathrm{cm}}\), y en el segundo término terminamos con la suma de velocidades globales relativas al centro de masa -que es cero. Encontramos que la energía cinética total de una colección de partículas equivale a la energía cinética del centro de masa más la energía cinética interna total, que puede cambiar en ambas colisiones y cuando la energía potencial se convierte en energía cinética (o viceversa).